第四章 时域分析法

1、 第第4章章 时域分析法时域分析法 引言：引言： 在经典控制理论中，常用在经典控制理论中，常用时域分析法时域分析法、根轨迹法根轨迹法和和频率响应频率响应法法来分析线性控制系统的性能，这些方法的分析手段不同，适来分析线性控制系统的性能，这些方法的分析手段不同，适用范围也不同。用范围也不同。时域分析法是在时域内研究控制系统稳定性、时域分析法是在时域内研究控制系统稳定性、暂态性能和稳态精度等的一种直接分析方法，可以提供系统时暂态性能和稳态精度等的一种直接分析方法，可以提供系统时间响应的全部信息，具有间响应的全部信息，具有 直观、方便、较准确的特点，尤其适直观、方便、较准确的特点，尤其适用于二阶系统的

2、分析和计算。用于二阶系统的分析和计算。但是在可变参数较多的情况下进但是在可变参数较多的情况下进行综合系统分析时，往往难于简洁的确定变动哪些参数才能使行综合系统分析时，往往难于简洁的确定变动哪些参数才能使系统的性能满足要求，这就要借助计算机辅助设计，本章主要系统的性能满足要求，这就要借助计算机辅助设计，本章主要研究线性控制系统性能分析的时域法。研究线性控制系统性能分析的时域法。 特点：特点： 属于直接分析方法属于直接分析方法 能提供系统时间响应的全部信息能提供系统时间响应的全部信息 直观、准确直观、准确从从数学数学角度：利用拉氏反变换法求出系统的输出量的角度：利用拉氏反变换法求出系统的输出量的表

3、达式，提供系统输出响应的全部信息。表达式，提供系统输出响应的全部信息。 不足不足 ：1）实际控制系统较复杂，高阶微分方程求解计算量大实际控制系统较复杂，高阶微分方程求解计算量大仅通过微分方程不容易区分影响系统运动规律的主要因素和次要仅通过微分方程不容易区分影响系统运动规律的主要因素和次要因素因素 2）从从工程工程角度：并非简单求取一个既定系统的运动，角度：并非简单求取一个既定系统的运动，而是需要选择系统中某些参数，甚至改变系统的结构以获取较好而是需要选择系统中某些参数，甚至改变系统的结构以获取较好的控制性能。的控制性能。对时域分析法的要求对时域分析法的要求：计算量不应太大，并且不因方程阶次升高

4、而增加太多计算量不应太大，并且不因方程阶次升高而增加太多容易分析系统各主要参数对系统运动规律的影响容易分析系统各主要参数对系统运动规律的影响借助于图表或曲线可以直观地表示出系统的运动特征借助于图表或曲线可以直观地表示出系统的运动特征时域分析法需要解决的问题时域分析法需要解决的问题：判断系统是否稳定判断系统是否稳定 系统在输入信号作用下，最终达到稳定时响应是否快速、平稳系统在输入信号作用下，最终达到稳定时响应是否快速、平稳控制是否准确控制是否准确 典型输入信号典型输入信号 通常是用控制系统的响应来分析系统的性能。控制系统的通常是用控制系统的响应来分析系统的性能。控制系统的响应是由系统本身的响应是

5、由系统本身的结构参数、初始状态结构参数、初始状态和和输入信号的形输入信号的形式式所决定的。对初始状态可以作统一的规定，如规定为零所决定的。对初始状态可以作统一的规定，如规定为零初始状态。如再将输入信号规定为统一的典型形式，初始状态。如再将输入信号规定为统一的典型形式， 则则系统的响应将由系统本身的结构、系统的响应将由系统本身的结构、 参数来确定，参数来确定， 因而更因而更便于对各种系统进行比较和研究。便于对各种系统进行比较和研究。 用于时域分析的典型用于时域分析的典型输入信号有阶跃函数、单位脉冲函数、输入信号有阶跃函数、单位脉冲函数、 斜坡函数和抛物斜坡函数和抛物线函数等。线函数等。 正弦输入

