异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法(含案例)

1、 在教材在教材P29-32和和P64-65，分别，分别对一元和多元线性回归模型对一元和多元线性回归模型提出了若干提出了若干基本假设基本假设，只有在满足这些基本假设的情况下，只有在满足这些基本假设的情况下，应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。 但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假设的情况并不多见。设的情况并不多见。 如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估计模型所得参数估计量就可能不具有某些优良特性，这就需

2、计模型所得参数估计量就可能不具有某些优良特性，这就需要发展新的方法估计模型。要发展新的方法估计模型。 本章正是要讨论本章正是要讨论违背了某一项基本假设违背了某一项基本假设的问题及其估计方的问题及其估计方法法。引引 言言异方差性异方差性HeteroscedasticityHeteroscedasticity一、异方差性的概念及类型一、异方差性的概念及类型二、异方差性的后果二、异方差性的后果三、异方差性的检验三、异方差性的检验四、异方差的修正四、异方差的修正五、案例五、案例1.1.什么是异方差？什么是异方差？对于模型 （i=1,2,n） 同方差性假设同方差性假设为 Vari()2（i=1,2,n）

3、 如果出现 Varii()2（i=1,2,n） 即对于不同的样本点i ，随机误差项的方差不再是常数，则认为出现了异方差性异方差性。 注意：对于每一个样本点对于每一个样本点i，随机误差项，随机误差项 i都是随机变量，服都是随机变量，服从均值为从均值为0的正态分布；而方差的正态分布；而方差 i2衡量的是随机误差项围绕其衡量的是随机误差项围绕其均值均值0的分散程度。的分散程度。所以，所以，所谓异方差性，是指这些服从正态所谓异方差性，是指这些服从正态分布的随机变量围绕其均值分布的随机变量围绕其均值0的分散程度不同。的分散程度不同。 一、异方差性的概念及类型一、异方差性的概念及类型iikkiiiXXXY

4、22110异方差性示意图异方差性示意图XY概率密度或者，也可以说，对于每一个样本点对于每一个样本点i，随机误差项，随机误差项的的方差方差 i2衡衡量的是被解释变量的观测值量的是被解释变量的观测值Yi围绕回归线围绕回归线E(Yi)= 0+ 1Xi1+ kXik的分散程度。的分散程度。而而所谓异方差性，是指被解释变量观测值的分散所谓异方差性，是指被解释变量观测值的分散程度随样本点的不同而不同。程度随样本点的不同而不同。 【庞皓庞皓P130】2.2.异方差的类型异方差的类型 同方差性同方差性假定是指，每个i围绕其0均值的方差并不随解释变量Xi的变化而变化，不论解释变量的观测值是大还是小，每个i的方差

5、保持相同，即 i2 =常数 （i=1,2,n） 在异方差异方差的情况下，i2已不是常数，它随Xi的变化而变化，即 i2 =f(Xi) （i=1,2,n） 异方差一般可以归结为三种类型异方差一般可以归结为三种类型：（1）单调递增型： i2=f(Xi)随Xi的增大而增大；（2）单调递减型： i2=f(Xi )随Xi的增大而减小；（3）复杂型： i2=f(Xi )随Xi的变化呈复杂形式。3.3.实际经济问题中的异方差性实际经济问题中的异方差性 在该模型中，在该模型中， i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收的同方差假定往往不符合实际情况。对高收入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律

6、入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。 因此，因此， i的方差往往随的方差往往随Xi的增加而增加，呈的增加而增加，呈单调递增型单调递增型变化变化。例例4.1.1： 在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。 一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平

7、均数的误差大。所以样本观平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观测值的测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增先减后增。 例例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设、以分组数据（将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值）作样本建立居民消费函数： Ci= 0+1Yi+i 如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值的增大而的增大而先减后增（先减后增（U形）形），出现了

