第十讲均值比较与T检验

1、第十讲第十讲 均值比较与均值比较与T T检验检验 对某班学生进行智力测试，问该班学生的对某班学生进行智力测试，问该班学生的IQ平均平均分与分与100分的差异。分的差异。 某地区某地区12岁男孩的平均身高为岁男孩的平均身高为142.5cm,现有某现有某市测量市测量120名名12岁男孩身高资料，检验该市岁男孩身高资料，检验该市12岁岁男孩平均身高与该地区男孩平均身高与该地区12岁男孩平均身高是否有岁男孩平均身高是否有显著性差异。显著性差异。 对对12名来自城市的学生与名来自城市的学生与14名来自农村的学生名来自农村的学生进行心理素质测验，试分析城市学生与农村学生进行心理素质测验，试分析城市学生与农

2、村学生心理素质有无显著差异。心理素质有无显著差异。 对对12名学生进行培训之后，其培训前后某项心理名学生进行培训之后，其培训前后某项心理测试得分如表测试得分如表5.1所示，试分析该培训是否引起所示，试分析该培训是否引起学生心理变化。学生心理变化。均值比较的概念 在研究中常常采取抽样研究的方法，即从总体中随机抽取一在研究中常常采取抽样研究的方法，即从总体中随机抽取一定数量的样本进行研究来推断总体的特性。由于总体中的每定数量的样本进行研究来推断总体的特性。由于总体中的每个个体间均存在差异，即使严格遵守随机抽样原则也会由于个个体间均存在差异，即使严格遵守随机抽样原则也会由于多抽到一些数值较大或较小的

3、个体致使样本统计量与总体参多抽到一些数值较大或较小的个体致使样本统计量与总体参数之间有所不同。又由于实验者测量技术的差别或测量仪器数之间有所不同。又由于实验者测量技术的差别或测量仪器精确程度的差别等也会造成一定的偏差，使样本统计量与总精确程度的差别等也会造成一定的偏差，使样本统计量与总体参数之间存在差异。由此可以得到这样的认识：体参数之间存在差异。由此可以得到这样的认识：均值不相均值不相等的两组样本不一定来自均值不同的总体。等的两组样本不一定来自均值不同的总体。 能否用样本均值估计总体均值？两个变量均值接近的样本是能否用样本均值估计总体均值？两个变量均值接近的样本是否来自均值相同的总体？否来自

4、均值相同的总体？换句话说，两组样本某变量均值不换句话说，两组样本某变量均值不同，其差异是否具有统计意义？能否说明总体差异？这是各同，其差异是否具有统计意义？能否说明总体差异？这是各种研究工作中经常提出的问题。这就要进行均值比较。种研究工作中经常提出的问题。这就要进行均值比较。总体平均数的显著性检验总体标准差已知条件下总体平均数的显著性检验小样本的情况大样本的情况总体标准差未知条件下总体平均数的显著性检验总体平均数的显著性检验总体标准差已知条件下总体平均数的显著性检验 某小学历届毕业生汉语拼音测验水平为66分，标准差为11.7。现以同样的试题测验应届毕业生（假定应届与历届毕业生条件基本相同），并

5、从其中随机抽取18份试卷，计算得平均分为69分，问该校应届与历届毕业生汉语拼音测验水平是否一样？检验的步骤 提出假设 计算统计量的值 确定检验的形式（双尾） 统计决断 所以保留 ，拒绝 ，即该校应届与历届毕业生汉语拼音测验一样。 66:,66:1HH09. 1187 .116669nXZ05. 096. 109. 1ZH1H双侧Z检验统计决断规则 与临界值的比较P值检验结果显著性 0.05保留拒绝不显著1.96 2.580.01所以在0.05水平上拒绝初始假设,接受备择假设,即该校初三英语平均分数与全区平均分数有本质区别,或者说,它不属于平均数为65的总体.093. 205. 019t某校上一

