七年级下7.5多边形的内角和与外角和同步练习含详细答案

1、7.5 多边形的内角和与外角和一选择题（共15 小题）1在 ABC中，若 A=95°， B=40°，则 C 的度数为（）A35°B40°C45°D50°2如图， CE是 ABC的外角 ACD的平分线，若 B=35°， ACE=60°，则 A=（ ）A35°B95°C85°D75°3若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A三角形B四边形C五边形D六边形4如图的七边形 ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O 点若图中 1、2、 3、 4 的外角的角度和为2

2、20°，则 BOD 的度数为何？（）A40°B45°C50°D60°5若一个正 n 边形的每个内角为144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（ ）A7B10C35D706如图所示，小华从 A 点出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°， ，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走的路程是（）A140 米B150 米C160 米D240 米7一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A108°B90°C7

3、2°D60°8正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（）A10B11C12D139设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 与b 的关系是（）AabBa=b C a bD b=a+180°10六边形的内角和是（）A540°B720°C900°D360°11已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A8B9C10D1112已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A6B7C8D913内角和为 540°的多边形是（）ABCD14

4、将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A360°B540°C720°D900°15一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A7B7或 8C8或 9D7或 8或 9二填空题（共11 小题）16如图，在 ABC中， A=40°，D 点是 ABC和 ACB角平分线的交点，则BDC=17一个多边形的内角和是外角和的2 倍，则这个多边形的边数为18一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为19若一个正多边形的一个外角等于18°，则

5、这个正多边形的边数是20若 n 边形内角和为 900°，则边数 n=21如图， AC是正五边形 ABCDE的一条对角线，则 ACB=22如图，正十二边形A1A2A12，连接 A3A7， A7A10，则 A3 A7A10=23如图是一枚 “八一 ”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中1 的大小为°24若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数为25如图，在 ABC 中， B=40°，三角形的外角 DAC 和 ACF 的平分线交于点 E，则 AEC=26如图，已知 AOB=7°，一条光线从点 A 出发后射向 OB 边若光线与 OB

6、 边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时 A=90°7°=83°当 A83°时，光线射到 OB 边上的点 A1 后，经 OB 反射到线段 AO 上的点 A2，易知 1=2若 A1A2 AO，光线又会沿A2A1A 原路返回到点A，此时A=°若光线从 A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角 A 的最小值= °三解答题（共4 小题）27已知 n 边形的内角和 =（ n 2）× 180°（ 1）甲同学说， 能取 360°；而乙同学说， 也能取 630°甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n若不

7、对，说明理由；（ 2）若 n 边形变为（ n+x）边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法确定x28认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题探究 1：如图 1，在 ABC中， O 是 ABC与 ACB的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现 BOC=90°+，理由如下： BO 和 CO分别是 ABC和 ACB的角平分线又 ABC+ACB=180° A BOC=180°（ 1+2）=180°（ 90°A）=探究 2：如图 2 中，O 是 ABC与外角 ACD的平分线 BO 和 CO的交点，试分析

8、 BOC与 A 有怎样的关系？请说明理由探究 3：如图 3 中， O 是外角 DBC与外角 ECB的平分线 BO 和 CO的交点，则 BOC与 A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：29平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（ 1）如图 a，若 ABCD，点 P 在 AB、CD 外部，则有 B= BOD，又因 BOD 是 POD的外角，故 BOD= BPD+D，得 BPD=B D将点 P 移到 AB、CD内部，如图 b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则 BPD、 B、 D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（ 2）在图 b 中，将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一

9、定角度交直线CD于点 Q，如图 c，则 BPD B D BQD之间有何数量关系？（不需证明）（ 3）根据（ 2）的结论求图 d 中 A+ B+C+D+E+F 的度数30阅读材料： 多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线， 将多边形分割成若干个小三角形图 1 给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了 2个， 3 个， 4 个小三角形请你按照上述方法将图2 中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数试把这一结论推广至n 边形参考答案一选择题（共15 小题）1（ 2019?贵港）在 ABC中，若 A=95°， B=40°，则 C 的度数为（）A35°B40

10、°C45°D50°【分析】 在 ABC中，根据三角形内角和是180 度来求 C 的度数【解答】 解：三角形的内角和是180°，又 A=95°， B=40° C=180° A B=180° 95° 40°=45°，故选 C【点评】本题考查了三角形内角和定理， 利用三角形内角和定理： 三角形内角和是 180°是解答此题的关键2（2019?乐山）如图，CE是 ABC的外角 ACD的平分线，若 B=35°， ACE=60°，则 A=（）A35°B95&#