8、异方差性。，出现了异方差性。例例4.1.3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。 由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为的变化而呈规律性变化，为复杂型复杂型的一种。的一种。规

9、规 律律 一般经验告诉人们：对于采用截面数据作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点（即不同空间）上解释变量以外的其他因素的差异较大，所以往往存在异方差性。1.1.参数估计量非有效参数估计量非有效 当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性不具有有效性。而且，在大样在大样本情况下，本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。仍然不具有渐近有效性。 即同方差和无序列相关条件。因为在有效性证明（见教材（见教材P70-71）中利用了E() 2I jiCovniVarjii, 0),(, 2 , 1,)(2二、异方差性的后果二、异方差性的后果2.2.变量的显

10、著性检验失去意义变量的显著性检验失去意义在变量的显著性检验中，t统计量 （j=0,1,2,k） 包含有随机误差项共同的方差2。 如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算t t统计量，将使统计量，将使t t统计量失真统计量失真【偏大或偏小偏大或偏小，见第三版，见第三版P110补补充说明充说明】，从而使，从而使t t检验失效检验失效【使某些原本显著的解释变量使某些原本显著的解释变量可能无法通过显著性检验可能无法通过显著性检验，或者，或者使某些原本不显著的解释变量使某些原本不显著的解释变量可能通过显著性检验可能通过显著性检验】。 122)()(jjjj

11、jjjjjjjXXcSet3.3.模型的预测失效模型的预测失效0102)(100XXXXYYSE 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 另一方面， 在预测值的置信区间中也包含有随机误差项共同的方差2。 所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困难，它的预测功能失效。 其中【书上这句话有点问题】1.1.检验方法的共同思路检验方法的共同思路 既然既然异方差性异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差，那么：随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解检验异方差性，也就是检验随机误差项的

12、方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式形式”。 各种检验方法正是在这个各种检验方法正是在这个共同思路共同思路下发展起来的。下发展起来的。 三、异方差性的检验三、异方差性的检验（教材（教材P111）问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？首先采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的估计量 （注意， 该估计量是不严格的） ， 我们称之为 “近近似似估估计计量量” ，用ei表示。于是有一般的处理方法：一般的处理方法：VarEeiii()()22即用2ie来表示随机误差项的方差。 lsiiiYYe0)(2.2.图示

13、检验法图示检验法（1）用）用X-Y的散点图进行判断（的散点图进行判断（李子奈李子奈P108）看是否存在明显的散点扩大散点扩大、缩小缩小或复杂型复杂型趋势趋势（即不在一个固定的带型域中）。随机误差项随机误差项 的的方差描述的是方差描述的是 取值的离散程取值的离散程度。而由于被度。而由于被解释变量解释变量Y Y与随与随机误差项机误差项 有相有相同的方差，所同的方差，所以利用以利用Y Y与与X X之之间的相关图形间的相关图形也可以粗略地也可以粗略地看出看出 的离散程的离散程度与度与X X之间是否之间是否有相关关系。有相关关系。ei2 ei2 X X 同方差 递增异方差ei2 ei2 X X 递减异方

14、差 复杂型异方差（2）用用X2ie的的散散点点图图进进行行判判断断 看是否形成一条看是否形成一条斜率为零斜率为零的直线。的直线。（教材P111）3.3.戈里瑟戈里瑟（Gleiser）检验与帕克检验与帕克（Park）检验检验 戈里瑟检验与帕克检验的思想：戈里瑟检验与帕克检验的思想： 选 择关于 变 量jX的不 同的 函数形 式（ 如2)(jijiXXf或ivjijieXXf2)(） ，对方程进 行估计 并进行 显著性 检验 ； 如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。模型存在异方差性。以|e|或ei2为被解释变量，以原