6、信号常用于在频域上分析线性定常正弦输入信号常用于在频域上分析线性定常系统的性能。系统的性能。 4.1 典型输入信号典型输入信号 系统输出响应系统输出响应 C(t)=L-1 (S)R(S)，即：即：系统的时间响应不仅取决于系统本身的结构、参数，系统的时间响应不仅取决于系统本身的结构、参数，而且与系统的输入信号有关，实际控制系统的输入具而且与系统的输入信号有关，实际控制系统的输入具有多样性。有多样性。设定设定典型输入信号典型输入信号目的：在分析、设计自动控制系统目的：在分析、设计自动控制系统时，对不同的系统性能有比较的基础。时，对不同的系统性能有比较的基础。特点特点： 能反映系统的实际工作情况能反

7、映系统的实际工作情况 可以用简单的数学形式来描述可以用简单的数学形式来描述 信号易于通过实验产生信号易于通过实验产生 典型输入信号有以下典型输入信号有以下5种：种：1. 阶跃函数阶跃函数定义定义：r(t)=R t 00 t0式中，式中，R为阶跃函数的阶跃值（常数）为阶跃函数的阶跃值（常数）单位阶跃函数拉氏变换式为：单位阶跃函数拉氏变换式为： R(S)=Lr(t)=1/S在实际系统中，等同于一个大小不变的作用在在实际系统中，等同于一个大小不变的作用在t=0时刻时刻突然施加于系统（如电源电压突然波动）。突然施加于系统（如电源电压突然波动）。在控制系统分析和设计中，阶跃函数是应用最多的一在控制系统分

8、析和设计中，阶跃函数是应用最多的一种评价系统动态性能的典型外作用。种评价系统动态性能的典型外作用。r(t)0Rt 2. 斜坡函数（等速度函数）斜坡函数（等速度函数）定义定义：r(t)=Rt t 00 t0单位斜坡函数拉氏变换式为：单位斜坡函数拉氏变换式为： 1 S2R(S)=Lr(t)=在实际系统中等同于一个随时间以恒定速度增长的作在实际系统中等同于一个随时间以恒定速度增长的作用施加于系统（如跟踪通讯卫星的天线控制系统）。用施加于系统（如跟踪通讯卫星的天线控制系统）。3. 抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）定义定义：r(t)=Rt 2 t 00 t0 1 2单位加速度函数拉氏

9、变换式为：单位加速度函数拉氏变换式为： 1 S3R(S)=Lr(t)=在实际系统中等同于一个随时间以等加速度变化的作在实际系统中等同于一个随时间以等加速度变化的作用施加于系统（如宇宙飞船控制系统）。用施加于系统（如宇宙飞船控制系统）。r(t)0tr(t)t01R2 4. 单位脉冲函数（冲击函数）单位脉冲函数（冲击函数）定义定义：r(t)= (t) = t=00 t 0 (t)dt=1 单位脉冲函数拉氏变换式为：单位脉冲函数拉氏变换式为：R(S)=L (t)=1说明说明：单位脉冲函数只是数学上的概念：单位脉冲函数只是数学上的概念5. 正弦信号函数正弦信号函数定义定义： r(t)=ASin t正弦

10、函数的拉氏变换为：正弦函数的拉氏变换为： A S2+ 2R(S)=Lr(t)=r(t)0t 说明说明： 同一个系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响同一个系统中，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的。应是不同的。 对于线性控制系统而言，它们所表征的系统性能是一对于线性控制系统而言，它们所表征的系统性能是一致的。致的。 通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可在一个通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。 在典型输入信号作用的基础上设计出的系统对实际输在典型输入信号作用的基础上设计出的系

11、统对实际输入信号的响应特性能够满足要求。入信号的响应特性能够满足要求。 动态过程与稳态过程动态过程与稳态过程 在典型输入信号作用下， 任何一个控制系统的时间响应都可看成由动态过程和稳态过程两部分组成。 1) 动态过程 动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下， 输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 4.2 控制系统的性能指标控制系统的性能指标2) 稳态过程 稳态过程是指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，输出量的表现形式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度， 提供系统有关稳态误差的信息。稳态过程用稳态性能描述。 动态性能与稳态性能动态性能

12、与稳态性能 稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态过程收敛时， 研究系统的动态性能才有意义。 1) 动态性能 通常, 在阶跃函数作用下测定或计算控制系统的动态性能。一般认为，阶跃输入对控制系统来说是最严峻的工作状态。 如果控制系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么控制系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。 描述稳定的控制系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化情况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定控制系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零，即零初始状态。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。对