11、176;C85°D75°【分析】 根据三角形角平分线的性质求出 ACD，根据三角形外角性质求出 A 即可【解答】 解： CE是 ABC的外角 ACD的平分线， ACE=60°， ACD=2ACE=120°， ACD=B+ A， A= ACD B=120° 35°=85°，故选： C【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3（ 2019?南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A三角形B四边形C五边形D六边形【分析】 根据多边形的内角和公式（

12、n2）?180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解【解答】 解：设多边形的边数为n，根据题意得（ n 2） ?180°=360，°解得 n=4故这个多边形是四边形故选 B【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键4（2019?台湾）如图的七边形ABCDEFG中， AB、ED 的延长线相交于O 点若图中 1、2、3、4 的外角的角度和为220°，则 BOD的度数为何？（）A40°B45°C50°D60°【分析】 延长 BC 交 OD 与点 M ，根据多边形的外角和为360

13、76;可得出 OBC+MCD+CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论【解答】 解：延长 BC交 OD与点 M ，如图所示多边形的外角和为360°， OBC+MCD+ CDM=360°220°=140°四边形的内角和为360°， BOD+OBC+180°+ MCD+CDM=360°， BOD=40°故选 A【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及角的计算， 解题的关键是能够熟练的运用多边形的外角和为 360°来解决问题本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时， 利

14、用多边形的外角和与内角和定理， 通过角的计算求出角的角度即可5（ 2019?广安）若一个正n 边形的每个内角为144°，则这个正 n 边形的所有对角线的条数是（）A7B10C35D70【分析】由正 n 边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式， 即可得出关于 n的一元一次方程，解方程即可求出 n 的值，将其代入 中即可得出结论【解答】 解：一个正 n 边形的每个内角为 144°， 144n=180×（ n 2），解得： n=10这个正 n 边形的所有对角线的条数是：=35故选 C【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正 n

15、 边形的边数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键6（ 2019?十堰）如图所示，小华从A 点出发，沿直线前进10 米后左转24°，再沿直线前进10 米，又向左转24°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A140 米B150 米C160 米D240 米【分析】多边形的外角和为 360°每一个外角都为 24°，依此可求边数，再求多边形的周长【解答】 解：多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，多边形的边数为360°÷24°=

16、15，小华一共走了： 15×10=150 米故选 B【点评】本题考查多边形的内角和计算公式， 多边形的外角和 关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为 24°求边数7（ 2019?临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A108°B90°C72°D60°【分析】 首先设此多边形为 n 边形，根据题意得： 180（ n2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于 360°，即可求得答案【解答】 解：设此多边形为n 边形，根据题意得： 180（n2）=540，解得： n=5，故这

17、个正多边形的每一个外角等于：=72°故选 C【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识 注意掌握多边形内角和定理：（ n2）?180°，外角和等于 360°8（2019?衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为 （）A10B11C12D13【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数 根据任何多边形的外角和都是360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数【解答】 解：外角是： 180°150°=30°，360°

18、÷30°=12则这个正多边形是正十二边形故选： C【点评】考查了多边形内角与外角， 根据外角和的大小与多边形的边数无关， 由外角和求正多边形的边数是解题关键9（ 2019?宜昌）设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则 a 与 b的关系是（）AabBa=b C a bD b=a+180°【分析】 根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论【解答】 解：四边形的内角和等于a， a=（42）?180°=360° 五边形的外角和等于 b， b=360°， a=b故选 B【点评】本题考查的是多边形的内角与外角， 熟知多边形的

19、内角和定理是解答此题的关键10（ 2019?长沙）六边形的内角和是（）A540°B720°C900°D360°【分析】 利用多边形的内角和定理计算即可得到结果【解答】 解：根据题意得：（ 62）× 180°=720°，故选 B【点评】此题考查了多边形内角与外角， 熟练掌握多边形内角和定理是解本题的关键11（ 2019?三明）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A8B9C10D11【分析】利用多边形的外角和是 360°，正多边形的每个外角都是 36°，即可求出答案【解答】

20、 解： 360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形故选 C【点评】 本题主要考查了多边形的外角和定理是需要识记的内容12（ 2019?舟山）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A6B7C8D9【分析】 首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可【解答】 解： 360°÷（ 180°140°）=360°÷ 40°=9答：这个正多边形的边数是9故选： D【点评】此题主要考查了