15、模型的某一解释变量jX为解释变量，建立如下方程： ijiiXfe)(| i=1,2,n （Gleiser）或 ijiiXfe)(2 i=1,2,n (Park)由于由于f(Xj)的具体形式未知，因此需要选择各种形式进行试验。的具体形式未知，因此需要选择各种形式进行试验。4.4.戈德菲尔德戈德菲尔德- -匡特匡特（Goldfeld-Quandt）检验检验 G-Q检验检验以以F检验为基础，仅检验为基础，仅适用于适用于样本容量较大样本容量较大、异方差为单调递增或单调递减异方差为单调递增或单调递减的情况。的情况。 G-Q检验的思想检验的思想： 先按先按某一被认为有可能引起异方差的解释变量某一被认为有可

16、能引起异方差的解释变量对样对样本排序，再将排序后的样本一分为二，对子样本本排序，再将排序后的样本一分为二，对子样本和和子样本子样本分别进行分别进行OLS回归，然后利用两个子样本的回归，然后利用两个子样本的残差平方和之比构造残差平方和之比构造F统计量进行异方差检验。统计量进行异方差检验。 G-Q检验的步骤：检验的步骤：将将n对样本观察值对样本观察值(Xi1, Xi2, ,Xik,Yi)按按某一被认为有某一被认为有可能引起异方差的可能引起异方差的解释变量观察值解释变量观察值Xij的大小排队。的大小排队。将序列中间的将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观个观察值除去，并将剩下的观察值划分为

17、较小与较大的容量相同的两个子样本，察值划分为较小与较大的容量相同的两个子样本，每个子样本的样本容量均为每个子样本的样本容量均为(n-c)/2 。对每个子样本分别求回归方程，并计算各自的残差平方和。将两个残差平方和中较小的一个规定为21ie，较大的一个规定为22ie。二者的自由度均为12kcn。 提出假设：0H：2221，1H：2221 21与22分别为两个子样对应的随机项方差。构造统计量 ) 12, 12() 12() 12(2122kcnkcnFkcnekcneFii检验。给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值F（1，2）。 若FF（1，2），则拒绝H0，认为存在异方差； 反之，则不存在

18、异方差。 H0成立，意味着同方差；H1成立，意味着异方差。5.5.怀特怀特(White)(White)检验检验 G-Q检验检验需按某一被认为有可能引起异方差的解释需按某一被认为有可能引起异方差的解释变量对样本排序，而且只能检验单调递增或单调递变量对样本排序，而且只能检验单调递增或单调递减型异方差；减型异方差；怀特怀特(White)检验则不需要排序，且对检验则不需要排序，且对任何形式的异方差都适用。任何形式的异方差都适用。怀特怀特(White)(White)检验的基本思想与步骤检验的基本思想与步骤 下面，以二元回归为例，说明怀特检验的基本思想与步骤：设回归模型为：设回归模型为：iiiiXXY22

19、110首先，对该模型做普通最小二乘回归，记残差为：首先，对该模型做普通最小二乘回归，记残差为：lsiiiYYe0)(然后，以上述然后，以上述残差的平方残差的平方为被解释变量，以为被解释变量，以原模型中各解释原模型中各解释变量的水平项、平方项（还可以有更高次项）、交叉项等各变量的水平项、平方项（还可以有更高次项）、交叉项等各种组合种组合为解释变量，做如下的为解释变量，做如下的辅助回归辅助回归：iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102)(22nR则在同方差性假设下则在同方差性假设下【也即【也即H0： 1= 5=0 】，该辅助回归，该辅助回归方程的可决系数方程的可决系数R2与样本

20、容量与样本容量n的乘积渐近地服从的乘积渐近地服从自由度自由度 =辅辅助回归方程中解释变量个数助回归方程中解释变量个数【该例【该例 = 5】的的 2分布：分布：怀特怀特(White)(White)检验的检验的EViewsEViews软件操作要点软件操作要点 在在OLS的方程对象的方程对象Equation中，选择中，选择View/Residual tests/White Heteroskedasticity。 在选项中，在选项中，EViews提供了提供了包含交叉项的怀特检验包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和和没有交叉项的怀特没有交叉

