电磁场与电磁波(第3章).

1、第第3 3章章 介质中的麦克斯韦方程介质中的麦克斯韦方程 本章将讨论一般介质中的麦克斯韦方程，这首先需要了本章将讨论一般介质中的麦克斯韦方程，这首先需要了解介质的电与磁的性能以及一些简单概念。解介质的电与磁的性能以及一些简单概念。 1. 1. 介质特性：介质特性：电偶极矩电偶极矩 、极化矢量、极化矢量 4. 4. 一般媒质中的麦克斯韦方程一般媒质中的麦克斯韦方程重点重点：3. 3. 磁偶极矩、磁化强度矢量磁偶极矩、磁化强度矢量 、 2. 2. 介质的折射率、相对介电系数介质的折射率、相对介电系数 5. 5. 介质中的三个物态方程介质中的三个物态方程6. 6. 场量的边界条件场量的边界条件 3.

2、1 电介质及其极化电介质及其极化 1. 1. 电介质电介质电介质就是通常的绝缘物质，如木材、橡胶、石电介质就是通常的绝缘物质，如木材、橡胶、石油和空气等。电介质的原子核对核外电子有很强油和空气等。电介质的原子核对核外电子有很强的束缚力，因而理想的电介质不导电。的束缚力，因而理想的电介质不导电。 一般来讲电介质可分为两大类：一类是无极分子电介一般来讲电介质可分为两大类：一类是无极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质中正负电荷的中心质，当没有外电场作用时，这类电介质中正负电荷的中心是重合的，处于电中性状态，对外不显电性，如是重合的，处于电中性状态，对外不显电性，如2、2等气体物质。第二类是有

3、极分子电介质，当没有外电场作等气体物质。第二类是有极分子电介质，当没有外电场作用时，这类电介质中的正负电荷中心不重合，每个分子可用时，这类电介质中的正负电荷中心不重合，每个分子可等效为一个电偶极子，但由于分子的无规则热运动，使得等效为一个电偶极子，但由于分子的无规则热运动，使得电偶极子的分布排列是无规则的。因此，整体仍呈电中性，电偶极子的分布排列是无规则的。因此，整体仍呈电中性，对外也不显电性。对外也不显电性。 电偶极子是指相距很近但有一距离的两个符号相反而量值相电偶极子是指相距很近但有一距离的两个符号相反而量值相等的电荷。等的电荷。 定义：定义：分子内的电偶极矩分子内的电偶极矩 pq x电偶

4、极矩电偶极矩是矢量，是矢量，这里这里q是每个电荷的电量（是每个电荷的电量（绝对值绝对值）; x 的值等于两电荷间距的值等于两电荷间距离离,其方向规定由负电荷指向正电荷。其方向规定由负电荷指向正电荷。 2、束缚电荷（、束缚电荷（bound charge） 不能离开电介质，也不能在电介质内部自由不能离开电介质，也不能在电介质内部自由移动的电荷移动的电荷 。 3、电介质的极化、电介质的极化 当把一块电介质放入电场中时，它也会受到电场当把一块电介质放入电场中时，它也会受到电场力的作用，其分子或原子内的正负电荷将在电场力的力的作用，其分子或原子内的正负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成

5、一个个小电作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。被极化的电介偶极子，这种现象称为电介质的极化。被极化的电介质内部存在大量的质内部存在大量的有序排列的有序排列的小电偶极子，表面上出小电偶极子，表面上出现束缚电荷现束缚电荷或或极化电荷极化电荷，它们产生的所谓附加电场反过来它们产生的所谓附加电场反过来会影响原来的电场会影响原来的电场 。电介质的极化电介质的极化 ：位移极化 转向极化若引入分子极化率若引入分子极化率 p则分子则分子电偶极矩为电偶极矩为 0ppE 定义：定义：分子内的电偶极矩分子内的电偶极矩 与外加电场的方向一致与外加电场的方向一致 pq x3.

