第四章平面向量、复数.

1、子曰：学而时习之 高2015级数学复习学案 Daiwangge第四章 平面向量与复数.平面向量知识结构表向量的加、减法向量的概念向量向量的运算两个向量垂直的充要条件件件两个向量平行的充要条件件件向量的数量积实数与向量的积向量的运用.复数的知识结构表数系的扩充与复数的引入复数的概念复数的运算数系的扩充 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合

2、，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题

3、解决.4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法. 4.1 平面向量的概念及其运算一、考纲解读：1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义二、考向指导：1、考生用向量共线的充要条件证明平面几何中三点共线和三线共点，逻辑推理及综合运用的能力。2、高考主要考查向量的概念的几何运算、代数运算和性质。一般为贴近教材、难度中等偏易的选择题、填空题。三、重点：掌握向量的几何表示，坐标运算与性质。会用几何法进行加减法运算与向量的坐标运算。难点：理解共线的充要条件

4、，了解平面向量的基本定理。利用几何方法与坐标方法证明共点、共线等问题。四、知识要点：1、向量的有关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，向量可以用有向线段来表示。（2）向量的表示方法：1、几何表示法；2、字母表示法；3、坐标表示法。（3）向量的模，向量的大小（即向量的长度）叫做向量的模。（4）零向量，长度（模）为0的向量叫做零向量记作。零向量的方向可以看做任意方向。它和任意一个非零向量均平行、垂直。（5）单位向量：长度（模）等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。（6）相等向量，长度相等且方向相同的向量称为相等向量，相等向量经过平移后总可以重合。（7）平行向量：方向相同或相反的非零向量

5、，称为平行向量，也称为共线向量。（可以平移到同一直线上来）2、向量加法运算及其几何意义：（1）已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，记作，这种求向量和的方法叫做向量加法运算的三角形法则。（2）以同一点O为起点的两个已知向量为邻边作，则以O为起点的对角线就是与的和，这种作两向量的方法叫做向量和加法的平行四边形法则。3、向量的减法运算及其几何意义（1）定义，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。（2）如图，则4、实数与向量的积的定义实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）|=|（2）当时，的方向与的方向相同，当时， 的方向与的方向相反，当时，=方向是任

6、意的。5、实数与向量的积的运算律：设为实数，那么（1）（2）（3）6、两个向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件有且只有一个实数，使得=。7、平面向量基本定理：如果，是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使，其中不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。五、例题选讲：例1：见优化探究P63，尝试练习14题，例1.例2：下列各命题中，真命题的个数为（ ）（1）若，则或；（2）若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；（3）若，则；（4）若则。A、4B、3C、2D、1（2）已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（ ）A. |a|b|=|ab|

7、 B. |a|b|=|a+b| C.|a|b|=|ab| D. |a|b|=|a+b|（3）.设四边形ABCD中，有则这个四边形是（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形（4）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则=（ ）A、 B、 C、D、（4）已知和点M满足，若存在实数,使得成立，则m等于（ ）A、2B、3C、4D、5（5）设P是所在平面内的一点，则（ ）A、B、C、D、例3：填空： （1）设向量不共线，与共线，则实数k=。（2）在ABC中，M为BC上一点，N为AM中点，则的值为。（3）已知O是正ABC内部一点，则ABC的面积与OAC的面积之比是_。（4

8、）已知平面向量，(0，)满足|1，且与的夹角为120°，则|的取值范围是_例4：设e1，e2是两个不共线向量，已知A2e18e2，Ce13e2，C2e1e2.(1)求证：A、B、D三点共线(2)若B3e1ke2，且B、D、F三点共线，求k的值例5：设、是不共线的两个非零向量设，其中m、n、均为实数，若M、P、N三点共线，求证例6、ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若x A，Ay A，求的值 例7：如图所示，在中，AD与BC交于M点，设。（1）用表示；（2）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F使EF过点M，设，求证：练

9、习题：课时训练第二十四套4.2平面向量的基本定理及坐标运算一、考纲解读1、 理解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的基本定理及坐标运算。2、 会根据向量的坐标，会判断向量是否共线（平行）。二、考向指导：1、 考查平面向量的坐标运算与性质。2、 考查会根据向量的坐标判断向量是否共线。三、重难点：掌握平面向量的坐标运算，利用坐标判断向量是否共线。四、知识要点：1、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量有且只有一对实数，使，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。重要结论：（1）设，若不共线，则有；若不全为零，则与共线。（2）设，若A,B,C三点共

10、线2、平面向量的坐标表示： 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得，我们把（x、y）叫做向量的坐标，记作。相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。注：（1）向量的坐标表示，即是向量的代数表示。 （2）平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标有关，只有始点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同。 （3）向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。3、平面向量的坐标运算。（1）若，则 。（2）如果，则。（3）若，则。（4）如果，则的充要条件是：。（5）如果，则的充要条件是：。五、典型例题例1：选择题。（1）平面直角

11、坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且，则C点的轨迹方程为（ ）A、 B、C、D、 （2）已知，其中的方向分别与x、y轴正方向相同，且为单位向量，若与共线，则点的轨迹方程为（ ）A、B、C、D、（3）向量向量与共线，且|，则=（ ）A、（-4，8）B、（-4，8）或（4，-8）C、（4，-8）D、（8，4）或（4，8）例2：填空题（1）已知向量，若，则_。（2）已知点A（1，2），若向量与同向，则点B的坐标为。（3）已知，若与平行，则k= 。若与垂直，则k= 。（4）已知点，又，且，则Q点坐标为_。例3：设向量，向量，又，求。例4：已知，（1）求向量的坐