21、项的怀特检验检验“White Heteroskedasticity（no cross terms）” 这样这样两个选择。两个选择。 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计统计量和量和White统计量统计量nR2；下方则显示以；下方则显示以OLS的残差平的残差平方为被解释变量的方为被解释变量的辅助回归方程辅助回归方程的回归结果。的回归结果。 以以教材教材P118的例子为例，的例子为例，包含交叉项包含交叉项的怀特检验的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”的输出结果为的输出结果为 ：怀特怀特检验检验的软

22、的软件输件输出界出界面：面：可见，怀特统计量怀特统计量nR2=20.55085【=31 0.662931】，大于自由度自由度 【也即辅辅助回归方程中解释变量的个数助回归方程中解释变量的个数】为5的2分布临界值11.07，因此，在5%的显著性水平下拒绝同方差的原假设。 四、异方差的修正四、异方差的修正1. 加权最小二乘法加权最小二乘法（weighted least squares ）2. 异方差稳健标准误法异方差稳健标准误法（ heteroscedasticity robust standard error）1.1.加权最小二乘法的基本思想加权最小二乘法的基本思想 加权最小二乘法（加权最小二乘法

23、（Weighted Least SquaresWeighted Least Squares ）：）：是对原是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。然后采用普通最小二乘法估计其参数。 例如：例如：在递增的异方差下，与较小的Xi对应的Yi离回归线较近，残差ei较小；而与较大的Xi对应的Yi离回归线较远，残差ei较大。为了更可靠地估计总体回归函数，我们应该给为了更可靠地估计总体回归函数，我们应该给那些紧密围绕其（总体）均值的观测值较大的权数，而给那些紧密围绕其（总体）均值的观测值较大的权数，而给那些远离其

24、均值的观测值较小的权数。那些远离其均值的观测值较小的权数。古扎拉蒂古扎拉蒂P355（一）（一）加权最小二乘法加权最小二乘法 于是，我们可以于是，我们可以 对较小的残差平方ei2赋予较大的权数， 对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。 加权最小二乘法加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和就是对加了权重的残差平方和实施实施OLS法：法：21102)(kkiiiiXXYWeW 最小最小 例如：如果在检验过程中已经知道如果在检验过程中已经知道：2.2.一个例子一个例子（重要！）（重要！）222)()()(jiiiiXfEVar即随机误差项的方差与解释变量jX之间存在相关性。 那么，可以用)(jiXf

25、去除原模型，使之变成如下形式的新模型： ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1ijikijikXfXXf)(1)(1 i=1,2,n 在该模型中，存在在该模型中，存在 即满足同方差性。即满足同方差性。 于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数k,10的无偏的、有效的估计量。 这就是加权最小二乘法。这就是加权最小二乘法。 在这里，权数为 。 )(1jiXf222)()(1)()(1)(1jijiijiijiXfXfVarXfXfVar注意：注意：将这里的权数平方之后，才是对残差平方加权的权数。 【第三版P114补充】可见，实施加权最小二乘法的关键是

26、寻找适当的“权”，或者说寻找模型中随机干扰项的方差与解释变量间的适当的函数形式。 如果发现),(),(21221ikiiikiiiXXXfXXXVar 那么，加权最小二乘法的“权”即为),(/121ikiiXXXf（注意：其中的（注意：其中的 2完全可以是完全可以是1）注意：注意：这里的“权”仍然是指用来乘原模型两边的“权”，相当于对原模型的残差ei加权。将这里的权数平方之后，才是对原模型的残差平方ei2加权的权数。 那么，可以用 作为权数，去乘原模型的两边，得到下面的模型： 补充补充 特别地，如果像教材P111(4.1.4)式那样，近似地有VarEeiii()()22iiee112 该模型满