6、3 3.3 极化矢量极化矢量 P 尽管很高的场强会使介质中的电荷摆脱这种约束而变成尽管很高的场强会使介质中的电荷摆脱这种约束而变成自由电荷并造成介质中产生自由电荷并造成介质中产生“击穿击穿”现象现象, ,但对这种情况我们但对这种情况我们暂且不作讨论。暂且不作讨论。 对属于介质中分子的电荷来说（这种电荷又称为对属于介质中分子的电荷来说（这种电荷又称为“束缚束缚电荷电荷”），其它的电荷是被吸引进介质的），其它的电荷是被吸引进介质的例如自由离子例如自由离子或自由电子或自由电子, ,其运动不受分子约束力限制其运动不受分子约束力限制, ,故被称为故被称为“自由电自由电荷荷”，于是我们可以将这两种不同类型

7、的电荷集中表示为总，于是我们可以将这两种不同类型的电荷集中表示为总电荷密度电荷密度= =自由电荷密度自由电荷密度+ +束缚电荷密度束缚电荷密度 fm类似地类似地, ,总电流密度也可以被分为总电流密度也可以被分为 fmJJJ的每单位面积上的分子电荷量。的每单位面积上的分子电荷量。下面我们将引入矢量下面我们将引入矢量来描述分子电荷的运动，来描述分子电荷的运动，P的大小等于按照介质中分子电荷的自然分布，的大小等于按照介质中分子电荷的自然分布，流过点流过点P( , )r t由于电流密度由于电流密度mJ与分子电荷的运动相关联，即有与分子电荷的运动相关联，即有 mPJt我们发现有我们发现有极化矢量与极化电

8、荷密度的关系极化矢量与极化电荷密度的关系mP 0pPPE 极化矢量与分子偶极矩的关系极化矢量与分子偶极矩的关系 上述有关极化的结论与介质结构的情况无关上述有关极化的结论与介质结构的情况无关,具有普遍意具有普遍意义。这样义。这样,我们就可以对任何介质写出其应满足的麦克斯韦方我们就可以对任何介质写出其应满足的麦克斯韦方程。程。考虑极化效应的麦克斯韦方程考虑极化效应的麦克斯韦方程麦克斯韦第一方程的原有形式为麦克斯韦第一方程的原有形式为 0E根据极化概念可将其改写为根据极化概念可将其改写为 00()fmfPE 即即00()fPE修改后的麦克斯韦修改后的麦克斯韦第一方程第一方程 麦克斯韦第四方程的原有形

9、式为麦克斯韦第四方程的原有形式为 20JEcBt根据极化概念可将其改写为根据极化概念可将其改写为 即即修改后的麦克斯韦修改后的麦克斯韦第四方程第四方程 200001()fmfJJJJEEPEcBtttt200()fJPcBEt在上式中令在上式中令 0()DEP又由于又由于 0pPE 考虑了极化效应后的一般介质中的麦克斯韦方程考虑了极化效应后的一般介质中的麦克斯韦方程 00200(/)/0/(/)ffEPBEtBcBJEPt 0ffDBEtBDHJt 故有故有0000(1)pprDEEEEE 此式称为反映介质极化的物态方程此式称为反映介质极化的物态方程 0/r 电介质的相对介电常数电介质的相对介

10、电常数 无量纲无量纲 电介质的介电常数电介质的介电常数 有量纲有量纲 3.6 3.6 折射率与相对介电常数折射率与相对介电常数介质的折射率介质的折射率(refractive index) n定义为定义为 /nc v其中其中c c是电磁波在真空中的速度，是电磁波在真空中的速度，v v则是电磁波在折射率为则是电磁波在折射率为n n的介质中的速度。的介质中的速度。 前面我们已经定义了一个反映介质特性的量前面我们已经定义了一个反映介质特性的量相对介电常数相对介电常数 0/rEPE下面我们来寻求折射率下面我们来寻求折射率n n与与 之间的关系：之间的关系： r令令00ffJ则介质中的麦克斯韦方程变为则介

11、质中的麦克斯韦方程变为 020(/)00(/)EPBEtBcBEPt 方程方程4 4则为则为 2rEcBt 对方程对方程4 4两端取旋度，并代入两端取旋度，并代入方程方程2 2和方程和方程3 3，可得，可得 2222rBBct这是一个关于这是一个关于B B的波动方程的波动方程 波速为波速为 221/()rvc因因为为/nc v所所以以2rn3.7 3.7 磁化的概念磁化的概念 介质的磁化（介质的磁化（MagnetizationMagnetization）和介质的极化一样，也）和介质的极化一样，也是和物质的结构紧密相关的。根据原子的简单模型，电子是和物质的结构紧密相关的。根据原子的简单模型，电子

