第三章_线性方程组

1、高等代数3线性方程组第三章 线性方程组n 学时：18学时。n 教学手段：p 课堂讲授与学生自学讨论相结合，课堂练习和课后演练习题相结合，教师辅导答疑。n 基本内容和教学目的：p 基本内容：本章的基本内容是线性方程组理论，向量空间的基本理论以及几何空间平面和直线的简单性质。p 教学目的：p 1使学生准确理解线性方程组的全部理论和向量空间的线性相关性理论，p 2熟练地掌握线性方程组的解法，线性方程组有解的充分必要条件及其线性方程组解的结构。n 本章的重点和难点：p 用消元法解线性方程组，线性方程组解状况的判定定理及结构定理，向量组的线性相关性理论，线性空间的基础理论。 高等代数3线性方程组3.1

2、消消 元元 法法高等代数3线性方程组对一般线性方程组11 11221121 1222221 122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb（1）当m=n，且系数行列式0D 时，我们知方程组（1）有唯一解，其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时方程组是有解，还是无解。同时，当mn时，我们也没有解此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程高等代数3线性方程组组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解

3、方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表123123132314254226xxxxxxxx 213142542026把第1个方程分别乘以（-2）、（-1）加到第2个、3个方程把第1行分别乘以（-2）、（-1）加到第2、3行1232323231425xxxxxxx 213104120115高等代数3线性方程组把第3个方程分别乘以（-4）、1加到第2个、1个方程把第3行分别乘以（-4）、1加到第2、1行133232263185xxxxx 2026003180115把第2个方程与第3个方程互换位置把第2行与第3行互换位置132332265318xxxxx 2026011500318 分别把第1

4、个方程和第3个方程乘以12和 13分别用12和 13乘第1行和第3行13233356xxxxx 101301150016高等代数3线性方程组把第3个方程分别乘以（-1）、1加到第1、2个方程分别把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行123916xxx 100901010016在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变换：l 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上；l 用一个非零数乘一个方程的两边；l 互换两个方程的位置。这三种变换总称为线性方程组的初等变换。如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换：l 用一个数乘矩阵的

5、某一行加到另一行上；l 用一个非零数乘矩阵的某一行；高等代数3线性方程组l 互换两行的位置。这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。定义1（矩阵）：数域F上 m n个元素排成形如下数表ija称为矩阵的或 F111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为数域上的m行n列矩阵，简称m n阶矩阵，记为m nAijm na。ijaija元素，i称为元素所在行的行下标，j称为元素 所在列的n n

6、当m=n时，矩阵亦称为方阵。列下标。高等代数3线性方程组若 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，则111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称为矩阵A的行列式，记为A注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换：l 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法变换）l 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换）l 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换） 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与原方程组同解。高等代数3线性方程组

7、证明：对第（1）种初等变换证明之。 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩阵称为方程组的增广矩阵，记为A对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和常数项组成的矩阵A（称为增广矩阵）进行相应的初等变换，因此由定理3.1.1，我们有定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵A进行行初等变换化为B，则以B为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同解。 由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问：一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？方程组的初等变换把一

8、个线性方程组变为一个定理3.1.1:与它同解的线性方程组。高等代数3线性方程组定理3.1.3: 一个m n矩阵A，通过行初等变换及列换法变换可化为一下阶梯形1010001000000000000B r行这里0min,rm n。更进一步，通过行初等变换，可化为高等代数3线性方程组11121211000100010000000000rnrnrrtnccccCcc 所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零；若该行全为零，则它的下方元素也全为零。证明：若A=0，则A已成阶梯形，若 0A，则A至少有一个元素不为0，不妨设110a， （否则

9、，设0ija ，我们可经行、列变换，使ija位于左上角）。把第一行分别乘以1111,2,3,iaaim加到高等代数3线性方程组第i行，则A化为111211112121222222112200nnnnmmmnmmnaaaaaaaaabbAAaaabb 用 111a乘第一行得：121222122100nnmmnbbbbAAbb 对 2A中的右下角矩阵2222nmmnbbbb类似考虑，若其为0，高等代数3线性方程组则结论成立；若其不为0，不妨设220b，用1222,3,ib bim乘第2行加到第i（i=3，m）行，然后用122b乘第二行得：121312322333331010000nnnmmnbbb