27、足同方差性，可以用普通最小二乘法估计：iikiikiiiiiiieXeXeXeeYe111111221101111222iiiiiieeVareeVar i=1,2,n 选 择 加 权 最 小 二 乘 法 ， 以ie1序 列 作 为 权 ， 进 行 估计 得 到 参 数 估 计 量 。 选 择 普 通 最 小 二 乘 法 估 计 原 模 型 ， 得 到 随 机 误 差 项的 近 似 估 计 量ie； 建 立ie1的 数 据 序 列 ； EviewsEviews软件中的加权最小二乘法（软件中的加权最小二乘法（WLSWLS）正是这样设）正是这样设计的：计的： （）所以，Eviews软件中WLS法的

28、“权”，是指对原模型两边加权的“权”，而不是对原模型的残差平方ei2加权的权数。3.3.一般情况一般情况（只需了解其思想。第三版已删掉，（只需了解其思想。第三版已删掉，跳过跳过）对于模型Y=XB+N如果存在 其中 W wwwn12即存在异方差性异方差性：Var( i)= 2wi （i=1,2,n）W2)()(0)(ECovVarE补充：补充：设设A为一个实系数对称矩阵，如果对任何一个非零实向量为一个实系数对称矩阵，如果对任何一个非零实向量X，都使二次型，都使二次型XAX正定（也即大于正定（也即大于0），那么），那么A称为称为正定矩阵正定矩阵。那么，那么，由于由于W是一正定矩阵，存在一个可逆矩阵

29、是一正定矩阵，存在一个可逆矩阵D，使得，使得 WDD显然nwwwD21nwwwD111121D Y D XD111记作YX*该模型具有同方差性：该模型具有同方差性： 因为EE()()*DD11IDDDDWDDDD212112111)(E用用D-1左乘原模型左乘原模型Y=XB+N两边，可以得到一个新的模型：两边，可以得到一个新的模型： 这就是原模型的加权最小二乘估计量，它是无偏、这就是原模型的加权最小二乘估计量，它是无偏、有效的。有效的。于是，可以用普通最小二乘法估计新模型，得到参可以用普通最小二乘法估计新模型，得到参数估计量，为：数估计量，为： ()*X XX Y1YDDXXDDX11111)

30、(YWXXWX111)(这里这里权矩阵权矩阵为为D-1-1，它来自于矩阵，它来自于矩阵W 。4.4.如何得到权矩阵如何得到权矩阵D-1-1？ 从上述推导过程可以看出，D-1-1来自于原模型的随机误差项N的方差-协方差矩阵Var-Cov(N)= 2W，因此仍然可以对原模型首先采用OLS法，得到随机误差项的近似估计量，以此构造W的估计量，进而得到权矩阵D-1-1。neeeD21neeeD11112122221neeeW即（假定（假定 2=1，这是完全可以的），这是完全可以的）总结：总结：加权最小二乘法的具体步骤加权最小二乘法的具体步骤（） 选择加权最小二乘法，以ie1序列作为权，进行估计得到参数估

31、计量。 选择普通最小二乘法估计原模型， 得到随机误差项的近似估计量ie； 建立ie1的数据序列； 注意：注意：用手工加权得到用手工加权得到WLS法的结果法的结果，即先用GENR命令生成新序列E（残差的绝对值）及YE（即Y/E）、CE（即1/E）、XE （即X/E），然后用OLS法估计，得到WLS法的结果。要求能写出有关的命令格式。注注 意意 在实际建模过程中，在实际建模过程中，人们通常人们通常并不对原模型进并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。尤其是采用截面数据作样本时。 如果确实存在异方差，则被有效地