6、届初一学生自学能力平均分数为38,这一届初一24个学生自学能力平均分数为42,标准差为5.7,假定这一届初一学生的学习条件与上一届相同,试问这一届初一学生的自学能力是否高于上一届?检验的步骤:(1)提出假设(2)计算统计量的值(3)确定检验的形式(右尾检验)(4)统计决断 所以在0.01显著性水平上,拒绝初始假设,接受备择假设.即:这一届初一学生的自学能力极其显著地高于上一届.总结t检验统计决断的规则;并与Z检验作比较38:,38:1HH365. 31247 . 538421nXtX500. 2365. 301. 023*tt总体标准差未知条件下总体平均数的显著性检验（大样本）某年高考某市数学

7、平均分为60分,现从参加此次考试的文科学生中,随机抽取94份试卷,算得平均分为58,标准差为9.2,问文科数学成绩与全市考生是否相同? 同理可计算得：0.01显著性水平 的临界值01. 0090. 3981. 5ttt090.301.0 t所以在0.01显著性水平上拒绝原假设，接受备择假设，即走读生与住宿生自学能力，从总体上来说有极其显著性差异。配 对 组同 一 组 对象 的 情 况相 关 样 本 平 均 数 差 异 的 显 著 性 检 验独 立 大 样 本 平 均 数 差异 的 显 著 性 检 验方 差 齐 性 独 立 小样 本 平 均 数 差 异的 显 著 性 检 验方 差 不 齐 性 独

8、 立 小样 本 平 均 数 差 异 的显 著 性 检 验独 立 小 样 本 平 均 数 差异 的 显 著 性 检 验独 立 样 本 平 均 数 差 异 的 显 著 性 检 验平 均 数 差 异 的 显 著 性 检 验样本为独立样本。系，这样的两个样本称一一对应关他们之间不存在的个体是随机抽取的，独立样本：两个样本内关样本。得的测验结果，也是相验所获处理之后，用同一个测组被试施行不同的实验，对两地分入实验组和对照组，然后将每对被试随机配配对的原则，把被试一一匹根据某些条件基本相同是相关样本。所获得的两组测量结果次测验被试在实验前后进行两同一个测验对相关样本样本. 2,同一组1.相关样本平均数差异

9、的显著性检验（配对组的情况）例：为了揭示小学二年级的两种识字教学法是否有显著性差异，根据学生的智力水平、努力程度、识字量多少、家庭辅导力量等条件基本相同的原则，将学生配成10对，然后把每对学生随机地分入实验组、对照组，实验组施以分散识字教学法，而对照组施以集中识字教学法，后期统一测验结果如下表所示，问两种识字法是否有显著性差异？对别对别 实验组实验组x1对照组对照组x2差数值差数值D= x1- x2差数值平方差数值平方D2193761728927274-2439180111214655213169581631832467762152257898274988485-119736498110707

10、2-24总和总和795710851267分析：每对学生的分数都有一个差数（ ），假如两种识字教学法没有本质区别，则它们差数的总体平均数应当等于0，也就是说两个总体平均数之差为0，而两组测验分数的差数平均数不等于0，仅仅是由于抽样误差所致。21xxD检验的步骤（1）提出假设（2）选择统计量并计算其值（3）采用双尾检验方式（4）统计决断21121:,:HH459. 321DSXXt 25. 3,262. 201. 0905. 09tt 25. 3459. 301. 09*tt所以，在0.01水平上拒绝原假设，接受备择假设，即小学分散识字与集中识字教学法差异显著。 相关样本平均数差异的显著性检验 （

11、同一组对象的情况）例：32人的射击小组经过三天集中训练，训练前与训练后测验分数如下表所示，问三天集中训练有无显著效果？（根据过去的资料得知，三天集中射击训练有显著效果）序号序号训练后训练后x1训练前训练前x2差数值差数值D= x1- x2差数值平方差数值平方D2142402423835-3935356-3944941864524213965460-63674334981851401112196064-416104739864111215-39序号序号训练后训练后x1训练前训练前x2差数值差数值D= x1- x2差数值平方差数值平方D212323024136561416144858-101001

