第24章解直角三角形复习.

1、1. 1.灵活运用锐角三角函数的概念；灵活运用锐角三角函数的概念； 数形结合思想、函数思想数形结合思想、函数思想 2. 2.理解特殊角的三角函数值并能熟练运算；理解特殊角的三角函数值并能熟练运算； 数形结合思想数形结合思想 3.3.能从测量计算物高、坡度、航海等问题中抽象出能从测量计算物高、坡度、航海等问题中抽象出数学模型，并借助解直角三角形的方法解决问题数学模型，并借助解直角三角形的方法解决问题，逐步积累解决实际问题的经验与方法；，逐步积累解决实际问题的经验与方法； 建模思想、方程思想建模思想、方程思想 4. 4.在实际问题中经常添加辅助线构造直角三角形，在实际问题中经常添加辅助线构造直角三

2、角形，从而把斜三角形问题转化为直角三角形问题解决从而把斜三角形问题转化为直角三角形问题解决 转化思想转化思想 心中有目标，才会有方向！心中有目标，才会有方向！解直角三角形解直角三角形锐角三锐角三角函数角函数解直角解直角三角形三角形三角函数定义三角函数定义特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值互余两角三角函数关系互余两角三角函数关系同角三角函数关系同角三角函数关系 两锐角之间的关系两锐角之间的关系三边之间的关系三边之间的关系边角之间的关系边角之间的关系AA的的对边对边AA的的邻边邻边tanAcosAAA的邻边的邻边AA的对边的对边斜边斜边sinA斜边斜边1.1.）锐角锐角A A的正弦、的正弦、余弦

3、、和正切统称余弦、和正切统称AA的的三角函数三角函数1.1.定义定义注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中.2.)A的取值范围是什么?sinA ，cosA与tanA的取值范围又如何？ 2. 锐角的取值范围及变化情况： 3. 特殊角的三角函数值：w要是能要是能记住该多记住该多好啊！好啊！4.同角三角函数关系: （1）平方关系：）平方关系：sin2+cos2=1sincoscotcossintan2，）商数关系：（.tan1cotcot1tan1cottan3，或）倒数关系：（5.互余两角三角函数关系:，BAABAAsin)90sin(coscos)90(cossinA+B=900，BaAABA

4、Ant)90tan(cotcot)90(cottan任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值，任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。6.什么是解直角三角形？ 由直角三角形中除直角外的已知由直角三角形中除直角外的已知元素，求未知元素的过程，叫做解元素，求未知元素的过程，叫做解直角三角形直角三角形.如图：如图：RtABC中，中，C=90，则其余的，则其余的5个个元素之间关系？元素之间关系？CABbca解直角三角形1.两锐角之间的关系两锐角之间的关系:2.三边之间的关系三边之间的关系:3.边角边角之间的之间的关系关系A+B=900a2+b2=c2abcsinAaccosAbcta

5、nAab7. 解直角三角形的分类：一锐角，一斜边一锐角，一直角边一边一角一斜边，一直角边两直角边两边已知解题时应注意：解题时应注意：数形结合，化斜为直。有斜用弦，无斜用切。求对用正，求邻用余。宁乘勿除，避中取原。类型类型已知条件已知条件解法两边两边两直角边两直角边a，b一直角边一直角边a，斜边，斜边c一边一边一锐角一锐角一直角边一直角边a，锐角，锐角A斜边斜边c，锐角，锐角A 解直角三角形的基本类型及其解法总结解直角三角形的基本类型及其解法总结，22bac，Abatan.90AB，22acb，Acasin.90AB，AB90，AB90，Aabtan.sin Aac ，Acasin.cosAcb

6、abcabc8.解直角三角形应用中的有关概念解直角三角形应用中的有关概念（1 1）方位角：指）方位角：指北北或或指南方向线指南方向线与目标方向与目标方向线所成的线所成的小于小于9090的水的水平角叫做平角叫做方位角方位角. . D 北 A 30 60 西 东 0 30 45 C B 南 图 4 如图，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东60 、南偏东45 、南偏西30 、北偏西30 .又如，东南方向，指的是南偏东45 角.8.解直角三角形应用中的有关概念解直角三角形应用中的有关概念(2)在实际测量中，从低处观测高处的目标时 ， 视 线 与 水 平 线 方 向 的 夹 角 叫 做 _； 从高