12、沿圆形轨道围绕原子核旋转，其作用可相当于一个圆电流，沿圆形轨道围绕原子核旋转，其作用可相当于一个圆电流，即一个小电流环，这个微观电流也会产生磁效应，这个小即一个小电流环，这个微观电流也会产生磁效应，这个小电流环可等效为一个物理模型，即磁偶极子电流环可等效为一个物理模型，即磁偶极子(magnetic (magnetic dipole)dipole)。由于热运动等原因，物质中的圆电流的磁场常常。由于热运动等原因，物质中的圆电流的磁场常常互相抵消，因而总体对外并不显示磁性。互相抵消，因而总体对外并不显示磁性。 3.7 3.7 磁化的概念磁化的概念 介质中的电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨介质中

13、的电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动形成的电流，称为束缚电流形成的电流，称为束缚电流(bound current)(bound current)，也称磁化电，也称磁化电流（流（Magnetization currentMagnetization current）。在没有外加磁场的作用下，）。在没有外加磁场的作用下，绝大部分材料中所有原子的磁偶极矩绝大部分材料中所有原子的磁偶极矩(magnetic dipole (magnetic dipole moment)moment)的取向是杂乱无章的，

14、结果总的磁矩为的取向是杂乱无章的，结果总的磁矩为0 0，对外不，对外不呈现磁性。呈现磁性。在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的在外磁场的作用下，物质中的原子磁矩将受到一个力矩的作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼作用，所有原子磁矩都趋于与外磁场方向一致的排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化。现象称为物质的磁化。 可以证明，磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度可以证明，磁介质磁化后对磁场的影响，可用磁化电流密度 来等效来等效 mJmJM 磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是

15、被束缚在媒质内部磁化电流不同于自由电流，其电荷运动是被束缚在媒质内部的，因而也叫束缚电流。的，因而也叫束缚电流。 为了描述及衡量介质的磁化程度，我们定义磁化强度矢量为了描述及衡量介质的磁化程度，我们定义磁化强度矢量 0l i mvmpvMmpIS 式中式中 是一个分子电流的磁矩，也称磁偶极矩，是一个分子电流的磁矩，也称磁偶极矩， 3.8 3.8 磁化电流与磁化矢量磁化电流与磁化矢量 M3.9 3.9 磁场强度磁场强度 引入磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形成可写成引入磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形成可写成 DBJJcmt 即即DBJMct DBMJct 令令BHM DHJct

16、则则称称 为磁场强度，它也是描述磁场的一个物理量。为磁场强度，它也是描述磁场的一个物理量。 H 对于各向同性及线性磁介质，由实验可证明对于各向同性及线性磁介质，由实验可证明 mMXH 式中式中 为磁化率（为磁化率（Magnetic susceptibilityMagnetic susceptibility），是一个），是一个标量常数。标量常数。 mX可得可得 (1)mmrBHMHXHXHHH 称此式为反映介质磁化的物态方程。称此式为反映介质磁化的物态方程。 式中式中 为磁介质的磁导率，为磁介质的磁导率， r 1rmX 为磁介质的相对磁导率。为磁介质的相对磁导率。3.11 3.11 介质中的麦克

17、斯韦方程组介质中的麦克斯韦方程组引入反映介质极化的物态方程引入反映介质极化的物态方程 DE引入反映介质磁化的物态方程引入反映介质磁化的物态方程 BH 可写出一般媒质中的麦克斯韦方程可写出一般媒质中的麦克斯韦方程 0DBEtBDHJct ()0svlsslsBdd stDJd sctDd sdvElBd sHdl 另外，还有电流连续性方程另外，还有电流连续性方程 csvd vtJd s Jct 可以证明可以证明: :由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连由麦克斯韦方程组中的两个旋度方程及电流连续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。也续性方程，可导出麦克斯韦方程组中的两个散度方程。也就

18、是说，麦克斯韦方程组的四个方程，再加上电流连续性就是说，麦克斯韦方程组的四个方程，再加上电流连续性方程这方程这5 5个方程，事实上只有三个方程是独立的。为了获个方程，事实上只有三个方程是独立的。为了获得电磁场的解，还需要利用三个物态方程：得电磁场的解，还需要利用三个物态方程： cDEBHJE 才可得到一般媒质中完整的麦克斯韦方程组的解。才可得到一般媒质中完整的麦克斯韦方程组的解。 3.12 3.12 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 研究边界条件的出发点仍然是麦克斯韦方程组，但在不研究边界条件的出发点仍然是麦克斯韦方程组，但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突同媒质的交界面

