《结构动力学》-第二章-单度线性系统自由振动

1、第二章单度线性系统自由振动第二章单度线性系统自由振动2-1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动1力学与数学模型力学与数学模型kmx(t)xm静力平衡位置k0 kxxm 1 力学与数学模型力学与数学模型复摆复摆sinmgdJ sin0mgdJ 1 力学与数学模型力学与数学模型aLmk022kamL EI从材料力学知，简支梁跨中受到力P作用时，跨中挠度为：kPEIPL且483348LEIPk0kxxm 1 力学与数学模型力学与数学模型T)(0rkmgTmx200()JTrkr220012JMrmgrkr222(0.5)0Mrmrkr质量m：滑轮：广义数学模型为：广义数学模型为：式中：式中：广义质量广义质

2、量 广义刚度广义刚度 广义位移广义位移0 KXXM 2 微分方程的解微分方程的解以广义数学模型说明以广义数学模型说明0 KXXM 02XXn 或或MKn称为固有频率或圆频率称为固有频率或圆频率)Sin(CosSin)(tCtBtAtXnnn积分常数积分常数C和和由初始条件确定：由初始条件确定：000XXXXt，时，3 自由振动的特征量自由振动的特征量（1） 固有频率固有频率n，周频率，周频率f，周期，周期TnnTTff/2/12（2）振幅振幅22BAC（3）周期性周期性: x(tT)x(t)（4） 初相位初相位其中其中 固有频率固有频率n的求解最重要的求解最重要4 求固有频率求固有频率n的几种

3、常用方法的几种常用方法（1） 建立运动微分方程建立运动微分方程（2）利用串并联关系求合成刚度利用串并联关系求合成刚度（a）并联并联（b）串联串联（c）并联并联并联并联：位移相等：位移相等eekFkkFFkFkFXXkXkkFFF212122112121)(串联串联：力相等：力相等21212121221121111)11(kkkkkkkkFkkFkFkFXXXeeX1与与X2为弹簧变形为弹簧变形4 求固有频率求固有频率n的几种常用方法的几种常用方法（3）对于垂直振动系统，有对于垂直振动系统，有（4） 能量法能量法其中其中 （1）与（）与（4）用得最多）用得最多（5） 能量能量折算法求弹簧等效质量

4、折算法求弹簧等效质量gMKgMKststn例例 已知：已知：m，R和和k，纯滚动。，纯滚动。 求：固有频率求：固有频率n解：动能定理解：动能定理)21(4321212222RvmRImvImvTccccc221kxU ckxmvUTc222143常数两边求导：两边求导：023023kxxmxkxxmvc 例例 已知：均质滑轮，已知：均质滑轮，M，m，r和和k，绳索不可伸长，且，绳索不可伸长，且与滑轮间无相对滑动。与滑轮间无相对滑动。 求系统固有频率求系统固有频率n解：系统动能：解：系统动能： 系统势能：系统势能： 22222011113222216TmxMyJmxMx221128Vkykx由由

5、 ()0dTVdt(41.5)0mM xkx41.5nkmM例例 已知：无重直角曲杆，已知：无重直角曲杆，m，k1，k2，a，b。 求求n)(axkxm akbmkOx)(axkx直角曲杆直角曲杆解：解：物块物块mkb)(axkObkbaaxkJ)(0 00Jabax220222kbbam ）（)(222bamkb例例 已知：无重直角曲杆，已知：无重直角曲杆，m，k1，k2，a，b。 求求nakbmkOx直角曲杆直角曲杆解：解：物块物块m)(222bamkb)(0 axkmg)(0 axk)(1bk)(0axkmgxm 0kmg bbkaaxkJ)()(100 010bkak00J 实际系统，

6、振动不会永远下实际系统，振动不会永远下去，振幅会逐渐衰减，直至振动去，振幅会逐渐衰减，直至振动停止，表明有阻力，设阻力与速停止，表明有阻力，设阻力与速度的一次方成正比，即度的一次方成正比，即2-2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动1 阻尼阻尼k)(txcmkxxc)(txVcRC为阻尼系数，力学模型如图。为阻尼系数，力学模型如图。2 运动微分方程及其解运动微分方程及其解kxxcxm 0kxxcxm 即(*)022xxnxn 或(1) 大阻尼及临界阻尼情况大阻尼及临界阻尼情况2 几种情况几种情况）式，有，代入（设*)(t retx0222nnrr222, 1nnnrtrtreCeCtx2121)(n

7、tntnntnntneCeCentCCetxnn大阻尼临界阻尼)()()(22222121这时系统不发生振动，这里不作讨论。这时系统不发生振动，这里不作讨论。2 几种情况几种情况C、D或或A、由初始条件确定由初始条件确定。(2) 小小阻尼情况阻尼情况mkcnn2或222, 1-ninrn此时22-nnd记)sin()cossin()()(222221tAetDtCeeCeCetxdtnddtntnitnitnnnnnndddTnTT/2-/2222得由即衰减振动周期即衰减振动周期Td大于无阻尼时的振动周期大于无阻尼时的振动周期Tn。表明有阻尼时频率下降。表明有阻尼时频率下降。22-nndn但是

8、为临界阻尼），于是为小阻尼，为大阻尼，（称为临界阻尼，称为阻尼比，且有，则若令11122mkcccmkcnccn222-1-1-11ndndndffTT一般，由于一般，由于，故有，故有ndndndffTT阻尼对系统的周期和固有频率影响不大，但阻尼对系统的周期和固有频率影响不大，但对振幅的影响却很大。对振幅的影响却很大。)(1)(dnnnTtidtittndAeATtAeAtAeAeA时刻：时刻：振幅：称为振幅减缩率dnTiieAA12T=-ntAeAAotxAiAi+1如：如：0.02时时%02. 011-2ndn2845. 0882. 0101iiiiAAAA 即频率下降了即频率下降了0.02，而振幅一个周期后下降了，而振幅一个周期后下降了12，10个周期后则下降到原来的个周期后则下降到原来的28.45。 当当0.05时，频率仅下降时，频