7、处观测低处的目标时，视线与水平线方向的夹角叫做 视线视线铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线仰角仰角俯角俯角仰角仰角俯角俯角8.解直角三角形应用中的有关概念解直角三角形应用中的有关概念lhi tanlhi BAl lh(3)(3)建筑学中通常把斜坡起止点建筑学中通常把斜坡起止点A A、B B的高度差的高度差h h与它们的水平距离与它们的水平距离l l的比叫做坡度的比叫做坡度( (也叫坡比也叫坡比) )，记作记作 ，即，即 . .斜坡斜坡ABAB与水平线与水平线ACAC的夹角叫的夹角叫坡角，记作坡角，记作，那么，那么 . .iC 考点一锐角三角函数的定义 AD方法指导方法指导：1.锐角三角函数是在直

8、锐角三角函数是在直角三角形中定义的，因此在求一个角三角形中定义的，因此在求一个锐角的三角函数值时，应把锐角的三角函数值时，应把 这个这个锐角转化为锐角转化为直角三角形中直角三角形中的锐角的锐角. 2.理清关系：理清关系：3. 转化思想转化思想的邻边的对边AtanAA2、如图所示，直角梯形如图所示，直角梯形ABCD中，中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，点，点E在在AB上，将上，将CBE沿沿CE翻折翻折，使，使B点与点与D点重合，则点重合，则BCE的正切值是的正切值是（ ）EABCD）的值是（则，中，在BBcot32cos90=CACBRt.3ABCD.35522 5555,323

9、2cos90ABCxABxBCBC，可设，利用，角形如图，可以构造直角三.55252cot522cxxACBCBxBCABAC，应选所以，根据勾股定理，有C 解法二：利用同角的三角函数的关系式。解法二：利用同角的三角函数的关系式。 sin2B+cos2B=1)0(sin35)32(1cos1sin22，舍负BBB。5523532sincoscotBBB）的值是（则，中，在BBcot32cos90=CACBRt.3ABCD.35522 5555C ，解三角形。，中，在332=b32=a90=CABCRt. 4（ ）13232 333tanAabcaA sin3 ）（.6430sin32sinAa

10、cA=30。（2）B=90A=9030=60。解法一：在解法一：在RtABC中，如图中，如图: 。64432)3(132)332(32.)1(2222222bac解法二：解法二：（1）在）在RtABC中中无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。，以减少以错传误的机会。（ ）233tan Aab（ ）39060BA不要计算错误。，但应注意斜边，求出求出解法二也可由cAAcaA21sinsinA=30说明：说明：，解三角形。

11、，中，在332=b32=a90=CABCRt. 45.当当45cos B. sin=cos C. tancotD. tanAC。 解法一：利用三角函数定义。 应选应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。，其余三项也可根据定义证明不成立。A5.当当45cos B. sin=cos C. tancotD. tan1A 解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。 45909045 根据锐角的正弦（切）的增减性可知根据锐角的正弦（切）的增减性可知:)90tan(tan)90sin(sin，又，cossin()cottan()9090cottancossin，应选应选A，其它两项也不成立。，其它两项

12、也不成立。5.当当45cos B. sin=cos C. tancotD. tan1A解法三：找标准量45角比较. 4 5 s i n 4 5 ，coscos， 同理同理tancot，应选应选A。 6. 为锐角，若为锐角，若m2，下列四个等式中不可，下列四个等式中不可能成立的是（能成立的是（ ）1cot.11tan.1cos.11sin.mDmCmBmA分析：根据三角函数值的取值范围，有分析：根据三角函数值的取值范围，有010100sincostancot，而，sincostancot 1111 11101 0mmmm判断可知判断可知cos选项不可能成立，应选选项不可能成立，应选B。 B的值。

13、，求为锐角，、若cossin34cossin7 分析：分析：题目涉及到同角题目涉及到同角的正余弦的和差，的正余弦的和差，可以考虑应用关系式：可以考虑应用关系式：sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1解题。解题。34cossin解： 两边平方，得sincossincos222169 2169179sincos(sincos )sincossincos2222 1792932cossin注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sin与cos的大小。 8. 在在RtABC中，中，C=90，a+c=12，b=8，求，求cosB。解： 641222acca列方程组.135326310coscaB

