A1从欧氏几何到解析几何(第一次课)

1、 湖南大学湖南大学 数学与计量经济学院数学与计量经济学院前言前言 几何学的起源 几何学是从丈量土地,测量容积和制造器皿等生产实践活动中产生和总结出来的. - -恩格斯几何学的起源十分久远，它产生于早期人类的几何学的起源十分久远，它产生于早期人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开始。而社会实践，从人类对实物形状的认识开始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量及天文促进几何学产生的直接原因与土地测量及天文活动有关。在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一活动有关。在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦洪水退却，需要重新测量土地。因此便

2、逐渐产洪水退却，需要重新测量土地。因此便逐渐产生了关于几何形体的概念、性质及其度量方面生了关于几何形体的概念、性质及其度量方面的知识。的知识。埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：可以分割为几块较细小的三角形农田，例： 长方形农田两块面积相等的三角形农田梯形农田三块三角形农田埃及数学文献“莫斯科纸草书”与“兰德纸草书”中计有110个数学问题，其中有26个属于几何问题，主要是计算土地面积、谷物体积等公式。由此可见，埃及人当时已掌握了圆周长、面积的近似公式，还知道三角形、圆柱体的求积公式。这些知识也在其它古

3、老文明中出现，巴比伦人在公元前2000年前1600年，已熟悉计算长方形、直角三角形、等腰三角形的面积，以及一些形体的体积，还掌握了勾股定理的特殊情况。中国秦汉以前的几何学内容，没有留下文字性材料，详细情况不得而知，但从西汉成书的九章算术，以及农业社会的社会形态上看，这些几何知识也相当发达。 几何学在希腊人的手中成为数学的第一个分支并趋于成熟. - -阿蒂亚历史上，几何学在很长的一段时间里面是一历史上，几何学在很长的一段时间里面是一门高度理论化的学科门高度理论化的学科, , 在若干世纪里在若干世纪里, ,欧几里欧几里得几何控制着数学的舞台得几何控制着数学的舞台. .一、欧氏几何和欧氏空间一、欧氏

4、几何和欧氏空间 欧几里得（欧几里得（Euclid,Euclid,公元前公元前330330公元前公元前275275）是希腊是希腊亚历山大亚历山大的数学教师。于十几岁的少年的数学教师。于十几岁的少年时，进入时，进入“柏拉图学园柏拉图学园”学习。著名的古希腊学习。著名的古希腊学者学者阿基米德阿基米德，是他，是他“学生的学生学生的学生”卡农卡农是阿基米德的老师，而欧几里得是卡农的老师。是阿基米德的老师，而欧几里得是卡农的老师。 欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果，整理在严密的逻辑系统运算之来的丰富成果，整理在严密的逻辑系统运算之中，使几何学成为

5、一门独立的、演绎的科学。中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。 欧几里得最著名的著作欧几里得最著名的著作几何原本几何原本是是欧洲欧洲数数学学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。的认为是历史上最成功的教科书。 几何，英文为几何，英文为“Geometry”Geometry”，是由希腊文演变而，是由希腊文演变而来的，其原意为来的，其原意为“土地测量土地测量”。我国明代徐光启。我国明代徐光启翻译翻译几何原本几何原本时，将时，将“Geometry”Geometry”一词译为一词译为“几何学几何学”，就是从其音译而来。，就是从其音译而

6、来。欧几里得不仅是一位学识渊博的欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家数学家，同时，同时还是一位有还是一位有“温和仁慈的蔼然长者温和仁慈的蔼然长者 ” ”之称的之称的教教育家育家。在著书育人过程中，他始终牢记着。在著书育人过程中，他始终牢记着柏拉图柏拉图学派学派自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上