10、ccAAcccc 如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。AB 对B进行一系列行的消法变换，则可以把B化为C。BC 定理中的r是矩阵A的秩，是一个确定的数，其意义以后再研究。高等代数3线性方程组112111,1112,122,1100000rnrnrrniriniiriniir rirnirrxcxc xdxcxc xdxcxc xdd定理3.1.4 线性方程组（1）与以下形式的线性方程组同解（2）其中12,niiixxx是 12,nx xx的一个排列。 只要证明线性方程组（1）的增广矩阵AA b经一系列行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化为矩阵：高等代数3线性方程组11112122

11、1110001000100000000000000000rnrnrrtnrrccdccdccdCd 以 C为增广矩阵的线性方程组就是（2）。由定理3.1.3知，A中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C化为高等代数3线性方程组111121221112100010001000000000000000rnrnrrtnrrrnccdccdccdCddd 若 1,rndd中有一个不为零，不妨设10rd，否则可经行变换换到第r+1行，然后对r+2，n行进行行消法变换，可使20rndd。于是1C就化为C由定理3.1.4 可知：1、当 10rd时，方程

12、组无解；2、当 10rd时，高等代数3线性方程组若r=n，则方程组有唯一组解；若r4时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同的性质。本课程常常用小写希腊字母,表示向量。有了向量，一个方程1 122iiinnia xa xa xb就可以用一个n+1高等代数3线性方程组元向量来表示：12,iiiniaaab向量的相等：如果两个n维向量1212,nna aab bb的对应分量都相等，即,1,2,.iiabin，则称这两个向量相等，记为向量的和：向量1122,nnab abab称为向量12,na aa与 12,nb bb的和， 记为

13、r=+。零向量：分量全为零的n维向量：0,0,0称为零向量。负向量：向量12,naaa称为向量12,na aa的负向量，记为-。向量的数量乘积：设12,na aakF，则称向量12,nka kaka为向量与数k的数量乘积，记为k。向量的减法：-=+（-）。高等代数3线性方程组向量的加法满足以下四条运算规律：1、交换律：+=+；向量的数乘满足以下四条运算规律：1、分配律： ； kkk)(2、分配律： ； lklk )(3、结合律： ； )()(kllk4、有单位元 ： 。 12、结合律：（+）+=+（+）；3、有零元：+ 0 =， ；4、有负元：+ = 0， 。a高等代数3线性方程组 如果我们不

14、考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空间，记为 。nF由向量的加法和数乘可以推出以下性质:1、 ；001 2、 ； 3、 ；00k 4、若 ，则 。0,0k0k高等代数3线性方程组向量可以写成：12,na aa，12,naaa也可以写成：前者称为行向量，后者称为列向量。12(,)na aa列向量常写成：高等代数3线性方程组3.3 3.3 线性相关性线性相关性高等代数3线性方程组

15、向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本节仅限于在nF中进行讨论。一、向量组的线性关系在解几中，向量空间3R中的任一个向量可由, ,i j k 和 R中的一组数123,a a a表示出来，即有123a ia ja k。在一般n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述表达式的意义。定义3.3.1：设12,r 是 nF中的向量，若存在F中12,rk kkr个数:，使1122rrkkk则称是向量组12,r 的一个线性组合

16、，或称向量可由12,r 线性表出。高等代数3线性方程组例3.3.1 在3F中，1231, 1,0 ,0,2,1 ,1, 1,2 ,5, 7,512323,可由123, 的线性组合。例3.3.2 在nF中，任一向量12,na aa可由向量组121,0,0 ,0,1,0 ,0,0,1n线性表示，i称为n维单位向量。 这回答了本段开头提出的问题，12,n 在 nF它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？下面将给予回答。中有重要的作用。注1：零向量是任一向量组的线性组合。定义3.3.2：对于nF中r个向量12,r ，若存在F中不全为零的数 12,rk kk，使11220rrkkk，则称