13、于单位阶跃响应c(t)，其动态性能指标通常描述如下： 单位阶跃响应 c(t)c()0.9c()0.1c()0trtpts误差带稳态误差(t)t 上升时间tr：指响应从终值10上升到终值90所需的时间；对于有振荡的系统，为了计算的方便，亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快。 峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。 %100)()()(%cctcp调节时间ts： 指响应到达并保持在终值5%或2%内所需的最短时间。 超调量%： 指响应的最大峰值c(tp)与终值c()的差与终值c()比的百分数， 即若若c(tp)c

14、()， 则响应无超调。则响应无超调。 超调量亦超调量亦称为最大超调量，称为最大超调量， 或百分比超调量。或百分比超调量。 2) 稳态性能 稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标， 通常在阶跃函数、 斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。 若时间趋于无穷时， 系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数， 则系统存在稳态误差。 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统, 典型闭环控制一阶系统如图所示.其中 是积分环节，T为它的时间常数。 一阶系统的结构图C(s)-R(s)Ts1Ts14.3一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 系统的传递函数为 )(

15、11)().()(sRTssRssC)()()()(trtctdtdcT11)()()(TssRsCs 在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。一、单位阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,其拉氏变换为 ,则输出的拉氏变换为 ssR1)(TsssTssC1111.11)( 对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为 上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳态分量， 为瞬态分量，当t时 ，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会超过稳态值。由于该响应

16、曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示。TtetC1)()0( tTte 一阶惯性环节的单位阶跃响应 一阶惯性环节在单位阶跃输入下的响应曲线如图 所示。 由此可以得出如下结论： (1)一阶惯性系统总是稳定的，无振荡； (2)经过时间T，曲线上升到0.632的高度，反过来，用实验的方法测出响应曲线达到0.632高度点所用的时间，即是惯性环节的时间常数T； 一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线 63.2%A斜率B0.6320tT2T3T4T5Tc(t)T1c(t)e t/T86.5%95%98.2%99.3% (3)经过时间3T4T，响应曲线已达稳态值的95%98，可

17、以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间ts=(34)T； (4) ， 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。Tdttdct1|)(0 二、一阶系统的单位斜坡响应 当r(t)=t时， 有 TsTsTssTssRsGsCssR/11111)()()(1222对上式进行拉氏反变换， 得 c(t)=t-T+Te-t/T t0 一阶系统的单位斜坡响应曲线tc(t)0r(t) te() TTtTTttc/e)( 由式可求出其响应曲线如图 所示。 其误差为 e(t) =r(t)-c(t) =t-t-T+Te-t/T =T(1-e-t/T) 当时间t时， e()=T, 故当输入为单位斜坡函数时，一阶惯

18、性环节的稳态误差为T。显然，时间常数T越小，该环节稳态误差越小。 二阶系统的典型传递函数为2222)()()(nnnsssRsCsG式中， 为阻尼比； n为无阻尼自然振荡频率。 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统总包含两个储能元件，能量在两个元件之间交换，从而引起系统具有往复的振荡趋势。当阻尼不够充分大时， 系统呈现出振荡的特性，这样的二阶系统也称为二阶振荡环节。 4.4 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 若令s2+2ns+2n=0(称为系统特征方程), 则两个特征根（也称极点）为122, 1nns（ 3 - 13） 分析式（ 3 - 13）可知， 当取值不同时，

19、两个特征根的类型也不一样。 二阶系统的典型传递函数亦可写成如下形式:121)()()(22TssTsRsCsG其中: nT1 1. 二阶系统的单位阶跃响应 1) 欠阻尼 当01时，称为欠阻尼。此时， 由式（3-13）得，二阶系统的极点一定是一对共扼复根，其传递函数可表示为 )()()()(2dndnnjsjssRsCsG式中， 称为阻尼振荡频率。 21nd 当r(t)=1(t)时， 有22222)()(11)()()()(1)(dnndnndndnnsssssjsjssRsGsCssR 对上式进行拉氏反变换， 得0)1arctansin(11)(0)sincos1(11)(0sin1cos1)