7、不肯刻苦钻研的人，则毫不客气近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评。地予以批评。 1.1.几何原本几何原本介绍介绍 几何原本几何原本共分十三卷，给出了共分十三卷，给出了467467个个命题，几乎涵盖了前人所有的数学成果。命题，几乎涵盖了前人所有的数学成果。全书精心编排，把命题依照彼此的逻辑关全书精心编排，把命题依照彼此的逻辑关系，从简单到复杂，将内容按照顺序排列系，从简单到复杂，将内容按照顺序排列起来是欧几里得最成功的创造。起来是欧几里得最成功的创造。1.1.几何原本几何原本介绍介绍 第一卷是全书逻辑推理的基础，给出了什么第一卷是全书逻辑推理的基础，给出了什么是点、线、面等是点、

8、线、面等2323个定义，个定义，5 5条公设，条公设，5 5个公个公理，由此讨论三角形全等、边角关系、垂线、理，由此讨论三角形全等、边角关系、垂线、平行线、平行四边形、多边形、勾股定理等。平行线、平行四边形、多边形、勾股定理等。 五条公设：五条公设：（1 1）从每个点到每个别的点必定可引直线；）从每个点到每个别的点必定可引直线；（2 2）直线可以无限延长；）直线可以无限延长；（3 3）以任一点为中心，任意长为半径可以作圆；）以任一点为中心，任意长为半径可以作圆；（4 4）所有直角都相等；）所有直角都相等；（5 5）若一直线与两条直线相交，且同侧内角和小于）若一直线与两条直线相交，且同侧内角和小

9、于 两直角，则此两直线必在该侧相交。两直角，则此两直线必在该侧相交。 五条公理五条公理：（1 1）等于同量的量相等；）等于同量的量相等；（2 2）等量加等量，和相等；）等量加等量，和相等；（3 3）等量减等量，差相等；）等量减等量，差相等；（4 4）彼此重合的东西是相等的；）彼此重合的东西是相等的；（5 5）整体大于部分。）整体大于部分。下图是目前发现的最早的欧几里得几何原本中的一页 1896-97 由两个探险家（B. P. Grenfell and A. S. Hunt）在俄克喜林库斯(Oxyrhynchus )发现的纸莎草纸（公元75年-125年，现存于宾夕法尼亚大学）.Book II:

10、Proposition 5: If a straight line is cut into equal and unequal segments, then the rectangle contained by the unequal segments of the whole together with the square on the line between the points of section equals the square on the half(from the classic translation of T. L. Heath).命题：如图,设C是线段AB的中点，那

11、么 22AD BDCDBCCDBA欧氏空间欧氏空间 后人把欧几里得建立的几何理论称为后人把欧几里得建立的几何理论称为“欧氏几何欧氏几何”；成立欧氏几何的平面称；成立欧氏几何的平面称为为“欧氏平面欧氏平面”；成立欧氏几何的空间；成立欧氏几何的空间称为称为“欧氏空间欧氏空间”。公理法公理法 欧几里得在欧几里得在几何原本几何原本使用的这种使用的这种建立理论体系的方法称为建立理论体系的方法称为“公理法（原公理法（原始公理法）始公理法）”。第第（五）（五）公设公设 第第公设等价于：过直线外一点只可作公设等价于：过直线外一点只可作一直线平行于已知直线。在一直线平行于已知直线。在几何原本几何原本问世的两千年

12、中，不少人试图去修正，尤问世的两千年中，不少人试图去修正，尤其是第其是第公设，被认为可由其余九条所证公设，被认为可由其余九条所证出，或用更简单或更直观的公理来代替。出，或用更简单或更直观的公理来代替。罗氏几何罗氏几何 俄国数学家罗巴切夫斯基（俄国数学家罗巴切夫斯基（LobatchevskyLobatchevsky，1793-18561793-1856）也希望能证明第）也希望能证明第公设，他企图公设，他企图通过否定第通过否定第公设的等价命题来引出矛盾。公设的等价命题来引出矛盾。但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个到逻辑

