模糊数学的基础知识

1、指导老师指导老师: : 宋荣荣宋荣荣日日 期：期：5.115.11一、什么是数学建模？一、什么是数学建模？ 根据背景知识（已知条件）和查找资料，选择正确的方法建立模型，通过计算机编程计算模型的结果，利用结果回答要解决的问题。数学建模的简要介绍数学建模的简要介绍1、全国数学建模比赛官方网站 http:/ 1 章章生活中的现象生活中的现象用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观

2、看那一面向上，这种现象的规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如模糊现象：如 “今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”，等等等。等。 模糊数学产生的必然性模糊数学产生的必然性1、多少粒种子是一堆?2、秃子问题：所有人都是秃头。确定性的知识无法解决模糊现象。模糊数学的创始人模糊数学的创始人1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德） 发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )模糊数学的基本思想模糊数学的基本思想用属于

3、程度代替属于或不属于。用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于另一个人属于秃子的程度为秃子的程度为0.3等等. 课堂主要内容课堂主要内容一、基本概念一、基本概念二、主要应用二、主要应用1. 模糊聚类分析（模糊关系）模糊聚类分析（模糊关系）对所研究的事物按对所研究的事物按一定标准进行分类一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性值，颜色，厚薄等不同的性状，对土

4、壤进行分类。状，对土壤进行分类。2.模糊识别（贴近度）模糊识别（贴近度）已知某类事物的若干标已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一一类模型。类模型。例如：苹果分级问题例如：苹果分级问题苹果，有苹果，有I级，级，II级，级，III级，级，IV级级四个等级。四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。3.模糊决策模糊决策(权重权重)把事物按照优劣进行排序，或者选出把事物按照优劣进行排序，或者选出“令人满意的最佳事物令人满意的最佳事物”。例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价例如：某班学

5、生对于对某一教师上课进行评价从从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面四方面给出给出很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好四层次的评价四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划（普通线性规划）模糊线性规划（普通线性规划）将线性规划的约束将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解5.模糊系统控制（模糊规则）模糊系统

6、控制（模糊规则）模糊系统是一种基于模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统。它的核心就是由所谓的知识或基于规则的系统。它的核心就是由所谓的IFTHEN规则所组成的控制器。一个规则所组成的控制器。一个IFTHEN规则就是规则就是一个用连续的隶属度函数对所描述的某些句子所做的一个用连续的隶属度函数对所描述的某些句子所做的形式的陈述。形式的陈述。（一）经典集合（一）经典集合确定性；无重复性；互异性确定性；无重复性；互异性 集合的表示法：集合的表示法： (1)(1)枚举法，枚举法，A= x1 , x2 , xn ； (2)(2)描述法，描述法，A= x | P(x). A B 若若x A，则则x B；

7、A B 若若x B，则则x A； A=B A B且且 A B. . （3 3）图示法）图示法一、经典集合的性质一、经典集合的性质 集合集合A的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为的幂集，记为 (A).并集并集AB = x | x A或或x B ；交集交集AB = x | x A且且x B ；余集余集Ac = x | x A . .集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律： AA = A， AA = A； 交换律：交换律： AB = BA， AB = BA； 结合律：结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )； 吸收律：吸收律

8、： A( AB ) = A，A( AB ) = A；分配律：分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；0-10-1律：律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ；还原律：还原律： (Ac)c = A ；对偶律：对偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = U， AAc = ；U 为全集，为全集， 为空集为空集.集合的直积：集合的直积： X Y = (x , y )| x X , y Y .二、映射二、映射1 1、映射、映射 f ： X Y特征函数满足特征函数满足（证

9、明）（证明） ., 0;, 1)(AxAxxA).(1)();()()();()()(xxxxxxxxAABABABABAc取大运算取大运算, ,如如23 = 3取大运算取大运算, ,如如23 = 22、集合、集合A的特征函数：的特征函数：三、二元关系三、二元关系 X Y 的子集的子集 R 称为从称为从 X 到到 Y 的的二元关系，二元关系，特别地，当特别地，当 X = Y 时，时，称之为称之为 X 上的上的二元关系二元关系.二元关二元关系简称为系简称为关系关系. 若若(x , y ) R，则，则称称 x 与与 y 有有关系，记为关系，记为R (x , y ) = 1； 若若(x , y )

10、R，则，则称称 x 与与 y 没有没有关系，记为关系，记为R (x , y ) = 0. 映射映射 R : X Y 0,1实际上是实际上是 X Y 的子集的子集R上的特征函数上的特征函数.关系的三大特性：关系的三大特性： 设设R为为 X 上的上的关系关系 (1) 自反性自反性：若：若 X 上的任何元素都与自己有上的任何元素都与自己有关系关系R，即即R (x , x) =1，则称关系，则称关系 R 具有自反性；具有自反性； (2) 对称性对称性：对于：对于X 上的任意两个元素上的任意两个元素 x , y，若，若 x 与与y 有关系有关系R 时，则时，则 y 与与 x 也有关系也有关系R，即若，即