12、标；（2）若，求与之间的关系式；（3）在（2）条件下，又月，求的值及四边形ABCD的面积。练习：课时作业第二十五套。4.3 平面向量的数量积 一、考纲解读 1、掌握平面向量的数量积定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。 2、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。二、考向指导1、 把向量之间的运算转化为数的运算，通过坐标表示达到目的。2、 高考主要通过向量的数量积考查向量的平行，垂直等基本关系，并在解答题中计算向量的夹角长度等。三、重点：1、掌握平面向量的数量积及其几何意义，重要性质及运算律。 2、掌握平面向量垂直的坐标表示的充要条件。 难

13、点：平面向量量积的应用。 四、知识要点：1、平面向量的数量积：（1）非零向量和夹角的定义：略。夹角为90°时，称与垂直，记作。（2）平面向量数量积定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫与的数量积（或内积），记作。规定：零向量与任一向量的数量积为O，即（3）投影的概念叫做向量在方向上的投影。（其中为，的夹角）。（4）数量积的几何意义数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。2、平面向量数量积的重要性质（1）（2）（3）（4）当与同向时，=，当与反向时，=3、平面向量满足的运算律（1）（交换律）（2）（交换律）（3）（分配律）4、平面向量数量积与相关性质的坐标运算设（1）（2）（

14、3）（4）5、应注意的问题（1）数量积是一个数量，可正，可负，可为零。（2）当，若，不能推出（3）当时，由不能推出（4）数量不满足结合律6、重要公式（1）设（求距离的依据）（2）（求角的依据）（3）（证明垂直的依据）7、利用数量积主要解决的问题（1）距离长度问题（2）求角的问题（3）平行、垂直问题（4）用来解决某些函数、三角、解析几何、平面几何问题四、典型例题选讲例1：填空题。1、平面向量与的夹角为60°，则_。2、已知向量满足，且，则与的夹角为_。3、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为 _ 4、若向量与的夹角为60°

15、，则向量的模为 5、已知向量，满足对任意，恒有|，则=。6、设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知=0，则的形状是7、设的投影为，在轴上的投影为2，且，则= 。8、如图，在中，则 _。例2：已知两单位向量与的夹角为120°，若，试求与的夹角的余弦值。例3：（1）已知向量与向量的夹角为，且，求向量。（2）若向量与向量的夹角为，而向量，其中，试求的取值范围。例4：设，与的夹角为，与的夹角为，且，求的值。例5：在ABC 中，设A，B，C的对边分别为a、b、c，向量m(cos A，sin A)，n(sin A，cos A)，若|mn|2.(1)求角A的大小；(2)若b4，且ca，求ABC

16、的面积练习题：课时作业第二十六套。4.4 平面向量的综合应用一、考纲解读利用“向量”这一工具，求解函数，解析几何，三角中的一些问题。二、考向指导：1、向量同解析几何、函数相结合是高考命题的新趋势，在综合题中重点考查综合应用知识的能力。2、向量的综合应用是学科内和跨学科的知识的一个交记点，应引起重视。三、重难点：结合向量知识，解决代数、几何中的垂直、共线、夹角，距离，轨迹等问题。四、知识要点：1、利用两个向量平行（共线）的充要条件证题。2、利用两个非零向量的数量积，当两向量的夹角是锐角、钝角、直角时，它们的数量积分别大于0，小于0，等于0。3、利用两个非零向量垂直的充要条件，。4、利用两个非零向

17、量的夹角公式。5、利用两个非零向量与共线的充要条件是有且只有一个实数使得。五、典型例题选讲：例1：填空：1、已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则_。2、过园外一点A（4，0）作园的割线，割线被园截得的弦的中点轨迹方程为 。3、已知点A（-2，0），B（3，0）动点满足，则点P的轨迹是 。4、已知直角梯形ABCD中，AD/BC，是腰DC上的动点，则的最小值为_。5、已知点G是的重心，若，则的最小值是_。6、已知是原点，点坐标满足，则的取值范围为_。例2：若为互相垂直的单位向量），若且。（1）求关于的函数关系式；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围。例3：已知，分别是与x轴、y轴

18、正方向相同的单位向量，对任意正整数n，（1）若，求a的值。（2）求向量（3）设向量，求最大整数a的值，使得任意正整数n都有成立。例4：已知抛物线y= 上两点A，B满足，其中P（0，1），O为坐标原点，求：（1）的大小（2）四边形OAMB的面积S的最小值。4.5 数系的扩充与复数的引入一、考纲解读1、 理解复数及其有关概念和性质。2、 能运用复数的模及共轭复数性质解题。3、 掌握复数的几何意义。4、 准确熟练地进行复数运算，并注意运算的合理性和它n次幂的性质。二、重点：复数的有关概念、相等复数和复数的运算。难点：复数的几何意义与复数除法运算。三、知识要点： 1、数系的三次扩充。2、虚数单位的意义及其性质。（1）规定，即是-1的平方根。（2）规定虚数单位可以与实数进行加减乘除达标，对应实数成立的加乘运标律在这里仍成立。（注：开方、乘方运算律不一定成立）。（3）3、复数的概念（1）复数的定义：形如的数叫做复数，a,b分别叫它的实部和虚部。（2）复数的分类复数中，当时，就是实数，当时，叫做虚数，当时，叫做纯虚数。（3）复数的性质1°两复数相等的充要条件 2°不全