21、多边形的内角与外角， 要熟练掌握， 解答此题的关键是要明确多边形的外角和定理13（ 2019?北京）内角和为540°的多边形是（）ABCD【分析】 根据多边形的内角和公式（n2）?180°列式进行计算即可求解【解答】 解：设多边形的边数是n，则（ n 2） ?180°=540，°解得 n=5故选： C【点评】 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键14（ 2019?益阳）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A360°B540°C720°D900°【分析】根据

22、题意列出可能情况， 再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可【解答】解：将矩形沿对角线剪开， 得到两个三角形， 两个多边形的内角和为：180°+180°=360°；将矩形从一顶点剪向对边， 得到一个三角形和一个四边形， 两个多边形的内角和为： 180°+360°=540°；将 矩形 沿一 组对 边剪 开， 得到两 个四边形，两个多 边形的内角和为：360°+360°=720°，将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°；故选：

23、D【点评】本题考查了多边形的内角与外角， 能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键15（ 2019?凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 1080°，那么原多边形的边数为（）A7B7或 8C8或 9D7或 8或 9【分析】 首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数【解答】 解：设内角和为 1080°的多边形的边数是n，则（ n 2） ?180°=1080，°解得： n=8则原多边形的边数为7 或 8 或 9故选： D【点评】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后

24、它的边数可能增加 1，可能减少 1，或不变二填空题（共11 小题）16（ 2019?大庆）如图，在 ABC中， A=40°，D 点是 ABC和 ACB角平分线的交点，则 BDC= 110° 【分析】由 D 点是 ABC和 ACB角平分线的交点可推出 DBC+DCB=70°，再利用三角形内角和定理即可求出 BDC的度数【解答】 解： D 点是 ABC和 ACB角平分线的交点， CBD=ABD= ABC， BCD=ACD= ACB， ABC+ACB=180° 40°=140°， DBC+DCB=70°， BDC=180°

25、; 70°=110°，故答案为： 110°【点评】此题主要考查学生对角平分线性质， 三角形内角和定理， 熟记三角形内角和定理是解决问题的关键17（ 2019?西宁）一个多边形的内角和是外角和的2 倍，则这个多边形的边数为 6 【分析】 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题【解答】 解：多边形的外角和是360 度，多边形的内角和是外角和的2 倍，则内角和是 720 度，720÷ 180+2=6，这个多边形是六边形故答案为： 6【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键18（2019?常州）一个多边形的每个

26、外角都是60°，则这个多边形边数为6【分析】 利用外角和除以外角的度数即可得到边数【解答】 解： 360÷60=6故这个多边形边数为6故答案为： 6【点评】 此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都360°19（ 2019?梧州）若一个正多边形的一个外角等于18°，则这个正多边形的边数是20【分析】 根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数【解答】 解：正多边形的一个外角等于18°，且外角和为 360°，这个正多边形的边数是：360°÷ 18°=20故答案为： 20【点评】本题

27、主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度20（ 2019?自贡）若 n 边形内角和为 900°，则边数 n=7【分析】 由 n 边形的内角和为： 180°（n2），即可得方程180（n2）=900，解此方程即可求得答案【解答】 解：根据题意得： 180（n2）=900，解得： n=7故答案为： 7【点评】此题考查了多边形内角和公式此题比较简单， 注意方程思想的应用是解此题的关键21（2019?资阳）如图，AC是正五边形 ABCDE的一条对角线，则 ACB= 36° 【分析】 由正五边形的性质得出 B=108°，AB

28、=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果【解答】 解：五边形 ABCDE是正五边形， B=108°，AB=CB， ACB=（180°108°）÷ 2=36°；故答案为： 36°【点评】 本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正五边形的性质，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 ACB 是解决问题的关键22（ 2019?连云港）如图，正十二边形 A1A2A12，连接 A3A7，A7A10，则 A3A7A10=75° 【分析】 如图，作辅助线，首先证得= O 的周长，进而求得A

29、3OA10=150°，运用圆周角定理问题即可解决【解答】 解：设该正十二边形的中心为O，如图，连接 A10O 和 A3 O，由题意知，=O 的周长， A3OA10=150°， A3A7A10=75°，故答案为： 75°【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理，作出恰当的辅助线，灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键23（2019?宁德）如图是一枚 “八一 ”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中 1 的大小为108°【分析】 所求角即为正五边形的内角，利用多边形的内角和定理求出即可【解答】 解：正五边形的内角和为（5 2