17、12,r 线性相关，否则称12,r 线性无关，（即不存在不全为零的数12,rk kk，使是不是 的线性组合？123, 高等代数3线性方程组11220rrkkk）。例3.3.3 判断向量122, 3 ,6, 9是否线性相关（若两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。注2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。注3：向量组12,r 中有一个零向量，则12,r 必线性相关。 例3.3.4 判断向量组1231, 2,3 ,2,1,0 ,1, 7,9是否线性相关。解：设有123,k k k，使1122330kkk于是得：1231231320270390kkkkkkkk1211212170

18、55309066103011000高等代数3线性方程组取 1233,1,1kkk ，则有12330故 123, 线性相关。由此可得判断向量组12,r 线性关系的一般步骤： 设11220rrkkk 若能找到不全为零的12,rk kk，使成立，则12,r 线性相关； 若由只能推出120rkkk，则12,r 线性相关。更一般地，要判断nF中向量组11112122122212,nnrrrrnaaaaaaaaa是否线性相关，只要判断齐次线性方程组11 1212112122221122000rrrrnnrnra xa xa xa xa xa xa xa xa x高等代数3线性方程组是否有非零解。若有非零解

19、，则12,r 线性相关；若只有零解，则 12,r 线性无关。二、线性关系的简单性质性质1：向量组12,r 中的每一向量i都可以由这一组向量线性表示。性质2：如果向量r可由向量组12,r 线性表示，而每一个向量i又可由向量组12,s 线性表示。证：设1,riiirk而 1,1,2,sijjjbir故 111111rsrssrijjijjijjijijjirkbk bk b 性质3：如果向量组12,r 线性无关，则它的任一部 分组也线性无关。高等代数3线性方程组性质3：如果向量组12,r 有部分组线性相关，则12,r 向量组也线性相关。性质4：设向量组12,r 线性无关而向量组12,r 线性相关，

20、则一定可由12,r 线性表示。性质5：线性无关向量组12,r 的同位延长向量组也线性无关。证：设111121,taaa221222,taaa,12,rrrrtaaa线性无关，其延长向量组为：111121111,ttnaaaaa221222212,ttnaaaaa121,.rrrrtrtrnaaaaa高等代数3线性方程组11220rrkkk设，可以推得：11220rrkkk因为 线性无关，12,r 所以120rkkk，故得12,r 也线性无关。定理3.3.1：向量组12,2rr 线性相关的充要条件是： 其中有某一个向量是其他向量的线性组合。（这个条件常被作为线性相关的另一种定义）高等代数3线性方

21、程组三、向量组的等价和替换定理定义3.3.3 设向量组（）：12,r 和向量组（）：12,s 是向量空间nF中的两个向量组，如果组（）中的任一向量i都可由12,s 线性表示，而组（）的任一向量j也可由12,r 线性表示,则称这两个向量组等价。例3.3.5 向量组121,0,2 ,1,2,3与向量组1230,2,1 ,3,4,8 ,2,2,5是否等价？1322232,解而 1212213,2,2,2,5 12, 与 123, 等价。高等代数3线性方程组向量组的等价满足以下三个性质：1、反身性：任何向量组均与自己等价；2、对称性：若12,r 与 123, 等价，则12,s 也与12,r 等价；3、

22、传递性：若12,r 与 12,s 等价，与 12,t 具有以上三个性质的关系称之为等价关系。定理3.3.2（替换定理）：设向量组（）：12,r 线性无关，且每一i可由向量组（）：12,s 线性表示，则rs，且在适当调整向量组（）中向量的次序后，可使向量组（）：121,rrs 与向量组（）等价。证明要点：（对向量组（）中的个数r使用归纳法）12,s 12,t 等价。则12,r 与 等价。高等代数3线性方程组当r=1时，1线性无关，10且 111,siiisk由于10，必存在某个0,ik 不妨设就是10k ，于是有2121111sskkkkk于是向量组12,s 与向量组12,s 等价。假设当r=n