13、上的矛盾，这些新的结论构成了一个不同的几何体系，后来被称为罗氏几何。不同的几何体系，后来被称为罗氏几何。2.2.希尔伯特与希尔伯特与几何基础几何基础 18991899年德国数学家希尔伯特（年德国数学家希尔伯特（Hilbert,1862-Hilbert,1862-19431943）发表了著作）发表了著作几何基础几何基础。希尔伯特在。希尔伯特在这书中对欧几里得几何及有关几何的公理系统这书中对欧几里得几何及有关几何的公理系统进行了深入的研究。他不仅对欧几里得几何提进行了深入的研究。他不仅对欧几里得几何提供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对别的公理的独立性以

14、及一个公理体系确实为完别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完备的普遍原则。备的普遍原则。 三个基本对象：点、直线、平面三个基本对象：点、直线、平面 三种基本关系：三种基本关系： “ “在在之上之上”、 “ “在在中间中间”、 “ “合同于合同于” 2.2.希尔伯特与希尔伯特与几何基础几何基础五组公理共五组公理共2020条条： 第一组关联公理，共第一组关联公理，共8 8条；条； 第二组顺序公理，共第二组顺序公理，共4 4条；条； 第三组合同公理，共第三组合同公理，共5 5条；条； 第四组连续公理，共第四组连续公理，共2 2条；条； 第五组平行公理，共第五组平行公理，共1 1条。条。这五组公理满

15、足了公理体系的三个基本要求，即这五组公理满足了公理体系的三个基本要求，即相容性、相容性、独立性和完备性独立性和完备性。如果把这五组的公理稍作增减，便得出其。如果把这五组的公理稍作增减，便得出其他不同的几何空间，例如把平行公理中的欧几里得平行公理他不同的几何空间，例如把平行公理中的欧几里得平行公理换为罗巴切夫斯基平行公理，那便把欧几里得空间换为换为罗巴切夫斯基平行公理，那便把欧几里得空间换为罗巴切夫斯基空间。罗巴切夫斯基空间。现代公理法：现代公理法： 以五组公理为基础，陆续定义了一些新以五组公理为基础，陆续定义了一些新的概念和证明一些新的结论（定理），这的概念和证明一些新的结论（定理），这样建立

16、起了一个依照逻辑关系，排列顺序样建立起了一个依照逻辑关系，排列顺序井然的体系，称为现代公理法。井然的体系，称为现代公理法。3.3.公理系统的三个问题公理系统的三个问题 构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：（1 1）无矛盾性无矛盾性：即所有的公理彼此不产生矛盾，：即所有的公理彼此不产生矛盾，也称相容性；也称相容性；（2 2）独立性独立性：即每一条公理都不能由其它公理推：即每一条公理都不能由其它公理推出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的；出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的；（3 3）完备性完备性：即已有的公理已足够了，不能再增：即已有的

17、公理已足够了，不能再增加与公理组都相容的新公理。加与公理组都相容的新公理。 在数学及其它领域，利用公理法思想的地在数学及其它领域，利用公理法思想的地方很多，但一般并未形成欧氏几何公理系方很多，但一般并未形成欧氏几何公理系统这样严格的理论体系。一般地，任何一统这样严格的理论体系。一般地，任何一个公理系统必须是相容的，但未必是独立个公理系统必须是相容的，但未必是独立的，完备性更不是必需的。的，完备性更不是必需的。3.3.公理系统的三个问题公理系统的三个问题 除了欧氏几何，罗氏几何与射影几何除了欧氏几何，罗氏几何与射影几何的公理系统也具备以上三个条件。的公理系统也具备以上三个条件。 任何一个公理体系

18、都不可能在本系统内任何一个公理体系都不可能在本系统内证明它的无矛盾性，也就是说任何一个证明它的无矛盾性，也就是说任何一个理论系统最终还是要靠实践来检验它的理论系统最终还是要靠实践来检验它的真伪与价值。真伪与价值。3.3.公理系统的三个问题公理系统的三个问题 自从欧几里得的自从欧几里得的几何原本几何原本问世以来，人们问世以来，人们一直把代数限定在研究数及其关系的范畴内，一直把代数限定在研究数及其关系的范畴内，把几何限定在研究位置和图形的范畴内。代数把几何限定在研究位置和图形的范畴内。代数和几何截然分家持续了几千年，犹如两座高山和几何截然分家持续了几千年，犹如两座高山被万丈深渊分割被万丈深渊分割.