12、5545224166258416175044636182526-11196359416204537-864213932749224853-525序号序号训练后训练后x1训练前训练前x2差数值差数值D= x1- x2差数值平方差数值平方D223424024243835-39255356-3926494186427242139285460-63629433498130514011121316064-416324739864总和总和14911413781584检验的步骤 提出假设 选择统计量并计算其值21121:;:HH057. 2313232781584327810222nnnDDDZ053. 2

13、32868.13016.14884. 02868.13016.14156.44594.4622221222121nSrSSSXXZ053. 21221212221nrXXZXXXX 选择检验的形式：单尾检验 统计决断 所以在0.05显著性水平上，拒绝原假设，接受备择假设，即三天射击训练有显著效果。01. 005. 033. 2057. 265. 1ZZ独立样本检验 独立大样本：两个样本容量都大于30的样本。 独立小样本：两个样本容量都小于30或其中一个小于30的样本。独立大样本平均数差异的显著性检验 两个独立大样本平均数之差的标准误为：（1）当两个样本相应总体标准差已知时（2）当两个样本相应总

14、体标准差未知时222121nnD221221nnSxxD例：某校高一学生英语测验成绩如下表所示，问男女生英语测验成绩是否有显著性差异？性别人数样本平均数样本标准差男18076.511.50女17478.210.50 高一男女生英语测验成绩结果统计表检验步骤 提出假设 选择检验统计量并计算其值 选择检验的形式（双尾检验） 统计决断 21121:;:HH45. 117450.1018050.112 .785 .762222122121nnXXZXX96. 145. 1 所以接受原假设，拒绝备择假设，即高一男女生英语测验成绩无显著性差异。独立小样本平均数差异的显著性检验（应在方差齐性检验之后进行）

15、方差齐性 独立小样本平均数之差的标准误（方差齐性时的情况） 若 未知，可用 代替。2222121211nnSD22S 11212222112nnXXXXS2121212222112nnnnnnXXXXSD21212122222121212nnnnnnnXXnXXSD用原始数据表示为：212121222211211nnnnnnSnSnSD计算：用总体标准差的估计值2121212221221nnnnnnnnSXXD用样本标准差表示：例：从高二年级随机抽取两个小组，在化学教学中实验组采用启发探究法，对照组采用传统讲授法，后期统一测验结果如下表所示，问两种教学法是否有显著性差异？（根据已有的经验确知启

16、发探究法优于传统讲授法）序号 实验组 对照组X12X22 1 6460 642602 25859582592 36557652572 4564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069 692 总和599 453 36321 23277 以原始数据检验实验组和对照组化学平均分差异显著性用表检验的步骤 提出假设 选择检验统计量并计算其值 确定检验的形式（单尾检验） 统计决断 所以在0.01显著性水平上差异显著，即高二化学启发探究法优于传统讲授21121:;:HH835. 222121212222212121

17、21nnnnnnnXXnXXXXt898. 2853. 2567. 2005. 01701. 017tt方差不齐性独立样本平均数的差异显著性检验 总体方差不齐性的两个独立样本平均数之差的标准误，可用两个样本方差分别估计出的两个平均数标准误平方和再开方来表示。这时样本平均数之差的离差统计量呈与t分布相近的t，分布，它有3种表示形式：111122222221112121212212212221212121nnnXXnnnXXXXtnnXXtnSnSXXtXX例：18个走读生与7个同龄住宿生自学能力得分如下表所示，问走读生与住宿生自学能力是否有显著性差异？序号XX2序号XX2走读生住宿生走读生住宿生

18、走读生住宿生走读生住宿生119331923321125 252 224282422821227 272 310301023021314 142 432343223421422 222 5629622921523 232 62136212362168 82 720332023321711 112 826 262 1827 272 912 122 总和33022372447155103 32 检验的步骤 提出假设 选择检验统计量并计算其值 选择检验的形式（双尾检验） 统计决断21121:;:HH918. 5112222222111212121nnnXXnnnXXXXt1、用总体标准差的无偏估计计算

