材料力学第三章_扭转

1、第三章第三章 扭扭 转转 31 扭转的概念扭转的概念32 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图33 薄壁筒扭转薄壁筒扭转34 圆截面杆扭转的应力及强度条件圆截面杆扭转的应力及强度条件35 圆截面杆扭转的变形及刚度条件圆截面杆扭转的变形及刚度条件36 矩形截面杆自由扭转矩形截面杆自由扭转37 薄壁杆扭转薄壁杆扭转 31 扭转的概念扭转的概念 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转：扭转： （两端面相对转过的角度）（两端面相对转过的角度） ，剪切角也

2、称，剪切角也称。32 扭转的内力扭转的内力扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图mmmTx一、扭矩一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的矩称为截面的，用，用表示之。表示之。 扭矩的正负号按扭矩的正负号按来确定，即右手握住杆的轴线，来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。反之为负。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。扭矩的大小由平衡方程求得。, 0; 0mTmxmT 二、扭矩图二、扭矩图 各截面的扭矩随荷载而变化，

3、是截面坐标的函数，表示各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面扭矩的图象称为各截面扭矩的图象称为。 扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下： 扭矩图的画法步骤：扭矩图的画法步骤： 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 按大小比例

4、和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。侧，并在图上表出数值和正负号。例例1 画图示杆的扭矩图画图示杆的扭矩图3kN.m5kN.m2kN.m解：解：11223kN.mT1ABCAC段：段：0mmkNTT.3; 0311BC段：段：0mmkNTT.2; 02222kN.mT2扭矩图扭矩图3kN.m2kN.m - 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转数来换算。通过传递功率和转数来换算。三、外力偶矩换算三、外力偶矩换算m)(N9550nPm其中：P 功率，千

5、瓦（kW） n 转速，转/分（r/min） 若传动轴的传递功率为若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为每分钟转数为n ，则每分钟则每分钟功率作功：功率作功：PW60力偶作功：力偶作功：nmW2nPm260例例2 已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率 P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.55

6、55944.nP.m112233求扭矩（扭矩按正方向假设）求扭矩（扭矩按正方向假设）mkN78. 4 , 0 , 02121mTmTmmkN56. 9)78. 478. 4( 322mmTnA B C Dm2 m3 m1 m40; 0212mmTmmkN37. 6 , 0 , 04343mTmTm绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。nA B C Dm2 m3 m1 m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.mm,kN 56. 9maxT扭矩图扭矩图例例画图示杆的扭矩图。画图示杆的扭矩图。3m2m2mmkN.4mkN.6mkN.8mkN.61m _扭矩图扭矩图mkN.4m

7、kN.6mkN.233 薄壁筒扭转薄壁筒扭转薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；两端施加一对外力偶两端施加一对外力偶 m。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 纵向线变成螺旋线。纵向线变成螺旋线。3.结果：结果： 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，

8、此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。二、薄壁筒切应力二、薄壁筒切应力 tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0为平均半径所作圆的面积。为平均半径所作圆的面积。 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。切应力沿圆周切线

9、，方向与扭矩转向一致。Tacddxb dy tz三、切应力互等定理：三、切应力互等定理： dxdytdxdytmz ; 0 这就是这就是：在单元体相互垂直的两个截面：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为。acddxb dy tz 单元体单元体ab 的倾

10、角的倾角 称为称为，切应变是切应变是单元体直角的改变量。实单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即切应变成正比，即G 这就是这就是，比例常数，比例常数G 称为称为。 剪切弹性模量剪切弹性模量G 、与弹性模量与弹性模量E 和泊松比和泊松比 一样，都一样，都是是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。 根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求

11、出第三个来。就可求出第三个来。)1 (2EG3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察一、等直圆杆扭转实验观察1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设；横截面变形后仍为平面，满足平面假设；2. 轴向无伸缩，横截面上没有正应力；轴向无伸缩，横截面上没有正应力；二、等直圆杆扭转横截面上的切应力二、等直圆杆扭转横截面上的切应力Rdxdx1o2o2o1oAABBCDDCabdcBCCcbd 变形的几何条件变形的几何条件横截面上横截面上b 点的切应变：点的切应变：dxddxbbdxd其中其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称为单位长度杆两端面相对扭转角，称B 物理条件物理

