极限的概念与性质

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二 、函数的极限、函数的极限三三 、函数的极限的性质、函数的极限的性质一、数列的极限一、数列的极限第二节第二节极限的概念与性质极限的概念与性质目录 上页 下页 返回 结束 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。的客观基础。引言引言目录 上页 下页 返回 结束 R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A

2、正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.1416割圆术割圆术割圆术就是极限思想在几何上的应用割圆术就是极限思想在几何上的应用目录 上页 下页 返回 结束 微积分是一门以微积分是一门以变量变量为研究对象、为研究对象、应用极限方法研究各类应用极限方法研究各类变化率问题变化率问题应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到以以极限方法极限方法作为研究工具的数学学科：作为研究工具的数学学科：曲线的切

3、线问题曲线的切线问题，微小量无穷积累微小量无穷积累的问题，的问题，和几何学中和几何学中就产生了就产生了微分学微分学；就产生了就产生了积分学积分学。目录 上页 下页 返回 结束 一、数列极限的定义一、数列极限的定义按照一定规律排列的一列数按照一定规律排列的一列数,21nxxx,21,81,41,21:21nn,1,43,32,21:1nnnn,) 1( , 1, 1, 1, 1:) 1(nn ,3, 9, 6, 3:3nn., 2 , 1),(nnfxn数列数列 可视为定义在自然数集上的函数：可视为定义在自然数集上的函数：nx称为一个数列。称为一个数列。nx称为数列通项，称为数列通项，数列简记为

4、数列简记为 。nx目录 上页 下页 返回 结束 nx趋向于某个确定的数趋向于某个确定的数xyO.,21,81,41,21:21nn,) 1( , 1, 1, 1, 1:) 1(nn不趋向于某个确定的数不趋向于某个确定的数nx目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义：.limaxnn设数列,nx极限存在的数列称为收敛数列收敛数列。极限不存在的数列称为发散数列发散数列。如果通项 nx记作)(,naxn当项数 无限增大时，n则称a的极限。nx为数列或, a无限趋近于某个常数目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnx

5、nn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 若数列nx及常数 a 有下列关系 :,0,N正整数当 n N 时, 总有记作axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxnaxn则称该数列nx的极限为 a ,几何解释 :aaa)(1Nx2Nx只有有限项(至多N项)在邻域),(aU之外。数学定义：数学定义： 英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龙 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证明证明: 1nx1) 1(nn

6、nn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, )21,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 111. N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N2. 利用不等式的放缩.目录 上页 下页 返回 结束

7、 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0 .1nq目录 上页 下页 返回 结束 例例4. .证明：证明：,limAann若.lim21Anaaann则记记 ,121AaAaAaMN易知易知 . 0limnMn当当 2Nn 时，时， .2nM,max21NNN 取取 则当则当 Nn 时，有时，有 ,limAann由于由于, 0故故时，时， 当当1Nn ,2 Aan,1N正整数正整数于是于是,2N

8、正整数正整数 目录 上页 下页 返回 结束 21nNnnMAnaaan21nAaAaAaAaAanNN)()(12111nAaAanAaAaAanNN|12111.lim21Anaaann所以所以.22刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 .他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知逼近未知用已知

9、逼近未知 , 用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想 . 的方法 :柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等,有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0

10、)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:2、左极限、右极限、左极限、右极限主要内容主要内容 :二、函数的极限 3、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . )(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xUx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0AA几何解释几何解释:OAx0 xy)(xfy 1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极

11、限设函数()目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x(注意x =1无定义)目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明: 当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有Ox0 xx目录 上页 下页 返回 结束 2. 左极限与右极限左极限与右极限 (单侧极限单侧极限)

12、左极限 :)(0 xf)(lim0 xfxx,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xf)(lim0 xfxx,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 1.Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00Axf)0(0Axf)0(0目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 给定函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . 解解: 利用定理 1 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .x

13、yO11 xy11 xy目录 上页 下页 返回 结束 . 312lim4xx例例4. 0, 12, 0,)(xxxexfx求).(lim),(lim04xfxfxx解解: :)(lim4xfx1lim0 xxe. 112lim0 xx)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx因为所以. 1)(lim0 xfx设目录 上页 下页 返回 结束 XXAAOxy)(xfy A定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记

14、作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(A 为函数3、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyOxyxy1目录 上页 下页 返回 结束 Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时,

15、有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，Oxyx21x21目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 函数极限的性质函数极限的性质1. 唯一性唯一性类似于数列极限的唯一性（反证法）2. 局部有界性局部有界性; )(0的某去心邻域内有界在函数xxf: )(lim0 xfxx充分大时有界。当函数xxf)(: )(limxfx),(0 xU(性质适用于函数的所有极限过程)Xx 若函数极限存在，则函数极限唯一。目录 上页 下页 返回 结束 3. 局部保号性局部保号性定理定理2 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0

16、时使当xUx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU)0(AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 AxfA)(:0A:0A若取,2A则在对应的邻域上 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf推论推论1.23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O目录 上

17、页 下页 返回 结束 推论推论 2 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx如 (反证法, 证明略)目录 上页 下页 返回 结束 4. 函数极限的两边夹定理函数极限的两边夹定理定理定理3.,),(0时当xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且( 仿照数列极限的两边夹定理证明 )目录 上页 下页 返回 结束 5. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关

18、系定理定理4. Axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnAxfnn)(lim有)(nxfxnx说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 4 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 若极限)(lim0 xfxx存在,)()(lim00 xfxfxx2. 设函数)(xf且)(lim1xfx存在,