23、-1时结论成立，即有1ns 且在适当调整（）组中向量的次序后，11,nns与组（）等价。则当r=n时，考虑前n-1个向量，有归纳假设知，1ns 且向量组（）11,nns与组（）等价。又 n可被12,s 线性表示，高等代数3线性方程组n可由向量组（）线性表示。设 1111nnnnnssllll由于1,n线性无关，,nsll必不全为零。（否则得1111,nnnll矛盾），不妨设1111111nnsnnnnsnnnnnlllllllll因此，向量组（）121,nns 11,nns与向量组（）等价。由归纳假设知（）与（）等价，故向量组（）与（）等价。由于0,nl 1ns 故 .ns由替换定理可得以下两

24、个重要推论：0,nl 于是高等代数3线性方程组推论1：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。推论2：如果向量组12,r 可由向量组12,s 线性表示，且rs，则向量组12,r 必线性相关。通俗地说：如果个数多的向量组能被个数少的向量组表示，则个数多的向量组必线性相关。推论3：n+1个n维向量必线性相关。四、极大线性无关组设 12,n 是向量空间nF一组不全为零的向量，若它们线性相关，则其中必含有向量个数尽可能多的线性无关组12,iiir，这个部分组本身线性无关，而若从原向量组再添加一个向量就线性相关，可见原向量组中每个向量都可用这个部分组线性表示。具有这种性质的向量组就称为极大线性无关组

25、，它对以后的讨论是很重要的。定义3.3.4 如果向量组12,n 的一个部分组：12,iiir高等代数3线性方程组满足以下两条：12,iiir线性无关；12,n 中任一向量可由12,iiir线性表示，则称向量组12,iiir是向量组12,n 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。例3.3.6 求向量组1232, 1,3,1 ,4, 2,5,4 ,2, 1,2,3的一个极大线性无关组。解：12, 线性无关，而321，故12, 是 123, 的一个极大无关组。 又 13, 线性无关，而213，故13, 也是一个极大无关组。 可见一个向量组的极大无关组并不是唯一的，那么我们要问：一个向量组的极大无关组

26、的个数是否唯一？定理3.3.3 等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量，高等代数3线性方程组特别的，一个向量组的两个极大无关组含有向量个数相同。由等价的传递性和推论1立得。定义3.3.5： 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数叫做这个向量组的秩。例3.3.7 求12341,4,1,0 ,2,1, 1, 3 ,1,0, 3, 1 ,0,2, 6,3 的秩（极大线性无关组的个数）。解一：12, 线性无关，又3不能被12, 线性表示，123, 线性无关。但 412323123, 是极大无关组，1234, 的秩为3。解二：123412104102113603131210074203460313

27、 行变1210012400390313高等代数3线性方程组103801240013005151038012400130051512341001010200130000 123，线性无关，且412323123，是一极大无关组。123, 线性无关，且412323123, 是一极大无关组，1234, 的秩为3。如果向量组中每个向量均为0，则这个向量组的秩为0。高等代数3线性方程组3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩高等代数3线性方程组 上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向量组成的。定

28、义3.4.1 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。例如3.4.1 求矩阵1212023200240012A的行秩和列秩。解：A的行向量组是：12341,2,1,2 ,0,2,3,2 ,0,0,2,3 ,0,0,0,1其极大线性无关组是：123, 故A的行秩为3。又A的列向量为高等代数3线性方程组12341,0,0,0 ,2,2,0,0 ,1,3,2,1 ,2,2,4,2 ,则列向量组的极大线性无关组为123, 故A的列秩也是3。问：矩阵A的行秩是否等于列秩？ 为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组的解联系起来。引理：如果齐次线性方

29、程组11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax（3.4.1）的系数矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa的行秩rn，那么它有非零解。高等代数3线性方程组证明：用12,m 表示矩阵A的行向量。由于其秩为r，故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设1,r一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于向量组11,rrm 与 是等价的，故原方程组与11 1122121 122221 122000nnnnrrrnna xa xa xa xa

30、xa xa xa xa x（3.4.2）是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。是它的1,r以下方程组定理3.4.1 矩阵的行秩与列秩相等。高等代数3线性方程组证明：设所讨论的矩阵为111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa而A的行秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证rs，再证rs）。用 12,m 表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设1,r是它的一个极大线性无关组。因为1,r线性无关，故方程组110rrxx只有零解。此即齐次线性方程组11 1212112122221122000rrrrnnrnra xa x

