第5章 虚功原理与结构位移计算.

1、5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移 5-2 结构位移计算的一般公式5-3 荷载作用下的位移计算5-4 荷载作用下的位移计算举例5-5 图乘法5-6 温度作用时的位移计算5-8 变形体的虚功原理5-9 互等定理5-10 小结第5章 虚功原理与结构位移计算5-7 用求解器进行位移计算(略)5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移位移产生的主要原因位移产生的主要原因（1）荷载作用）荷载作用（2）温度变化和材料胀缩）温度变化和材料胀缩（3）支座沉降和制造误差）支座沉降和制造误差刚体体系位移，无应变刚体体系位移，无应变变形体体系位移，有应变变形体体系位移，有应变5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移虚力原理

2、虚力原理虚设力系求位移虚设力系求位移 图图(a)中的静定梁，支中的静定梁，支座座A向上移动已知距离向上移动已知距离c1，拟求拟求B点的竖向位移点的竖向位移。虚设力系如图虚设力系如图(b)abF1R虚功方程为虚功方程为011R1Fc1cab求得求得5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移支座移动时静定结构的位移计算支座移动时静定结构的位移计算图图(a)中支座中支座A有给定的竖向位移有给定的竖向位移cA，拟求：拟求：（1）C点的竖向位移点的竖向位移C （2）杆）杆CD的转角的转角（1）求）求C，虚设力系如图，虚设力系如图(a)虚功方程为虚功方程为0311ACcACc31求得求得（2）求）求，虚设力系如

3、图虚设力系如图(b)虚功方程为虚功方程为0211Acl求得求得Acl 215-1 应用虚功原理求刚体体系的位移设支座设支座K有给定位移有给定位移cK，静定结构的位移计算步骤为，静定结构的位移计算步骤为（1）沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出相应的）沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载，求出相应的（2）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程）令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程（3）由虚功方程解出拟求位移）由虚功方程解出拟求位移KFR01RKKcFKKcFR若为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。若为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。1. 局部变形时静定结构的

4、位移计算举例局部变形时静定结构的位移计算举例 例例5-1 图图(a)所示悬臂梁在所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角处两个相邻截面有相对转角。试求点的竖向位移试求点的竖向位移。解：实际位移状态可改用图解：实际位移状态可改用图(b)表示表示虚设力系如图虚设力系如图(c)虚功方程为虚功方程为01MM解得解得5-2 结构位移计算的一般公式5-2 结构位移计算的一般公式例例5-2 在图中，截面在图中，截面B有相对剪切位移有相对剪切位移，试求，试求A点与杆轴成点与杆轴成 角的斜向位移分量角的斜向位移分量。解：图解：图(a)的实际位移状态可改用的实际位移状态可改用 图图(b)来表示。来表示。虚设力系如图

5、虚设力系如图(c) sinQF虚功方程为虚功方程为 01QF解得解得QF5-2 结构位移计算的一般公式2. 局部变形时的位移公式局部变形时的位移公式 图图(a)所示悬臂梁所示悬臂梁B点附近的微点附近的微段有局部变形，其他部分没有变形。段有局部变形，其他部分没有变形。微段微段ds两端截面的两端截面的相对位移如图相对位移如图(b)sssdddddd0虚设力系如图虚设力系如图(c)虚功方程为虚功方程为sFFMFFMd)(ddddd0QNQN或或局部变形时的位移公式局部变形时的位移公式5-2 结构位移计算的一般公式3. 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 根据叠加原理根据叠加原理sFFMd)

6、(d0QN如果结构有多个杆件如果结构有多个杆件sFFMd)(0QN在支座处还有给定位移在支座处还有给定位移cKKKcFsFFMR0QNd)(式中：弯曲变形式中：弯曲变形对位移的影响对位移的影响 轴向变形轴向变形对位移的影响对位移的影响 剪切变形剪切变形对位移的影响对位移的影响 支座位移支座位移cK对位移的影响对位移的影响KKccFsFsFsMRQNdddGAFkEAFEIMQPNPPsGAFFksEAFFsEIMMdddQPQNPNP荷载作用下弹性位移的一般公式为荷载作用下弹性位移的一般公式为梁和刚架梁和刚架sEIMMdP桁架桁架EAlFFsEAFFNPNNPNdEAlFFsEIMMNPNPd