19、 .二、解析几何二、解析几何二、解析几何二、解析几何到了文艺复兴时期，代数学从阿拉伯传到到了文艺复兴时期，代数学从阿拉伯传到欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数学的启发，有了用代数的方法来研究几何学的启发，有了用代数的方法来研究几何的思想，从而产生了的思想，从而产生了连接代数和几何的桥连接代数和几何的桥梁，将梁，将“数数”和和“形形”紧密联系在紧密联系在 一起的一起的科学，解析几何学，又名坐标几何学。科学，解析几何学，又名坐标几何学。二、解析几何二、解析几何 法国数学家笛卡尔（法国数学家笛卡尔（R.Descartes1596-R.Descartes1596-

20、16501650）于）于16371637年发表长篇著作年发表长篇著作更好地指更好地指导推理和寻求科学真理的方法论导推理和寻求科学真理的方法论，该书，该书三个附录之一三个附录之一几何学几何学阐述了他的坐标阐述了他的坐标几何的思想，标志着解析几何的诞生。几何的思想，标志着解析几何的诞生。笛卡儿在笛卡儿在几何学几何学里，创立了里，创立了直角坐标系直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为

21、代数形式，而且可以通题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数数”与与“形形”统一了起来，使几何曲线与统一了起来，使几何曲线与代数方程代数方程相结合。相结合。笛卡儿的创见，为微积分的创立奠定了基础，笛卡儿的创见，为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵的是，笛卡儿用运动的观点，把曲线看成点的是，笛卡儿用运动的

22、观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形（包括点、线、面）和关系，而且把形（包括点、线、面）和“数数”两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折转折- -由常量数学进入变量数学的时期由常量数学进入变量数学的时期。 恩格斯评价：恩格斯评价：“数学中的转折点是笛数学中的

23、转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有学，有了变数，辩证法进入了数学，有了数学，微分和积分也立刻成为必要的了数学，微分和积分也立刻成为必要的了了”（自然辩证法自然辩证法）。笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。目的。 1. 1.笛卡尔的思想核心笛卡尔的思想核心2.2.笛卡尔的两个基本观念笛卡尔的两个基本观念（1 1）坐标观念：）坐标

24、观念： 其作用是把欧氏平面上的点与一对有其作用是把欧氏平面上的点与一对有序的实数对应起来。序的实数对应起来。2.2.笛卡尔的两个基本观念笛卡尔的两个基本观念 （2 2）将带两个未知数的方程和平面上的曲线）将带两个未知数的方程和平面上的曲线相对比的观念：相对比的观念： 例如二元方程例如二元方程 ，这种通常有，这种通常有无穷多组解的所谓无穷多组解的所谓“不定方程不定方程”对代数学家来对代数学家来说是索然无趣的，但笛卡尔注意到当说是索然无趣的，但笛卡尔注意到当x x连续地连续地改变时，方程相应确定的改变时，方程相应确定的y y，于是两个变量，于是两个变量x,yx,y可以看作是平面上运动着的点的坐标，

25、于是这可以看作是平面上运动着的点的坐标，于是这样的点组成一条平面曲线。样的点组成一条平面曲线。 222xya2.2.笛卡尔的两个基本观念笛卡尔的两个基本观念 以上两个观念概括来讲，就是用代数以上两个观念概括来讲，就是用代数方法去解决几何问题，这就是解析几何方法去解决几何问题，这就是解析几何的基本思想。具体地，借助坐标系，把的基本思想。具体地，借助坐标系，把几何对象，几何结构代数化，从而用代几何对象，几何结构代数化，从而用代数的办法研究几何问题。数的办法研究几何问题。3.3.空间解析几何空间解析几何 17311731年，法国人克雷洛（年，法国人克雷洛（Clairant Clairant 1713

