在解决实际问题时,注意观察和善于想象是十分重要的,观察....

1、在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明，理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明，猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨

2、迹之中，隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的

3、更为深入的了解。的了解。 2. 5最短路径最短路径例例1（最短路径问题）（最短路径问题） 设有一个半径为设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，位于湖的两侧，AB连线过连线过O，见图。，见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点，在不得进入湖中的限点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。制下，问怎样的路径最近。 ABOr将湖想象成凸出地面的木桩，将湖想象成凸出地面的木桩， 在在AB间拉一根软线，当间拉一根软线，当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测 可以如下得到最短路径：可以如下得到最短路径：

4、 过过A作圆的切线切圆于作圆的切线切圆于E，过，过B作圆的切线切圆作圆的切线切圆 于于F。最短路径为由线。最短路径为由线 段段AE、弧、弧EF和线段和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，连接而成的连续曲线（根据对称性，AE，弧弧EF，FB连接而成的连续曲线也是）。连接而成的连续曲线也是）。EFEF以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。先介绍一下凸集与凸集的性质。定义定义1（凸集凸集）称集合）称集合 R为凸集，若为凸集，若x1、x2R及及0，1，总有总有x1+（1）x2R。即若。即若x1、x2R，则

5、，则x1、x2的连线必整个地落的连线必整个地落 在在R中。中。定理定理1（分离定理分离定理）对平面中的凸）对平面中的凸 集集R与与R外的一点外的一点K，存，存在直线在直线 l , l 分离分离R与与K，即，即R与与K分别位于分别位于 l 的两侧（注：对的两侧（注：对一般的凸一般的凸 集集R与与R外的一点外的一点K，则存在超平面分，则存在超平面分 离离R与与K），），见图。见图。klR下面证明猜想下面证明猜想猜测证明如下：猜测证明如下：（方法一）（方法一）显然，显然， 由由AE、EF、FB及及AE，EF，FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用是一凸集。利用分离定理分离定理易证最短径不可能经过

6、易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设外的点，若不然，设 为最短路径，为最短路径，过过R外的一点外的一点M，则，则必存在直必存在直 线线l分离分离M与与R，由于路径，由于路径是连续曲线，由是连续曲线，由A沿沿到到M，必交，必交l于于M1，由，由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样，直线。这样，直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度，与的长度，与是是A到到B的的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。内。不妨设路径经湖的上方到达不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧点，则弧EF必在路径必在路径F上，又上，又

7、直线段直线段AE是由是由A至至E的最短路径，直线的最短路径，直线FB是由是由F到到B的最短的最短路径，猜测得证。路径，猜测得证。ABOrEFEFM1M2Ml还可用还可用微积分微积分方法求弧长，根据计算证方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用更大的长度；此外，本猜测也可用平面平面几何几何知识加以证明等。知识加以证明等。 根据猜测不难看出，根据猜测不难看出， 例例5中的条件可以大大中的条件可以大大放松，可以不必放松，可以不必 设设AB过圆心，甚至可不必设过圆心，甚至可不必设湖是圆形的。例如对湖是圆形的。例如对 下图，

8、我们可断定由下图，我们可断定由A至至B的最短路径必的最短路径必 为为l1与与l2之一，其证明也不之一，其证明也不难类似给出。难类似给出。 ABl1l2D到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。中去。1973年，年，J.W.Craggs证明了以上结果：证明了以上结果：若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域的边界弧。而

9、且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定相切。相切。例例2 2 一辆汽车停于一辆汽车停于 A A处并垂直于处并垂直于ABAB方向，此方向，此汽车可转的最小圆半径为汽车可转的最小圆半径为 R，求不倒车而由，求不倒车而由 A A到到B B的最短路径。的最短路径。解解（情况（情况1）若若|AB|2R，最短路径由，最短路径由 弧弧AC与切线与切线BC组组成（见成（见图图 ）。）。（情况（情况2）若若|AB|0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：yxCDABo已知已知f()、g()均为均为的连续函数，的连续函数，f(0

10、)=0,g(0)0且对任意且对任意有有f()g()=0，求证存在某一，求证存在某一0，使，使f(0)=g(0)=0。 证明证明 当当=/2时，时，AC与与BD互换位置，故互换位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。作。作h()=f()-g()，显然，显然，h()也是也是的连续函数，的连续函数，h(0)=f(0)-g(0)0，由连续函数的取零值，由连续函数的取零值定理，存在定理，存在 o，0o /2，h(0)=0，即，即f(o)=g(o)。又由于又由于f(o)g(o)=0，故必有，故必有f(o)=g(o)=0，证毕。，证毕。 2.7 赛艇成绩的比较赛艇成绩的比较(比例模型比例模型)例例5 八人