20、(22222ttetctttetcttetetcdtddtdtdtnnnn即 或 由式可知， 当01 时，称为过阻尼。此时，二阶系统的极点是两个负实根，其传递函数可表示为)1)(1()()()(222nnnnnsssRsCsG当r(t)=1(t)时， 有ssR1)( 则 0) 11(21) 11(211)(1) 11(211) 11(2111)1)(1()()1(22)1(2222222222222teetcsssssssCttnnnnnnnnnnn对上式进行拉氏反变换， 得 (3 - 16) 过阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线 10c(t)t 零阻尼 当=0时，称为零阻尼。此时，二阶系统的极点为

21、一对共扼虚根，其传递函数可表示为222)(nnssG当r(t)=1(t)时， 有R(s)= , 则s12222211)()()(nnnssssssRsGsC 对上式进行拉氏反变换， 可得 c(t)=1-cosnt t0 其响应曲线如图3-10所示，系统为无阻尼等幅振荡。该种情况实际系统不能用。 图 3 - 10 零阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线 01c(t)t2 负阻尼 当1 时， 其极点为两个负实数， 利用部分分式展开， 可将传递函数分解成两个一阶惯性环节的叠加。 因此， 研究二阶系统最重要的是研究 00, 031213022aaaaaaaa。 【例2】 设某系统特征方程为s4+8s3+17s

22、2+16s+5=0试判别其稳定性。 解:用劳斯-赫尔维茨稳定性判据判别, a4=1，a3=8，a2=17，a1=16，a0=5均大于零，且有：517100168005171001684 1=80 2=817-161=1200 3 =81716-16116-858 =2176-256-320=16000 4=53=516000 所以， 此系统是稳定的。 【例3】设某单位反馈控制系统如图 3 - 22所示，试计算K为何值时系统稳定。 图 3 - 22 例3系统方框图R(s)2)(1(sssKC(s) 解 系统的闭环传递函数为KssKsGB)2)(1()(其特征方程为 s3+3s2+2s+K=0 根

23、据劳斯-赫尔维茨稳定性判据， 系统稳定的充要条件有： (1） a3=1， a2=3， a1=2， a0=K必须均大于零， 所以有K0。 (2） KK30021033 1=30 2=32-K0 K0所以当 0K0， T0， 问放大器增益减少多少方能使系统单位阶跃响应的最大超调由75%下降到25%。 3 - 16 系统的结构如图 3 - 31所示， 其中Gc(s)=s+1, 试求满足0.707时的值。 图 3 - 31 习题 3 - 16图 Gc(s)4(25ssR(s)C(s) 3-17 闭环系统的动态结构如图 3 - 32所示，求当%20%，ts=1.8 s(5%)时，系统的参数K和的值。 图

24、 3 - 32 习题 3 - 17图 21sR(s)C(s)Ks 图 3 - 33 习题 3 - 18图 R(s)C(s)s) 1(16ss 3-18 闭环系统的结构如图 3 - 33所示。 若要求=0.707， 则参数应该如何选择？ 3-19 试求如图 3 - 34所示控制系统的参数为以下两种情况时的阻尼比， 无阻尼自然振荡频率n， 以及单位阶跃响应的过渡过程的超调量%、 峰值时间tp: (1) Km=10 s-1, Tm=0.1 s; (2) Km =20 s-1, Tm =0.1 s。 图 3 - 34 习题 3 - 19图 R(s)C(s) 1(mmTsKE 3-20 证明对如图3-3

25、5所示的系统， C(s)/R(s)在右半s平面上有零点，并求r(t)为单位阶跃时的c(t)。 图 3 - 35 习题 3 - 20图 26sR(s)14s C(s) 图 3 - 36 习题 3 - 21图 1 KnsR(s)C(s) 1(10ss 3 - 21 设一单位反馈系统的开环传递函数为10/s(s+1)，该系统的阻尼比为0.157，无阻尼自然频率为3.16 rad/s， 现将系统改变为如图3-36所示，使阻尼比为0.5，试确定Kn值。 3-22 二阶系统在s平面中有一对复数共轭极点，试在s平面中画出与下列指标相应的极点可能分布的区域: (1) 0.707, n2 rad/s； (2) 00.707， n 2 rad/s； (3) 00.5， 2 rad/s n 4 rad/s； (4) 0.50.707， n 2 rad/s。 3-23 闭环系统的特征方程如下， 试用代数判据判断系统的稳定性。 (1) s3+20s2+9s+100=0 (2) s4+2s3+8s2+4s+3=0 (3) s5+