26、-17651713-1765）出版了）出版了关于双重曲率的曲关于双重曲率的曲线的研究线的研究一书。这是一个最早的空间一书。这是一个最早的空间解析几何著作，同时也研究了微分几何解析几何著作，同时也研究了微分几何学。学。 在空间建立坐标系，可以把点与有序三实数组在空间建立坐标系，可以把点与有序三实数组建立对应。从而，可用方程建立对应。从而，可用方程 表示曲表示曲面，用方程组：面，用方程组： 表示空间的曲线。表示空间的曲线。3.3.空间解析几何空间解析几何( , , )0F x y z 0),(0),(21zyxFzyxF三、几何学在古代工程测量中的应用 ( (一一) ) 海船测距海船测距 （二）金

27、字塔测高（二）金字塔测高泰勒斯（泰勒斯（ThalesThales）的二个问题）的二个问题泰勒斯泰勒斯（ThalesThales，约公元前，约公元前600600年），是希腊年），是希腊哲学的奠基人之一，并被希腊人和罗马人尊哲学的奠基人之一，并被希腊人和罗马人尊为为“希腊七贤希腊七贤”之一，是他最早将几何研究之一，是他最早将几何研究引进希腊，人们称之为演绎推理之父。他既引进希腊，人们称之为演绎推理之父。他既是一位数学家，又是一名教师，一名哲学家，是一位数学家，又是一名教师，一名哲学家，一名天文学家，一个精明的商人，而且是第一名天文学家，一个精明的商人，而且是第一个采用一步步证实的办法来证明自己结论

28、一个采用一步步证实的办法来证明自己结论的几何学家。的几何学家。(一)海船测距 这个问题是泰勒斯（这个问题是泰勒斯（ThalesThales）提出的，他还）提出的，他还提出勒金字塔的测高问题，对于生活在提出勒金字塔的测高问题，对于生活在26002600余年（公元前约余年（公元前约600600年）前的泰勒斯，至今年）前的泰勒斯，至今人们所知甚少，只知道是希腊哲学的奠基人人们所知甚少，只知道是希腊哲学的奠基人之一，并被希腊人和罗马人尊为之一，并被希腊人和罗马人尊为“希腊七贤希腊七贤”之一。之一。 那时没有任何平面几何，当然更没有全等三那时没有任何平面几何，当然更没有全等三角形的概念，时间是公元前角形

29、的概念，时间是公元前600600年。在那个时年。在那个时代，他能够想到利用这种方法进行测量已经代，他能够想到利用这种方法进行测量已经使很伟大的了！使很伟大的了！（二）金字塔测高 图中的四棱锥为金字塔，左边的小三角形图中的四棱锥为金字塔，左边的小三角形表示一个装置，即在平地上树起一根表示一个装置，即在平地上树起一根3 3米的杆米的杆子，在某一时刻，它在太阳光底下的影子比方子，在某一时刻，它在太阳光底下的影子比方说是说是4.84.8米。泰勒斯在同一时刻测得金字塔在米。泰勒斯在同一时刻测得金字塔在太阳光底下的影子是太阳光底下的影子是235235米。因为这数字是在米。因为这数字是在同一时刻测出的，故由

30、于那两个粗线三角形相同一时刻测出的，故由于那两个粗线三角形相似，从而泰勒斯测得的塔高应从下式来计算：似，从而泰勒斯测得的塔高应从下式来计算： 金字塔高金字塔高=235=2353/4.8=146.8753/4.8=146.875（米）（米） 要注意的是，此处比例值（杆高要注意的是，此处比例值（杆高/ /杆影长）杆影长）是解决问题的关键。其实这个数在一天里的不是解决问题的关键。其实这个数在一天里的不同时刻有着不同的值，因为这个数来自太阳在同时刻有着不同的值，因为这个数来自太阳在地平线上升起的角度。泰勒斯特地根据不同的地平线上升起的角度。泰勒斯特地根据不同的太阳高度编了一张表如下：太阳高度编了一张表如下：太阳在地平线上的