11、赛艇比赛和举重比赛一样，分成八人赛艇比赛和举重比赛一样，分成86公斤公斤的重量级和的重量级和 73公斤的轻量级。公斤的轻量级。1971年，年，T.A.McMahon比较了比较了1964-1970年期间两次年期间两次奥运会和两次世锦赛成绩，发现奥运会和两次世锦赛成绩，发现 86公斤级比公斤级比73公斤级的成绩大约好公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的，产生这一差异的原因何在呢？原因何在呢？ 我们将以我们将以L表示轻量级、以表示轻量级、以H表示重表示重量级，用量级，用S表示赛艇的浸水面积，表示赛艇的浸水面积，v表示赛艇速度，表示赛艇速度，W表示选手体重，表示选手体重，P表示选手的输出功率，表示选

12、手的输出功率，I表示赛程，表示赛程，T表示比赛成绩（时间）。表示比赛成绩（时间）。 考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段，大致可以分三个阶段， 即即初始时刻的加速阶初始时刻的加速阶 段段、中途的匀速中途的匀速阶段阶段和和到达终点的冲刺阶段到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后。由于赛程较长，可以略去前后两段而两段而只考虑中间一段只考虑中间一段 ，为此，提出以下建模假设。，为此，提出以下建模假设。（1）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比正比 于于S

13、v2,（见流体力学），空气阻力等其他因素不计。（见流体力学），空气阻力等其他因素不计。（2）同一量级的选手有相同的体重）同一量级的选手有相同的体重W，选手的输出功，选手的输出功 率率P正比于正比于W，且效率大体相同。，且效率大体相同。31HHH31LLLPSkT ,PSkT1331,()spfvsvP故v13()ISTVP比赛成绩可知31HL31LHHLSSPPTT故故由由假设假设2， LHLHWWPP31HL31LHHLSSWWTT故故令令WH=86,WL=73,则有则有由于由于SL略小于略小于SH，故轻量级所花时间比重量级所，故轻量级所花时间比重量级所花花时间时间约约 多多5%左右。左右。

14、31HLHLSS TT1.056在建立数学模型时常常需要确定一些参数，选什么量为参数，在建立数学模型时常常需要确定一些参数，选什么量为参数，怎样选取参数，其中也有一些技巧，参数选得不好，会使问怎样选取参数，其中也有一些技巧，参数选得不好，会使问题变得复杂难解，给自己增添许多不必要的麻烦。确定参数题变得复杂难解，给自己增添许多不必要的麻烦。确定参数以后，一般需要利用数据来获得这些参数的具体取值，例如以后，一般需要利用数据来获得这些参数的具体取值，例如在使用经验方法建模时，假如你准备用线性函在使用经验方法建模时，假如你准备用线性函 数数ax+b来表来表达变量间的关系，你还要用最小二乘法去求出参达变

15、量间的关系，你还要用最小二乘法去求出参 数数a、b的的值，这一过程被称值，这一过程被称 为为“参数识参数识 别别”。总之，参数的选取应使。总之，参数的选取应使其后的识别尽可能简便，让我们来考察一个实例。其后的识别尽可能简便，让我们来考察一个实例。2.8 参数识别参数识别例例6 录像带还能录多长时间录像带还能录多长时间例例6 录像机上有一个四位计数器，一盘录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟分钟的录像带在开始计数时为的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计，到结束时计数为数为1849，实际走时为，实际走时为185分分20秒。我们从秒。我们从0084观察到观察到0147共用时间共用时间3

16、分分21秒。若录像秒。若录像机目前的计数为机目前的计数为1428，问是否还能录下一个，问是否还能录下一个 60分钟的节目？分钟的节目？rRl由由vt)r(R22得到得到212rvtR又又 因和因和 得得 Rl tvl tRv积分得到积分得到tdt)rvtv(d02120rrvt2rvt2t2212021)()(即即从而有从而有rrvtn212)(12我们希望建立一个录像带已录像时我们希望建立一个录像带已录像时 间间t与计数器计与计数器计 数数n之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首 先必先必须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像须搞清哪些量是常量

17、，哪些量是变量。首先，录像 带带的厚的厚 度度w是常量，它被绕在一个半径是常量，它被绕在一个半径 为为r的园盘上，的园盘上，见图。磁带转动中线速见图。磁带转动中线速 度度v显然也是常数，否则图象显然也是常数，否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读声音必然会失真。此外，计数器的读 数数n与转过的圈与转过的圈数有关，从而与转过的角数有关，从而与转过的角 度度成正比。成正比。 rRlrrvtrrvtn2122212)()(12 此式中的三个参数此式中的三个参数、v和和r均不易精确测得，均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出虽然我们可以从上式解出t与与n的函数关系，的函数关系，但效果不佳，故令但效果不佳，故令 则可将上式简化为：则可将上式简化为： v /r nan1ttnntn2222222令令a1b2上式又可化简记成上式又可化简记成 t= an2+bn t= an2+bn rRl上式以上式以a、b为参数显然是一个十分明智的为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了