19、处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，使得场量也可能产生突变，因此，微分形式的方程可能变，使得场量也可能产生突变，因此，微分形式的方程可能不再适用，而只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导不再适用，而只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导出边界条件。出边界条件。 1 1、一般媒质界面的边界条件、一般媒质界面的边界条件 如图为两种一般媒质的交界面，第一种媒质的介电常数、如图为两种一般媒质的交界面，第一种媒质的介电常数、磁导率、电导率分别为磁导率、电导率分别为 ， ， ；第二种媒质；第二种媒质的分别为的分别为 , , , , 111222媒质媒质1 媒质媒质2 D（1 1） 的边界条件的边

20、界条件 如图所示，在分界面上取如图所示，在分界面上取一个小的柱形闭合面，其上下一个小的柱形闭合面，其上下底面与分界面平行，在分界面底面与分界面平行，在分界面的两边，高的两边，高h h趋于趋于0.0.在柱形闭合面上应用高斯定律：在柱形闭合面上应用高斯定律： 12nnssDd sDsDss12nnsDD则则 此式即为此式即为 的法向边界条件，它表明：的法向边界条件，它表明： 的法向分量在分界面处产生了突变的法向分量在分界面处产生了突变 DDB （2 2） 的边界条件的边界条件 与上图类似，应用高斯定律得：与上图类似，应用高斯定律得： 120nnsBd sBsBs当当 0s时，时， 的法向分量变为连

21、续。的法向分量变为连续。 D介质界面自由电荷面密度介质界面自由电荷面密度12nnBB即即 此式即为此式即为 的法向边界条件，它表明：的法向边界条件，它表明： 的法向分量在分界面处的法向分量在分界面处总是总是连续的。连续的。 B B J （3 3） 的边界条件的边界条件 与上图类似，由电流连续性原理与上图类似，由电流连续性原理 csvd vtJd s 12sJJnnt可得可得 说明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密度的法说明：当分界面处电荷面密度发生变化时，其电流密度的法向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。向分量产生突变，突变量为电荷面密度的变化率。 E（4 4） 的边界条件的边

22、界条件 如图，电场强度的边界条如图，电场强度的边界条件通常用电场的切向分量件通常用电场的切向分量来表示。来表示。 lsBEd ld st12ttEE可得可得 说明：电场强度的切向分量在交界面处是连续的。说明：电场强度的切向分量在交界面处是连续的。 由麦克斯韦第二个方程：由麦克斯韦第二个方程： H （5 5） 的边界条件的边界条件 12HHJstt可得可得 说明：当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将当分界面处存在传导电流时，磁场强度的切向方向将发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向发生突变；当分界面处不存在传导电流时，磁场强度的切向方向是连续的。方向是连续的。 与上图类似

23、，由安培环路定律与上图类似，由安培环路定律 lHd lI综上所述，五个场量综上所述，五个场量的边界条件是：的边界条件是： 12121212()12()()0()()0sstnHHJsnDDnBBnJJnEE Js为分界面上的传导电流面密度 2 2、几种特殊介质的边界条件、几种特殊介质的边界条件在研究电磁场问题时，下述分界面的讨论经常出现：在研究电磁场问题时，下述分界面的讨论经常出现：（1 1）两种无损耗线性介质的分界面，也就是两种理想介）两种无损耗线性介质的分界面，也就是两种理想介质的分界面质的分界面 ：空气、云母可视为理想介质。：空气、云母可视为理想介质。理想介质属无损耗介质，其电导率理想介

24、质属无损耗介质，其电导率 0这时有这时有 1212121212*0ttnnttnnDDsnnEEBBHHJJ这说明：理想介质中不可能有传导电流。这说明：理想介质中不可能有传导电流。 对于无源的情况，因为对于无源的情况，因为 0,0cJ 所以有所以有 121212*12*ttnnttDDnnEEBBHH这说明：在无源空间，理想介质分界面上，各场量连续。这说明：在无源空间，理想介质分界面上，各场量连续。 （2 2）理想介质和理想导体的界面）理想介质和理想导体的界面 理想介质的电导率理想介质的电导率0理想导体的电导率理想导体的电导率 JE可知：理想导体内部不存在电场。可知：理想导体内部不存在电场。 根据根据 这时有这时有 11012012tDnsEEttBBnnJsH这说明：对于时变电磁场中的理想导体，电场总是与这说明：对于时变电磁场中的理想导体，电场总是与导体表面相垂直；而磁场总是与导体表面相切；导体导体表面相垂直；而磁场总是与导体表面相切；导体内部既没有电场，也没有磁场。内部既没有电场，也没有磁场。 （3 3）静态电磁场的边界条件）静态