32、消除了；如果确实存在异方差，则被有效地消除了； 如果如果不存在异方差不存在异方差，则加权最小二乘法，则加权最小二乘法等价于等价于普通最小二乘法。普通最小二乘法。1.1.异方差稳健标准误法的基本思想异方差稳健标准误法的基本思想 异方差稳健标准误法（heteroscedasticity robust standard error）：）：该方法由怀特（White）于1980年提出，是指先采用普通最小二乘法估计原模型，然后用残差的平方作为相应的随机误差项方差的代表，对参数估计量的方差或标准误差进行修正。 见教材见教材P115-116。不要求，从略。不要求，从略。（二）异方差稳健标准误法（二）异方差稳健

33、标准误法五、案例五、案例1 （补充）（补充） 某地区居民储蓄模型某地区居民储蓄模型某地区某地区31年来居民收入与储蓄额数据表年来居民收入与储蓄额数据表 单位：万元 年份 居民收入 (X) 储蓄 (Y) 年份 居民收入 (X) 储蓄 (Y) 年份 居民收入 (X) 储蓄 (Y) 1968 8777 264 1979 17663 950 1990 29560 2105 1969 9210 105 1980 18575 779 1991 28150 1600 1970 9954 90 1981 19535 819 1992 32100 2250 1971 10508 131 1982 21163 1

34、222 1993 32500 2420 1972 10979 122 1983 22880 1072 1994 35250 2570 1973 11912 107 1984 24127 1578 1995 33500 1720 1974 12747 406 1985 25604 1654 1996 36000 1900 1975 13499 503 1986 26500 1400 1997 36200 2100 1976 14269 431 1987 27670 1829 1998 38200 2300 1977 15522 588 1988 28300 2200 1978 16730 898

35、 1989 27430 2017 1.1.普通最小二乘估计普通最小二乘估计直接使用OLS法，得到： XY0846. 060.665（-5.87） （18.04）R2=0.9182 2.2.异方差检验异方差检验050010001500200025003000050001000015000200002500030000350004000045000XY（1 1）图示检验）图示检验 G-Q检验检验【这里没有按【这里没有按X X排序，是因为排序，是因为X X是逐年增大的是逐年增大的】求两个子样本（n1 =n2 =12）回归方程的残差平方和RSS1与RSS2 ；对第 1 个子样本（19681979） ：

36、XY0954.058.8231 (- 4.864) (7.300)2R=0.842, 1RSS=2ie=162899.2对 第 2 个 子 样 本 （ 19871998） ： 2Y= 1141.07 + 0.0294 X （ 1.607） （ 1.337） R2=0.1517 RSS2 =2ie=769899.2 计算F统计量 F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726查表 在5%的显著性水平下，第1和第2自由度均为（31-7）/2-2=10的F分布临界值为 F0.05(10,10)=2.97 由于 F=4.726 F0.05(10,10)= 2.97因此，否定两组

37、子样本的方差相同的假设，从而该总体随机误差项存在总体随机误差项存在递增型递增型异方差异方差。 Park Park检验检验 显然，lnXi前的参数在统计上是显著的，表明原模型存在异方差表明原模型存在异方差。 对直接使用 OLS 法估计的残差项的平方2ie进行如下一般形式的回归：iiivXelnln2得： iiivXeln81. 299.17ln2 t （-2.89） (4.48) 2R=0.40933.3.异方差模型的估计异方差模型的估计设异方差222iiX， 以iiXXf)(去除原模型两边，得新模型*1*0*XY其中iXYY/*，iXX/1*，iX/*运用 OLS 法得 086. 05 .70

38、8*XY (-10.21) (20.63) 2R=0.7825则原模型估计为：XY086. 05 .708 (-10.21) (20.63) 2R=0.7825 与与OLS估计结果相比较，拟合效果估计结果相比较，拟合效果更差更差 。 为什么？为什么？ 关于异方差形式的假定可能存在问题。关于异方差形式的假定可能存在问题。与与OLS估计结果相比较，拟合效果更好估计结果相比较，拟合效果更好 。如果用估计的ei2作为矩阵 W 的主对角线元素，即相当于用| /1ie为权重进行加权最小二乘估计（WLS） ，则有XY0857.006.686 (-29.14) (43.59) 2R=0.9925五、案例五、案