31、a xa xa xa xa xa xa x只有零解。高等代数3线性方程组由引理知，这个方程组的系数矩阵112111222212rrnnrnaaaaaaaaa的行秩r因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量， 不妨设向量组11211,raaa12222,raaa12,rrrraaa由上一节的性质5知，其延长向量组：线性无关。112111,11,rrmaaaaa122221,22,rrmaaaaa高等代数3线性方程组121,rrrrrrmraaaaa也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性无关，故知A的列秩,sr同理可证：sr，因此有r=s。由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩

32、阵的秩。下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。定理3.4.2n n矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式为零的充要条件是A的秩小于n。证：充分性显然：设A的秩=rn。用12,n 表示A的列向量组。不妨设12,ra是列向量组的极大无关组。高等代数3线性方程组设 1122nrrkkk考虑A的行列式111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa1112212212000nnaaaaaa 0必要性：若 0A ，我们对n用归纳法证明。当n=1时，由0A 知A仅有一个元素就是0，故A的秩为01。假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用12,n 表

33、示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这n个元素有一个不为0，不妨设110a，则从第二列直到n列分别加上第一列的倍数1121111,naaaa高等代数3线性方程组这样，在把121,naa消为零的过程中，行列式A化为11212221200nnnnnaaaaAaaa222112nnnnaaaaa其中121110,2,3,iiniiaaaina由于110,0Aa，故n-1阶矩阵22220nnnnaaaa由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组1122111111,nnaaaa也线性相关，即存在不全为零的数2,nkk，使11222111

34、1110nnnaakkaa高等代数3线性方程组整理得112212211110nnnnaakkkkaa因此12,n 线性相关，它的秩小于n。推论： 齐次线性方程组11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x，有非零解的充要条件是它的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式为0。 结论的必要性由Gramer法则立得，结论的充分性是定理3.4.2的推论。再考虑一般m n矩阵的秩与行列式的关系。高等代数3线性方程组定义3.4.2 在一个m n矩阵A中任意选定k行，k列，1min,km n。位于这

35、些选定的行和列的交叉位置上的2k个元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。证明：必要性。设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的极大线性无关组为r。因而任意r+1个行向量必线性相关，线性相关向量组的“缩短”向量组也线性相关，故矩阵A的任意r+1阶子式的行向量也线性相关。由定理3.4.2知，这种子式全为零，下证A中至少有一个r阶子式不为零。高等代数3线性方程组设 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa，秩A=r。A中极大无关组的个数为r，不妨设这r个向量正是前

36、r个行向量（不然，可以调换行向量的位置，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，另证）。把这r个向量取出来，作成新的矩阵1A1112121222112nnrrrnaaaaaaAaaa矩阵1A的行秩为r。因而其列秩也为r，即1A的列向量组的极大无关组个数也是r个，不妨设就是前r列线性无关，因而高等代数3线性方程组1112121222120rrrrrraaaaaaaaa。它是矩阵A的一个r阶子式。充分性：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即1112121222120rrrrrraaaaaaaaa无关，又根据线性无关向量组的延长向量组也线性无关知，A

37、中前r个向量是线性无关的。由于A中所有r+1阶子式全为零，因此再增加任一个行向量均线性相关（否则会导出A中有一个r+1阶子式不全为零），可见矩阵A的其他行向量可由这r个。由定理3.4.2知这r个行组成的向量组线性高等代数3线性方程组向量线性表示。故矩阵行向量的秩为r，从而矩阵的秩为r。如何求矩阵的秩？例3.4.2 求130540107379535260108A的秩解：因为A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何四阶子式均为0，故秩3A，现找到一个三阶子式1300100795，故知A的秩为3。从例3.4.1可以看出，根据定义来求矩阵的秩是繁杂的，下面利用矩阵的初等变换来求，因此先要证明。定理3