19、：查t值表得： 将相关数据代入上式的 计算0.05显著性水平 临界值的近似值 447. 2,110. 205. 0605. 017tt617,171182122212105. 022205. 012105. 021dfdfnsnstnstnstdfdf190. 205. 0 tt2、用样本标准差计算617,17118111121221205. 02205. 01205. 0212211dfdfnntntntxxdfxdfx 447. 2,110. 205. 0605. 017tt190.205.0 t 3、用原始数据计算617,1711811/11/212212222111212105. 02

20、21222205. 0111212105. 021dfdfnnnxxnnnxxtnnnxxtnnnxxtdfdf 447. 2,110. 205. 0605. 017tt190.205.0 t同理可计算得：0.01显著性水平 的临界值01. 0090. 3981. 5ttt090.301.0 t所以在0.01显著性水平上拒绝原假设，接受备择假设，即走读生与住宿生自学能力，从总体上来说有极其显著性差异。两个独立样本的方差齐性检验两个相关样本的方差齐性检验方差齐次检验方差齐性检验 对两个总体的方差是否有显著性差异所进行的检验称为方差齐性（相等）检验。 对两个独立样本方差是否齐性，需进行F检验；对两

21、个相关样本方差是否齐性，需进行t检验。1、F分布若从方差相同的两个正态总体中，随机地抽取两个独立样本，以此为基础，分别求出两个相应总体方差的估计值，这两个总体方差估计值的比值称为F比值，即 。F比值的抽样分布称为F分布。2221SSF 在一般情况下，经常应用的是右侧F检验，所以F比值表只列有右侧理论值（临界值）。在计算样本的F值时，要求将总体方差估计值较大的作为分子，而总体方差值较小的作为分母，使计算所得的F值落在1和大于1的范围内，以便在作F检验时，将实际计算出的F值与查表所得临界值相比较。两个独立样本的方差齐性检验例：从高二年级随机抽取两个小组，在化学教学中实验组采用启发探究法，对照组采用

22、传统讲授法，后期统一测验结果如下表所示（根据已有的经验确知启发探究法优于传统讲授法），问两种教学法测验分数总体方差是否齐性？实验组对照组1646064260225859582592365576525724564156241255838582382645524525227554655246286351632512966496624921069692总和1X2X21X22X5991X4532X3632121X2327722X检验步骤 提出假设 选择并计算统计量的值 222112221:;:HH21. 11111222222222212112111222211222121nXnXnnnXnXnnnn

23、nnSSFxx 根据分子的自由度为8，分母的自由度为9，查表得 统计决断 因为1.21 Compare Means- One-Samples T test Test Variable(s)：要求平均值的变量（一般是定距变量）：要求平均值的变量（一般是定距变量） Test Value：常数：常数 零假设零假设H0：样本均值：样本均值Mean=常数（检验值）；常数（检验值）； 结果中比较有用的值：结果中比较有用的值：Mean和和Sig显著性概率值显著性概率值 例子例子 ：独立样本的独立样本的T检验检验 要求：要求：a. 被比较的两组样本彼此独立被比较的两组样本彼此独立, 没有配对关没有配对关系系

24、b. 两组样本均来自两组样本均来自正态总体正态总体 两组样本方差相等和不等时使用的计算两组样本方差相等和不等时使用的计算t t值的公式不同值的公式不同。因。因此应该先对方差进行齐次性检验。此应该先对方差进行齐次性检验。SPSSSPSS的输出，在给出方的输出，在给出方差齐和不齐两种计算结果的差齐和不齐两种计算结果的t t值，和值，和t t检验的显著性概率的检验的显著性概率的同时，还给出对方差齐次性检验的同时，还给出对方差齐次性检验的F F值和值和F F检验的显著性概检验的显著性概率。用户需要根据率。用户需要根据F F检验的结果自己判断选择检验的结果自己判断选择t t检验输出中检验输出中的哪个结果，得出最后结论。的哪个结果，得出最后结论。