39、例2 2（补充）（补充） 中国消费函数模型中国消费函数模型中国消费函数模型（中国消费函数模型（二元回归）二元回归） 根据消费模型的一般形式，选择消费总额为被解释变量被解释变量，国内生产总值和前一年的消费总额为解释变量解释变量，变量之间关系为简单线性关系，选取1981年至1996年统计数据为样本观测值。 中国消费数据表 单位：亿元 年 份 消费总额 国内生产总值前一年消费额 年 份 消费总额 国内生产总值 前一年消费额198133094901297619891055616466936019823638548933091990113621832010556198340216076363819911

40、3146212801136219844694716440211992159522586413146198557738792469419932018234501159521986654210133577319942721647111201821987745111784654219953452959405272161988936014704745119964017268498345291. OLS估计结果估计结果Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 08/15/05 Time: 21:49 Sample: 1981 1996 Inclu

41、ded observations: 16 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 540.5286 84.30153 6.411848 0.0000 X1 0.480948 0.021861 22.00035 0.0000 X2 0.198545 0.047409 4.187969 0.0011 R-squared 0.999773 Mean dependent var 13618.94 Adjusted R-squared 0.999739 S.D. dependent var 11360.47 S.E. of regressi

42、on 183.6831 Akaike info criterion 13.43166 Sum squared resid 438613.2 Schwarz criterion 13.57652 Log likelihood -104.4533 F-statistic 28682.51 Durbin-Watson stat 1.450101 Prob(F-statistic) 0.000000 2. WLS2. WLS估计结果估计结果Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 08/15/05 Time: 21:37 Sample: 198

43、1 1996 Included observations: 16 Weighting series: E Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 518.2881 20.52620 25.25008 0.0000 X1 0.483814 0.003607 134.1348 0.0000 X2 0.193525 0.008464 22.86477 0.0000 Weighted Statistics R-squared 0.999999 Mean dependent var 19943.81 Adjusted R-squared 0

44、.999999 S.D. dependent var 40730.31 S.E. of regression 47.58574 Akaike info criterion 10.73030 Sum squared resid 29437.23 Schwarz criterion 10.87516 Log likelihood -82.84243 F-statistic 980736.2 Durbin-Watson stat 1.810471 Prob(F-statistic) 0.000000 注：这里的权数E（也可以用别的符号）为OLS估计的残差项的绝对值的倒数。3.3.比较比较R2 : 0

45、.999739 0.999999F: 28682 980736e2: 438613 29437 t: 6.4 22.0 4.2 25.2 134.1 22.9D.W.: 1.45 1.81各项统计检验指标全面改善各项统计检验指标全面改善!五、案例五、案例3中国农村居民人均消费函数模型中国农村居民人均消费函数模型 见第三版教材P116-120例4.1.4，也是一个非常好的案例（仅仅是把第二版的2001年数据替换成了2006年的数据）。 主要的EViews软件输出结果如下：全样本的OLS回归Dependent Variable: LNYMethod: Least SquaresDate: 05/0

46、2/11 Time: 18:07Sample: 1 31Included observations: 31VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.2660681.0415913.1356530.0040LNX10.1502140.1085381.3839750.1773LNX20.4774530.0515959.2538530.0000R-squared0.779878 Mean dependent var7.928613Adjusted R-squared0.764155 S.D. dependent var0.355750S.E.