38、.4.4 初等变换不改变矩阵的秩。高等代数3线性方程组例3.4.3 求矩阵2111231241211145651828102610A的秩。解：0334112412081216401218246A124120334102341023411073101000023410068210731010000034100000故秩A=3。高等代数3线性方程组定理3.4.5 秩为r的矩阵A可通过初等变换化为如下标准形：1000001000001000000000000 高等代数3线性方程组3.5 3.5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理高等代数3线性方程组在有了向量和矩阵的理论准备之后， 下面给出

39、线性方程11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb（3.5.1）有解的判别定理。定理3.5.1（线性方程组有解的判别定理）： 线性方程组（3.5.1）有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵 A有相同的秩。高等代数3线性方程组11121121222212nnmmmnnaaabaaabAaaab证一：对线性方程组（3.5.1）的增广矩阵A行初等变换与前n列的换法变换得B施行 111121121110001000100000000000rnrnrrrnrrccdccdBccdd 高等代数3线性方程组A的前n列所成的矩

40、阵是A，设B的矩阵为B。的前n列所成1. 若秩A=秩A，则由定理3.4.4知，秩B=秩B故 10.rd因此原方程组有解。2. 若原方程组（3.5.1）有解，则以B的方程组也有解。故为增广矩阵10,rd于是秩B=秩B因此秩A=秩A证二：设111211,maaa212222,maaa,12,nnnmnaaa12,.mb bb高等代数3线性方程组于是方程组（3.5.1）可表为：1122.nnxxx（3.5.2）设方程组（3.5.1）有解，由于等价的向量组有相同的秩，12,n 是A的列向量组，由（3.5.2）知可由12,n 线性表示，因此向量组12,n 与 12,n 等价。12,n 是 A的列向量组，

41、故秩A=秩A高等代数3线性方程组充分性：若秩A=秩A于是向量组12,n 与 12,n 有相同的秩，设为r。不妨设 12,r 是 12,n 的一个极大线性无关组。显然12,r 也是12,n 的一个极大无关组，可由12,r 线性表示。由传递性知，可由12,n 线性表示，可见方程组（3.5.1）有解。定理3.5.2：设线性方程组（3.5.1）的系数矩阵A和增广矩阵A 有相同的秩r。高等代数3线性方程组当rn时，方程组有无穷多解。则当r=n（n为方程中未知量个数）时，方程组有唯一解；（为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零）。证：当秩A=秩A=r时，由定理3.5.1知，方程组有解。这时线性方程组的

42、增广矩阵A如下阶梯形：经行变换可化为高等代数3线性方程组A 111121121100010001000000000000rnrnrrrnrccdccdBccd 因此方程组（3.5.1）与以下方程组同解。11111122112211rrnnrrnnrrrrrnnrxcxc xdxcxc xdxcxc xd高等代数3线性方程组当r=n时，方程组有唯一解：,1,2, .iixdin当rn时，方程组的解为：11111122211211rrnnrrnnrrrrrrnnxdcxc xxdcxc xxdcxc x这里1,rnxx是自由未知量。故方程组有无穷多解。高等代数3线性方程组例3.5.1：解线性方程组

43、123123412341234123422312223343799517xxxxaxxxxxxxxxxxxxxx其中a为实常数。解：2230112122331411113799517aA0012501121011121111302224a高等代数3线性方程组0012501004011121002500000a0012501004010131002500000a10012540100140001311002500002aaa900101401001730001191000100000aaaaaaa高等代数3线性方程组当a=1时，方程组无解。例3.5.2：当a、b取何值时，线性方程组1234512

44、34512345123453455963234322215433xxxxxxxxxxaxxxxxaxxxxxb当 1a 时，原方程的解为1234914191731axaxaaxaaxa高等代数3线性方程组无解？有解？ 在有解时求其一般解。3455963211311111154331aAb012263012263111111012265ab01226300000111111000002ab当 0a 或 2b 时，无解；当a=0且b=2时，线性方程组有解。01226300000101152000002ab高等代数3线性方程组是自由未知量。345,x x x解是：13452345253226xxxx