7、桁梁混合结桁梁混合结构构sEAFFsEIMMddNPNP拱拱5-3 荷载作用下的位移计算 例例5-3 试求图试求图(a)所示悬臂梁在所示悬臂梁在A端的竖向位移，并端的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。实际荷载作用下的内力如图实际荷载作用下的内力如图(a)虚设单位荷载作用下的内力如图虚设单位荷载作用下的内力如图(b)EIqlsEIMM8d4PMGAqlsGAFFk2QPQQ6 . 0d GAqlEIql24QM6 . 08总位移总位移2MQ8 . 4GAlEI设设=1/3，E/G=8/3 I/A=h2/122MQ)

8、(07. 1lh4121%07. 1101MQMQlhlh5-4 荷载作用下的位移计算举例5-4 荷载作用下的位移计算举例例例5-4 图图(a)所示为一屋架，图所示为一屋架，图 (b)是屋架的计是屋架的计 算简图。试求顶点算简图。试求顶点C的竖向位移。的竖向位移。解（解（1）求）求FNP如图如图(c)（2）求）求 如图如图(d)NF（3）求）求CEAlFFCNPN代入数据求得代入数据求得)(cm66. 1C5-4 荷载作用下的位移计算举例例例5-5 图图(a)所示为一等截面圆弧形曲杆所示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧，截面为矩形，圆弧 AB的圆心角为的圆心角为，半径为，半径为R。试

9、求。试求B点的竖向位移点的竖向位移。解：虚设荷载如图解：虚设荷载如图(b)图图(a)中中cossin21QPNP2PqxFqxFqxM图图(b)中中cossinQNFFxMABABABGAkqRsGAFkFEAqRsEAFFEIqRsEIMM)cos1 (31d)cos31cos32(d)cos31cos32(2d32QQPQ32NNPN34PM90GAkqREAqREIqR33232Q2N4M设设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/126001MN3751MQ5-4 荷载作用下的位移计算举例例例5-6 试求图试求图(a)所示简支梁两端截面所示简支梁两端截面A、B的相对转角的相对转角

10、。解：虚设力系如图解：虚设力系如图(b)实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)0(1lxM)()1 ()0(PPPPlxalxaFMaxxlbFM)(2EIabFdsEIMMPP图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图，图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图，截面抗弯刚度截面抗弯刚度EI为一常数。为一常数。tanxMi图中图中AB杆件为直杆，杆件为直杆，Mi图是直线图，则图是直线图，则BAKBAKixxMxMMdtand0dAxxMxBAK01d1dAyEIxMMEIxEIMMKiKi可得可得00tandAyAxxMMBAKi注意：注意：y

11、0应取自直线图中；应取自直线图中； 面积面积A与标距与标距y0在杆的同一边时，乘积在杆的同一边时，乘积A y0取正号。取正号。5-5 图乘法5-5 图乘法例例5-7 试用图乘法计算图试用图乘法计算图(a)所示简支梁所示简支梁B端转角端转角B。解：荷载作用下的解：荷载作用下的MP图如图图如图(a) 虚设单位力偶作用下的虚设单位力偶作用下的 如图如图(b)M)(241d30PEIqlAyEIsEIMMB5-5 图乘法例例5-8 试求图试求图(a)所示悬臂梁中点所示悬臂梁中点C的挠度的挠度C。解：解：MP图和图和 如图如图(a)、 (b)所示所示MM图中三角形面积为图中三角形面积为822212lll

12、AMP图中相应的标距为图中相应的标距为lFyP065如果计算如果计算MP图面积及图面积及 图上相应的标矩，如何考虑？图上相应的标矩，如何考虑？M)(48513P0EIlFAyEIC求得求得5-5 图乘法例例5-9 试求图试求图(a)所示刚架结点所示刚架结点B的水平位移的水平位移。各杆截面为矩形。各杆截面为矩形 bh，惯性矩相等，只考虑弯曲变形。，惯性矩相等，只考虑弯曲变形。解：作解：作MP图和图和 图，如图图，如图(b)、 (c)所示所示MMP图的面积分为图的面积分为A1、A2、A3三块计算三块计算1244333231qlAqlAqlAM图上相应的标矩为图上相应的标矩为23232321lyly

13、ly求得求得)(834EIql5-5 图乘法例例5-10 试分析例试分析例5-9所示刚架轴向变形对所示刚架轴向变形对B点水平位移的影响。点水平位移的影响。解：作解：作FNP图和图和 图如图图如图(a)、 (b)所示所示NF)(2d2NPNNPNNEAqllEAFFsEAFF由例由例5-9求得求得EIql834M可得可得222MN9134lhAlIh/l=1/10时时9001MN如图如图(a)：设杆件的上边缘温度上升：设杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上，下边缘上 升升t2，沿杆件截面厚度为线性分布，沿杆件截面厚度为线性分布， 为材料的线膨胀系数。为材料的线膨胀系数。上下边缘的温差上下边缘的温差