47、of regression0.172766 Akaike info criterion-0.581995Sum squared resid0.835744 Schwarz criterion-0.443222Log likelihood12.02092 F-statistic49.60117Durbin-Watson stat1.699959 Prob(F-statistic)0.000000软件操作：create u 1 31data y x1 x2genr lny=log(y)genr lnx1=log(x1)genr lnx2=log(x2) ls lny c lnx1 lnx2怀特检验

48、的软怀特检验的软件输出界面：件输出界面：可见，怀特统计量怀特统计量nR2=20.55085【=31 0.662931】，大于自由度自由度 【也即辅辅助回归方程中解释变量的个数助回归方程中解释变量的个数】为5的2分布临界值11.07，因此，在5%的显著性水平下拒绝同方差的原假设。 在在OLS方程对象窗方程对象窗口中，选择口中，选择view / Residual test / White Heteroskedasticity。Eviews提供了包含包含交叉项的怀特异方交叉项的怀特异方差检验差检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀没有交叉项

49、的怀特异方差检验特异方差检验“White Heteroskedasticity（no cross terms）”这样两个选项。 按按lnx2排序后，子样本排序后，子样本1的的OLS回归回归Dependent Variable: LNYMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 18:08Sample: 1 12Included observations: 12VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.1412081.1223582.7987570.0208LNX10.3983850.0787915.

50、0562340.0007LNX20.2347510.1097472.1390090.0611R-squared0.739693 Mean dependent var7.700532Adjusted R-squared0.681847 S.D. dependent var0.156574S.E. of regression0.088316 Akaike info criterion-1.803481Sum squared resid0.070197 Schwarz criterion-1.682255Log likelihood13.82089 F-statistic12.78726Durbin

51、-Watson stat1.298449 Prob(F-statistic)0.002343按按lnx2排序的操作：排序的操作：data T （用于还原）sort lnx2子样本子样本1的操作：的操作：smpl 1 12ls lny c lnx1 lnx2按按lnx2排序后，子样本排序后，子样本2的的OLS回归回归Dependent Variable: LNYMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 18:10Sample: 20 31Included observations: 12VariableCoefficientStd. Errort-Sta

52、tisticProb. C3.9936441.8840542.1197080.0631LNX1-0.1137660.159962-0.7112050.4950LNX20.6201680.1116545.5543800.0004R-squared0.876931 Mean dependent var8.239746Adjusted R-squared0.849582 S.D. dependent var0.375812S.E. of regression0.145754 Akaike info criterion-0.801478Sum squared resid0.191197 Schwarz

53、 criterion-0.680251Log likelihood7.808868 F-statistic32.06485Durbin-Watson stat2.565362 Prob(F-statistic)0.000080子样本子样本2的操作：的操作：smpl 20 31ls lny c lnx1 lnx2将数据还原（包括样本区间还原、数据顺序还原），再将数据还原（包括样本区间还原、数据顺序还原），再采用采用WLS法回归法回归Dependent Variable: LNYMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 18:14Sample: 1 31I

54、ncluded observations: 31Weighting series: WVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C3.3265760.17357219.165430.0000LNX10.1509450.0248196.0818320.0000LNX20.4678640.00978247.830950.0000Weighted StatisticsR-squared0.999984 Mean dependent var7.895881Adjusted R-squared0.999983 S.D. dependent var10.2

55、9463S.E. of regression0.042488 Akaike info criterion-3.387401Sum squared resid0.050548 Schwarz criterion-3.248628Log likelihood55.50472 F-statistic1325.761Durbin-Watson stat1.780377 Prob(F-statistic)0.000000其中，w=1/abs(resid)数据还原的操作：数据还原的操作：smpl 1 31sort TWLS的软件操作：的软件操作：ls lny c lnx1 lnx2genr w=1/abs

56、(resid)然后，用菜单实现WLS手工加权的回归结果手工加权的回归结果其中，E=abs(resid)，LNYE=LNY/E，CE=1/E，LNX1E=LNX1/E，LNX2E=LNX2/EDependent Variable: LNYEMethod: Least SquaresDate: 05/02/11 Time: 19:18Sample: 1 31Included observations: 31VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. CE3.3265760.17357219.165430.0000LNX1E0.1509450.0248196.0818320.0000LNX2E