45、xxxx ，高等代数3线性方程组3.6 3.6 线性方程组的解结构线性方程组的解结构高等代数3线性方程组 如果可以的话，我们对解的情况就能更好地把握，这个问题就是线性方程组的解结构问题。在解决线性方程组是否有解的判别条件之后，我们知道在秩A=秩A方程组有唯一解。在秩A=秩=n（方程组未知量个数）时，An时，方程组有无穷多解。这时，我们要问，这些解之间有没有什么关系？能否用有限个解把全部解表示出来？ 在讨论线性方程组的解结构之前，我们先考虑其特殊情况：齐次线性方程组解的情况。高等代数3线性方程组一、齐次线性方程组的解结构。设齐次线性方程组为：11 1122121 122221 122000nnn

46、nmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax（3.6.1）它的解具有以下两个重要性质：性质1：证：分别是（3.6.1）的两个解，1,nkk和 1,nll设齐次线性方程组（3.6.1）的两个解的和仍是方程组（3.6.1）的解。高等代数3线性方程组即有110,0,1,2,nnijjij jjja ka lin把这两个解之和11,nnklkl代入方程组（3.6.1）得：10,1,2,nijjjijjij jjjjakla ka lin故两个解之和仍是方程组（3.6.1）的解。性质2：齐次线性方程组（3.6.1）解的倍数仍是方程组的解。高等代数3线性方程组证：设1,nkk是方程组（3

47、.6.1）的解，即有10,1,2,nijjja kin用 l乘这个解得1,nlklk把它代入方程组（3.6.1）得：10,1,2,nijjijjjja lkla kin故 1,nlklk是方程组（3.6.1）的解。综合性质1，2得性质3： 齐次线性方程组解的线性组合仍是方程组的解。高等代数3线性方程组 本性质表明，如果方程组（3.6.1）有r个解，则这r个解的所有可能的线性组合就给出（3.6.1）的无穷多解。我们想知道，齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限个解的线性组合表示出来？答案是肯定的，为此须引入以下定义。定义3.6.1： 齐次线性方程组（3.6.1）的一组解12,r 称为方程组（

48、3.6.1）的一个基础解系，如果 12,r 线性无关； 方程组（3.6.1）的任一个解都能表成12,r 的线性组合。高等代数3线性方程组 这里，条件保证基础解系中没有多余的解，而条件则说明方程组（3.6.1）的任一解都能由12,r 线性表示，实际上12,r （3.6.1）的解向量的极大线性无关组。是方程组 下面的定理证明，齐次线性方程组确有基础解系，定理的证明过程实际上就是具体求基础解系的方法。定理3.6.1：在齐次线性方程组（3.6.1）有非A的秩。向量的个数等于n-r，这里n为未知量的个数， r是零解的情况下，它有基础解系，且基础解系所含解高等代数3线性方程组 因为A中行向量组中前r个向量

49、线性无关，而后在（3.6.1）有非零解的情况下，rn。为方便计不妨设A的左上角的r阶子式不为零。11 11111121 1221121 111000rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnna xa xaxa xa xa xaxa xa xa xaxa x（3.6.2）证明： 设齐次线性方程组（3.6.1）系数矩阵A的秩为r。（3.6.1）与以下方程组同解。n-r个向量可由前r个向量线性表示。于是，方程组高等代数3线性方程组把（3.6.2）改写成 11 11111121 1221121 111rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnna xa xaxa xa xa xaxa xa xa x

50、axa x （3.6.3）也是（3.6.1）的解。注意：对方程组（3.6.3）的把自由未知量的任一组值1,rncc代入（3.6.3）的右边，由克莱姆法则可得（3.6.3）的解，从而任两个解，只要自由未知量的取值一样，这两个解就完全一样。高等代数3线性方程组在（3.6.3）中，分别用以下nr组数： 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1代替自由未知量12,rrnxxx就得到方程组（3.6.3），从而是（3.6.1）的nr个解：111122121,1,0,0,0,1,0,0,0,1rrn rrrrcccccc下证12,n r 是一个基础解系。高等代数3线性方程组首先证12,n r 线性无关，设由1 12212, ,n rn rn rkkkk kk 0,0,0,0,0 ,于是得120,n rkkk故 12,n r 线性无关。再证方程组（3.6.1）的任一解可由12,n r 线性表示。设112,rrrncc ccc