14、12ttt0t htdsdhththt12210由图由图(b)，杆件的轴线温度，杆件的轴线温度shtMstFdd0N得得若若t0、t、h沿每一杆长为常数则沿每一杆长为常数则sMhtsFtddN05-6 温度作用时的位移计算5-6 温度作用时的位移计算例例5-11 试求图试求图(a)所示刚架所示刚架C点的竖向位移点的竖向位移C。各杆截面为矩形，。各杆截面为矩形， 截面高度截面高度h=60cm，=0.00001-1。解：虚设力系作解：虚设力系作 图和图和 图，如图图，如图(b)、 (c)NFMC50tC10t)31 (5ddN0haasFtsMhtC得得)(cm93. 0C则则设变形体在力系作用下

15、处于平衡状态，设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作外虚功则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内力虚功上所作的内力虚功Wi。即。即iWW 力系平衡条件力系平衡条件图图(a)所示直杆处于平衡状态所示直杆处于平衡状态图图(b)所示微段隔离体应满足平衡条件所示微段隔离体应满足平衡条件0dd0dd0ddQQNxFMxqFxpF5-8 变形体的虚功原理5-8 变形体的虚功原理变形协调条件变形协调条件微段微段dx的三个应变分量如

16、图的三个应变分量如图(b)，可得，可得 直杆直杆AB的位移和变形如图的位移和变形如图(a)，三个位移分量：截面的角位，三个位移分量：截面的角位移移、截面形心的轴向位移、截面形心的轴向位移u和横和横向位移向位移w。杆轴切线的角位移为。杆轴切线的角位移为xWddxWxudddd0轴线的线应变轴线的线应变截面平均切应变截面平均切应变5-8 变形体的虚功原理外力在位移上所作的虚功为外力在位移上所作的虚功为BAAAAAAABBBBBBxqwpuwFuFMwFuFMWd)()()(QNQN微段微段dx两侧面的应力合力在变形上作的内虚功为两侧面的应力合力在变形上作的内虚功为xFxFMdWiddd0QN整个变

17、形体的内虚功为整个变形体的内虚功为)ddd(0QNxFxFMWBAi变形体虚功方程为变形体虚功方程为)ddd(d)()()(0QNQNQNxFxFMxqwpuwFuFMwFuFMBABAAAAAAABBBBBB变形体虚功方程变形体虚功方程5-8 变形体的虚功原理变形体虚功方程的两种应用变形体虚功方程的两种应用（1）变形体虚力方程：虚设平衡力系，则虚功方程可写为）变形体虚力方程：虚设平衡力系，则虚功方程可写为若杆件上有集中荷载作用，则变形体虚功方程为若杆件上有集中荷载作用，则变形体虚功方程为)ddd(d)(0QNPQNxFxFMFsqwpuwFuFMBABABAsFFMcFFBAKK)d(0*Q

18、*N*R*P加加*号的量表示虚设量号的量表示虚设量（2）变形体虚位移方程：虚设变形形态，则虚功方程可写为）变形体虚位移方程：虚设变形形态，则虚功方程可写为sFFMcFFBAKK)d(*0Q*N*R*P5-8 变形体的虚功原理单位支座位移法单位支座位移法 结构处于某个平衡受力状态，已知荷载结构处于某个平衡受力状态，已知荷载FP和各杆内力和各杆内力M、FN、FQ，拟求某个支座反力（或约束反力），拟求某个支座反力（或约束反力）FR1。虚设与虚设与FR1相应的单位支座位移相应的单位支座位移 代入虚位移方程得代入虚位移方程得1*1c*1PP*01Q*1N*11R)d(FsFFMFBA若为静定结构，当虚设

19、单位支座位移时，虚设应变为零，则若为静定结构，当虚设单位支座位移时，虚设应变为零，则*1PP1RFF应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。应用条件：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比。 结构变形很小，不影响力的作用。结构变形很小，不影响力的作用。1. 功的互等定理功的互等定理 状态状态I的力系在状态的力系在状态的位移和变形的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为上作虚功，可写出虚功方程为 sGAFFkEIMMEAFFFWd)(QQNNP12 状态状态 的力系在状态的力系在状态I的位移和变的位移和变形上作虚功，可写出虚功方程为形上作虚功，可写出虚功方程为 sGAFFkEIMMEAFFFWd)(QQNNP21显然显然 PPFF即即2112WW5-9 互等定理5-10 小结2. 位移互等定理位移互等定理如图如图(a)、(b)，由功的互等定理，由功的互等定理212P121PFF令令ijjijFP或或ijjijFPij称为位移影响系数称为位移影响系