30、）× 180°=540°， 1=540°÷5=108°，故答案为： 108【点评】此题考查了多边形的内角和外角， 熟练掌握多边形的内角和定理是解本题的关键24（2019?扬州）若多边形的每一个内角均为 135°，则这个多边形的边数为 8 【分析】先求出每一外角的度数是 45°，然后用多边形的外角和为 360°÷45°进行计算即可得解【解答】 解：所有内角都是135°，每一个外角的度数是180° 135°=45°，多边形的外角和为360°

31、， 360°÷45°=8，即这个多边形是八边形故答案为： 8【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一25（ 2019?常德）如图，在 ABC 中， B=40°，三角形的外角 DAC 和 ACF的平分线交于点E，则 AEC= 70° 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得DAC+ ACF= （ B+ B+1+2）；最后在 AEC 中利用三角形内角和定理可以求得 AEC的度数【解答】 解：三角形的外角 DAC和 ACF的平分线交于点E， EAC= DAC， ECA= ACF；又 B=

32、40°（已知）， B+1+ 2=180°（三角形内角和定理）， DAC+ ACF= （ B+2）+ （ B+1）= （ B+B+1+ 2）=110°（外角定理）， AEC=180°（DAC+ACF） =70°故答案为： 70°【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质， 熟练应用角平分线的性质是解题关键26（2019?河北）如图，已知 AOB=7°，一条光线从点 A 出发后射向 OB 边若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时 A=90° 7°=83°当 A83°

33、时，光线射到OB 边上的点A1 后，经OB 反射到线段AO 上的点A2，易知 1=2若 A1A2AO，光线又会沿 A2A1A原路返回到点 A，此时 A=76 °若光线从 A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角 A 的最小值= 6 °【分析】 根据入射角等于反射角得出1= 2=90°7°=83°，再由 1 是 AA1 O的外角即可得 A 度数；如图，当 MNOA 时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出 5、 9 的度数，从而得出与 A 具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题【解答】 解： A1A2AO， A

34、OB=7°， 1= 2=90°7°=83°， A= 1 AOB=76°，如图：当 MNOA 时，光线沿原路返回， 4= 3=90°7°=83°， 6= 5=4 AOB=83° 7°=76°=90° 14°， 8= 7=6 AOB=76° 7°=69°， 9= 8 AOB=69°7°=62°=90°2×14°，由以上规律可知， A=90° n?14°，当 n=

35、6 时， A 取得最小值，最下度数为 6°，故答案为： 76， 6【点评】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与 A 具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键三解答题（共4 小题）27（ 2019?河北）已知 n 边形的内角和 =（n2）× 180°（ 1）甲同学说， 能取 360°；而乙同学说， 也能取 630°甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n若不对，说明理由；（ 2）若 n 边形变为（ n+x）边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法确定x【分析

36、】（ 1）根据多边形内角和公式可得n 边形的内角和是 180°的倍数，依此即可判断，再根据多边形内角和公式即可求出边数n；（ 2）根据等量关系：若 n 边形变为（ n+x）边形，内角和增加了 360°，依此列出方程，解方程即可确定 x【解答】 解：（ 1） 360°÷180°=2，630°÷180° =3 90，°甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=2+2=4答：甲同学说的边数n 是 4；（ 2）依题意有（ n+x2）× 180°（ n2）&

37、#215; 180°=360°，解得 x=2故 x 的值是 2【点评】考查了多边形内角与外角， 此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解28认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题探究 1：如图 1，在 ABC中， O 是 ABC与 ACB的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现 BOC=90°+，理由如下： BO 和 CO分别是 ABC和 ACB的角平分线又 ABC+ACB=180° A BOC=180°（ 1+2）=180°（ 90°A）=探究 2：如图 2 中，O

38、 是 ABC与外角 ACD的平分线 BO 和 CO的交点，试分析 BOC与 A 有怎样的关系？请说明理由探究 3：如图 3 中， O 是外角 DBC与外角 ECB的平分线 BO 和 CO的交点，则 BOC与 A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论： BOC=90° A 【分析】 （1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用 A 与 1 表示出 2，再利用 O 与 1 表示出 2，然后整理即可得到 BOC与 A 的关系；（ 2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 OBC与 OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解【解答】 解：（ 1）探究 2 结论： BOC= A，理由如下： BO 和 CO分别是 ABC和 ACD的角平分线， 1= ABC， 2= ACD，又 ACD是 ABC的一外角， ACD=A+ABC， 2= （ A+ ABC）=A+1， 2 是 BOC的一外角