14、64)(12acacac31612acac326310ca 9.如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1. （1）在图）在图中，以格点为顶点画一个三角形，使中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为三角形的三边长分别为3、5. 22、（2）在图）在图中，线段中，线段AB的端点在格点上，请画的端点在格点上，请画出以出以AB为一边的三角形，使这个三角形的面积为为一边的三角形，使这个三角形的面积为6（要求至少画出（要求至少画出3个）个）（3）在图）在图中，中，MNP的顶点的顶点M、N在格在格点上，点上，P在小正方形的边上，这个三角形的面在小正方形的边上，这个三角形的面积是多少？积是多少？

15、考点二考点二与特殊角的三角函数值有关的计算与特殊角的三角函数值有关的计算 .2360sin00-22014-31计算：.2312322319-解：原式总结反思：总结反思： 本例考查实数的本例考查实数的综合运算综合运算能力，是各地中考能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的题中常见的计算题型解决此类题目的关键关键是是熟熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算. A30B800m45FC考点三解直角三角形在实际生活中的应用 俯角仰角问题 例：例：在一次空难搜寻中，水

16、平飞行的飞机观测得在在一次空难搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点点A俯角为俯角为30方向的方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）为了便于观察，飞机继续向前飞该物体视为静止）为了便于观察，飞机继续向前飞行了行了800米到达米到达B点，此时测得点点，此时测得点F在点在点B俯角为俯角为45的的方向上，请你计算当飞机飞临方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点点的正上方点C时（点时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？约为多少米？（结果保留整数（结果保留整数. .）参考数值：参考数值： 7 . 13 A30B800m45FC

17、.1080CF.10804003400.400340033800.30,tan.90BCF45CBFCF米约为答：竖直高度米米即解得，中，在又米，米，由题意可得：为解：设竖直高度CFxxxCAFACCFCAFACFRtxCFBCx考点三解直角三角形在实际生活中的应用 方位角问题 如图，有小岛如图，有小岛A和小岛和小岛B，轮船以，轮船以45km/h的速度由的速度由C向东航行，在向东航行，在C处测处测得得A的方位角为北偏东的方位角为北偏东60，测得，测得B的的方位角为南偏东方位角为南偏东45，轮船航行，轮船航行2小时小时后到达小岛后到达小岛B处，在处，在B处测得小岛处测得小岛A在在小岛小岛B的正北

18、方向求小岛的正北方向求小岛A与小岛与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据之间的距离（结果保留整数，参考数据： 45. 2641. 12，P方法指导方法指导解斜三角形时通常需要作高转化为直解斜三角形时通常需要作高转化为直角三角形求解斜三角形有三条高，在作角三角形求解斜三角形有三条高，在作高的同时要比较哪条高作出后直角三角形高的同时要比较哪条高作出后直角三角形可解，不要随便作出某一条高，否则会使可解，不要随便作出某一条高，否则会使三角形不可解而走入误区三角形不可解而走入误区解：过点解：过点C作作CPAB于于P，BCF=45，ACE=60，ABEF，B=45，A=60，轮船的速度是轮船的速度是4

19、5km/h，轮船航行，轮船航行2小时，小时，BC=90km，在在RtBCP中，中，BP=CP=BC cos45= 90 = ( km).22245AB=AP+PB152.45+451.41100（km）答：小岛答：小岛A与小岛与小岛B之间的距离是之间的距离是100km考点三解直角三角形在实际生活中的应用 坡度坡角问题 （2014巴中）巴中）如图，一水库大坝的横断面为梯如图，一水库大坝的横断面为梯形形ABCD，坝顶，坝顶BC宽宽6米，坝高米，坝高20米，斜坡米，斜坡AB的的坡度坡度i=1：2.5，斜坡，斜坡CD的坡角为的坡角为30，求坝底，求坝底AD的长度（精确到的长度（精确到0.1米，参考数据

20、：米，参考数据： .732. 13414. 12，解：作解：作BEAD，CFAD，垂足分别为点，垂足分别为点E，F，则四边形，则四边形BCFE是矩形是矩形， 由题意得，由题意得，BC=EF=6米，米，BE=CF=20米，斜坡米，斜坡AB的坡度的坡度i为为1：2.5，.505.21,20mAEAEBEmBEABERt，中，在.32030tan30mCFDFDCFDRt，中，在 .6 .90.6 .90320650米的长度约为即坝底ADmFDEFAEAD1 1、理解锐角三角形函数的概念及特殊角的、理解锐角三角形函数的概念及特殊角的三角函数的值；三角函数的值；2 2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知、会由已知锐角