12、条件横截面上横截面上b 点的切应力：点的切应力：GG 静力条件静力条件PAAAIGAGAGATd d d22pGIT O2dAdAbT其中其中 称为截面对圆心的称为截面对圆心的。APdAI2pIT于是得横截面上任一点的切应力为于是得横截面上任一点的切应力为Ip截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。义。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得； 求应力那点到圆心的距离；求应力那点到圆心的距离；dD环形截面：环形截面：)(3244dDIP极惯性矩的单位极惯性矩的单位：m432 d2 d42022D

13、AIDApDdO 极惯性矩极惯性矩 同一截面，扭矩同一截面，扭矩T ，极惯性矩极惯性矩IP 为常量，因此各点切应为常量，因此各点切应力力 的大小与该点到圆心的距离的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致。半径，且与扭矩的转向一致。TT max max实心圆截面切应力分布图实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图最大切应力在外圆处。最大切应力在外圆处。 最大切应力最大切应力maxmaxPIT令：令：)1 (16164433DdDDWt,maxPtIW Wt 称为称为，单位：，单位：m3tWTmax实心圆截面实心圆截面

14、空心圆截面空心圆截面例例4已知空心圆截面的扭矩已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。求最大、最小切应力。dDT max min解：解：MPaDdDTWTt9 .84)(1 4100016)1 (164213443maxMPaDd45.42219 .84maxmin三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：maxtWT其中容许切应力其中容许切应力 是由扭转时材料的极限是由扭转时材料的极限切应力除以安全系切应力除以安全系数得到。数得到。一、扭转时的变形一、扭转时的变形pGITx dd d 0lpxGIT 当当T 、GIP

15、为常量时，长为为常量时，长为l 一一段杆两端面相对扭转角为段杆两端面相对扭转角为PGITl其中其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为。(rad/m) dd pGITx 二、刚度条件二、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 称为称为。若。若单位扭转角给的是单位扭转角给的是 ，则上式改写为则上式改写为m/例例图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m； =60MPa， =0.3/m，G=80GPa；试选择该轴的直径试选择该轴的直径。ABCm

16、AmB mC l1l22kN.m1kN.m 解：解： 按强度条件按强度条件 3maxmax16dmWTct mmmdC4 .55101060200016163363ABCmAmB mC l1l22kN.m1kN.m 按刚度条件按刚度条件 /m)( 180 maxpGIT 18032max4GTdIP mmGTd5 .83103 . 0108018020003218032342942max该圆轴直径应选择：该圆轴直径应选择：d =83.5mm.例例45图示圆轴，已知图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1

17、 =0.2m，l2 =0.4m； =60MPa， =1/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角刚度，并计算两端面的相对扭转角。ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m 解：解： 按强度按强度核该核该 MPadmWTBt7 .4746001616331111d1d2ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m MPadmWTCt9 .1178001616332222d1d2满足强度条件。满足强度条件。按刚度按刚度核该核该mGITP/71. 118010401080600321801249111mGITP/24. 01

18、8010701080800321801249222ABCmAmB mC l1l20.6kN.m0.8kN.m d1d2 m/71. 11max此轴不满足刚度条件。此轴不满足刚度条件。)(324111422211122212dlTdlTGGIlTGIlTPPCB245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449CB例例46长为长为 l =2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切许用切应力应力 =30MPa，试设计杆的外径；试设计杆的外径；

19、 =2/m ，试校核此试校核此杆的刚度，并求右端面转角。杆的刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径 116D 43）（tW 34max)1 (16TD tWTmaxmKNmm/20m2xxmxxT20)(NmmlT40max mmTD57.22101030)8 . 01 (4016)1 (16336434maxmKNmm/20m2 刚度校核刚度校核180maxmaxPGIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面转角右端面转角radGIGIxGIxdxGIdxxTPPPlP033. 0)8 . 01 (106 .2210804032401020)(412492

20、0220练习练习2图示圆杆图示圆杆BC 段为空心，已知段为空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角力和自由端的扭转角。ABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m11223344解：本题应分解：本题应分4段考虑。段考虑。32421DIIPP)(324443dDIIPP16321DWWtt)1 (1644343DdDWWttABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m11223344MPaDTWTP74.4

21、0510001616331111MPaDTWTP76.34)5 . 01 (580016)1 (1643434444MPa74.401maxABCaabb D d0.5kN.m0.3kN.m 0.8kN.m0.8kN.m0.5kN.m1kN.m1122334472. 00126. 0)(151632)1 (32)1 (32323242214444442424144332211radaTbTbTaTDGDGaTDGbTDGbTDGaTGIaTGIbTGIbTGIaTPPPP 非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。式不适用，须由弹性力学方法求解。hbh 1T max 注意！b 自由扭转自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完