11、若R (x , y ) =1，则，则R ( y , x ) = 1，那么称关系那么称关系R具有对称性具有对称性； (3) 传递性传递性：对于：对于X上的任意三个元素上的任意三个元素x, y, z，若若x 与与y 有关系有关系R，y 与与z 也有关系也有关系R 时，则时，则x与与z 也有关系也有关系R，即若即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则则R ( x , z ) = 1，那么那么称关系称关系R具有传递性具有传递性. . 关系的矩阵表示法关系的矩阵表示法 设设X = x1, x2, , xm, ,Y= y1, y2, , yn，R为从为从 X 到到 Y 的的二元关

12、系，记二元关系，记rij = =R(xi , yj )，R = (rij)mn，则则R为布为布尔矩阵尔矩阵( (Boole) )，称为称为R的关系矩阵的关系矩阵. 布布尔矩阵尔矩阵( (Boole) )是元素只取是元素只取0或或1的矩阵的矩阵. .关系三大特性的矩阵表示法：关系三大特性的矩阵表示法： 设设R为为 X = x1, x2, , xn 上的上的关系，则其关关系，则其关系系矩阵矩阵R = (rij)nn 为为 n 阶方阵阶方阵.(1) R具有具有自反性自反性 I R；(2) R具有具有对称性对称性 RT = R ； (3) R具有具有传递性传递性 R2R . . 若若R具有具有自反性，

13、则自反性，则 I R R2 R3 关系合成的矩阵表示法关系合成的矩阵表示法 设设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且，且X 到到Y 的关系的关系R1 = (aik)ms，Y 到到 Z 的关系的关系R2 = (bkj)sn，则则X 到到Z 的关系可表示为矩阵的合成：的关系可表示为矩阵的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks. 例例 设设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是Y

14、 到到 Z 的关系的关系,R1 =(x, y) | x + y = 6= (2,4), (3,3), (4,2),R2 =(x, y) | y z = 1= (2,1), (3,2), (4,3),则则R1与与 R2的合成的合成R1 R2=(x, y) | x + z = 5 = (2,3), (3,2), (4,1).0010101000001R1000100012R合成合成( )运算的性质：运算的性质：性质性质1：(A B) C = A (B C)；性质性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性质性质3： A ( BC ) = ( A B )( A C ) ； ( B

15、C ) A = ( B A )( C A ) ；性质性质4：O A = A O = O，I A=A I =A；性质性质5：AB，CD A C B D.其中其中O为零矩阵为零矩阵，I 为为 n 阶单位方阵阶单位方阵.AB aijbij .集合上的等价关系集合上的等价关系 设设 X 上的上的关系关系R具有具有自反性、对称性、传递自反性、对称性、传递性，则称性，则称R为为 X 上的等价上的等价关系关系. 若若x与与y 有等价关系有等价关系R，则记为，则记为 x y.集合上的等价类集合上的等价类 设设 R是是X 上的等价上的等价关系，关系，x X. 定义定义x的等价的等价类：类：xR = y | y

16、X ， y x .相似关系相似关系 设设 X 上的上的关系关系R具有自反性、对称性，则称具有自反性、对称性，则称R为为 X 上的相似上的相似关系关系.集合上的相似类集合上的相似类 设设 R是是X 上的相似上的相似关系，若关系，若C X，任取任取x，y C，有有 x Ry则称则称C是由相似关系是由相似关系R产生的相似类，记为产生的相似类，记为x R .（二）模糊集合（二）模糊集合一、模糊集合的定义一、模糊集合的定义 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程

17、度的隶属程度. 使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性.例例 设论域设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身高，那么表示人的身高，那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 .

18、06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxA二、模糊集的运算二、模糊集的运算相等相等：A = B A(x) = B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac (x) = 1- - A(x). 例例 设论域设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在，在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集： A =“商品质量好商品质量好”， B =“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A = (0

19、.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见可见Ac B, Bc A. 又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .模糊集的运算律模糊集的运算律 幂等律：幂等律：AA = A， AA = A；交换律：交换律：AB = BA，AB = BA；结合律：结合律：(A

20、B)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A； 分配律：分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-10-1律：律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；还原律：还原律： (Ac)c = A ；对偶律：对偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 模糊集的运算性质基本上与经典集合一模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了致，除了排中律排中律以外，即以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，的特点，这正是模糊性带来的本质特征这正是模糊性带来的本质特征. .三、模糊算子三、模糊算子