实际问题与一元二次方程3

1、例：例：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540米米2.(1)(2)(1)解解:(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0

2、) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于形面积减去道路面积等于540540米米2 2. .解法一、解法一、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，米，32x 米米2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 米米2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米米2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx图中的道路面积不是图中

3、的道路面积不是3220 xx米米2.(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米米. .122,50 xx解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过

4、移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)横向路面横向路面 ，如图，设路宽为如图，设路宽为x米，米，32x米米2纵向路面面积为纵向路面面积为 .20 x米米2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） .相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540米米2(20-x)米米（32-x)米米即即322054

5、0.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1相同相同.1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同要修筑同样宽的三条道路样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的要使试验地的面积为面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解:设道路宽为设道路宽为x米，米，则则570)220)(232(xx化简得，化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx

6、其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围四周外围环绕着宽度相等的小路环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解:设小路宽为设小路宽为x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的宽为小路的宽为3米米.例例. (2003年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面利米的篱笆，一面利用墙

7、（墙的最大可用长度用墙（墙的最大可用长度a为为10米），围成中间隔有米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽设花圃的宽AB为为x米，面积米，面积为为S米米2，（，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围）如果要围成面积为成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析【解析】(1)设宽设宽AB为为x米，米，则则BC为为(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件由条件-3x2+24x=45化为：化为：x2-8x+15=0解得解得x1=5，x2=3024-3x10得得14/3x8

8、x2不合题意，不合题意，AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽AB为为5米米例例1 1：百佳超市将进货单价为：百佳超市将进货单价为4040元的商品按元的商品按5050元出售时，能卖元出售时，能卖500500个，已知该商品要涨价个，已知该商品要涨价1 1元，其销售量就要减少元，其销售量就要减少1010个，为了个，为了赚赚80008000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？分析：设商品单价为（分析：设商品单价为（50+x)50+x)元元, ,则每个商品得利润则每个商品得利润 （50+x) 50+x) 4040元，元，因为每涨价因为每涨价1 1元，其销售

9、会减少元，其销售会减少1010，则每个涨价，则每个涨价x x元，其销售量会减少元，其销售量会减少10 x10 x个，故销售量为（个，故销售量为（500 500 10 x10 x）个，根据每件商品的利润）个，根据每件商品的利润件数件数=8000=8000，则应用（，则应用（500 500 10 x10 x） （50+x) 50+x) 40=800040=8000解：设每个商品涨价解：设每个商品涨价x元，则销售价为（元，则销售价为（50+x)元，销售量为（元，销售量为（500 10 x）个，）个，则则（500 10 x） （50+x) 40=8000，整理得整理得 解得解得 都符合题意。都符合题意

10、。当当x=10时时,50+ x =60，500 10 x=400；当当 x=30时，时，50+ x =80， 500 10 x=200。答：要想赚答：要想赚80008000元，售价为元，售价为6060元或元或8080元；若售价为元；若售价为6060元，则元，则进贷量应为进贷量应为400400；若售价为；若售价为8080元，则进贷量应为元，则进贷量应为200200个。个。, 0300402xx30,1021xx生活有关一元二次方程的利润问题生活有关一元二次方程的利润问题例例2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，件，每件盈利每件盈利40元，为了扩

11、大销售，增加盈利，尽快减少库元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出元，商场平均每天可多售出2件，若商场件，若商场平均每天要盈利平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？元，每件衬衫应降价多少元？利润问题主要用到的关系式是：利润问题主要用到的关系式是： 每件利润每件利润=每件售价每件售价-每件进价；每件进价； 总利润总利润=每件利润每件利润总件数总件数分析：如果设每件衬衫降价分析：如果设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈利元，则每件衬衫盈利（40-x

12、）元，根据每降价）元，根据每降价1元就多售出元就多售出2件，即降价件，即降价x元则多售出元则多售出2x件，即降价后每天可卖出（件，即降价后每天可卖出（20+2x)件，件，由总利润由总利润=每件利润每件利润售出商品的总量可以列出方程售出商品的总量可以列出方程解：设每件衬衫降价解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：元，根据题意得：（40-x)(20+2x)=1200整理得，整理得，x2-30 x+200=0解方程得，解方程得，x1=10,x2=20因为要尽快减少库存，所以因为要尽快减少库存，所以x=10舍去。舍去。答：每件衬衫应降价答：每件衬衫应降价20元。元。【跟踪训练】1某商场将每件进价某商场将

13、每件进价 80 元的某种商品原来按每件元的某种商品原来按每件100元元出售，一天可售出出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这种商件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低品单价每降低 1 元，其销售量可增加元，其销售量可增加 10 件件(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？解：(1)100(10080)2000(元)答：原来一天可获利润 2000 元(2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得(10080 x)(10010 x)2160，即 x210 x160.解得 x12，x28.答：商店经营商

14、品一天要获利 2160 元，每件商品应降价 2元或 8 元2、某种新品种进价是、某种新品种进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系：与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系：每件售（元）130150165每日销售（件705035（1）请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销）请你根据上表中所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销售量减少的数量（件）之间的关系。售量减少的数量（件）之间的关系。（2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？元？3(数字问题数字问题)两个连续奇数的积是两个连续奇数的积是 323，求这两个数，求这两个数解法一：设较小奇数为 x，则另一个为 x2，依题意，得 x(x2)323.整理后，得 x22x3230.解得 x117，x219.由 x17，得 x219.由 x19，得 x217.答：这两个奇数是 17,19 或者19，17.解法二：设较小的奇数为 x1，则较大的奇数为 x1.依题意，得(x1)(x1)323.整理后，得 x2