相似变换和对角化

1、5.3 相似矩阵上页下页铃结束返回补充例题首页v相似矩阵与相似变换 设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使P1APB则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似. 对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. v相似矩阵的作用 若有可逆矩阵P使P1AP为对角阵 则AkPkP1 (A)P()P1.上页下页铃结束返回首页v矩阵的对角化 一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P 使P1AP为对角阵？ 设P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2 n)则APP 即 A(p1 p2 pn)(p1 p2 pn)diag(1 2 n) (1p1 2p2

2、 n pn) 于是有 Apii pi (i1 2 n). 可见i是A的特征值 而P的列向量pi就是A的对应于特征值i的特征向量. 反之 由上节知A恰好有n个特征值 并可对应地求得 n 个特征向量即可构成矩阵P 使APP， 下页即一定存在P使得APP。那么，我们是否已经完成了对角化呢？上页下页铃结束返回首页v定理4 n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. v推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似. v矩阵的对角化 一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P 使P1AP为对角阵？ 下页上页下页铃结束返回首页 例1 设 问x为何值

3、时 矩阵A能对角化？00111100 xA 解 ) 1() 1(011110|2xEA 得11 231. 矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根231 有2个线性无关的特征向量 即方程(AE)x0有2个线性无关的解 亦即系数矩阵AE的秩R(AE)1. 00010010110101101xxEAr 所以当x1时 R(AE)1 此时矩阵A能对角化. 因为 结束5.4 对称矩阵的对角化 上页下页铃结束返回首页 一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都能对角化 但实对称矩阵（厄密矩阵）都是可以对角化的. 上页下页铃结束返回首页v定理1 对称阵的特征值为实数

4、. 设复数为对称阵A的特征值 复向量x为对应的特征向量 即Axx x0. 证明 显然有 xxxxx)()(AAA. 于是有 xxxxxxxxTTTTAA)()( xxxxxxxxxxTTTTTTAAA)()()(. 两式相减 得 0)(xxT 但因x0 所以 0|121niiniiiTxxxxx 故0 即 这就说明是实数. 这就说明是实数. 下页上页下页铃结束返回首页v定理1 对称阵的特征值为实数. 显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组(AiE)x0是实系数方程组 由|AiE|0知必有实的基础解系 所以对应的特征向量可以取实向量. 下页上页下页铃结束返回首页v定理1 对称阵的特征值为实数.

5、 v定理2 设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特征向量. 若12是 则p1与p2正交. 证明 已知Ap11p1 Ap22p2 12. 因为A对称 故 p1TA p1TAT (Ap1)T (1p1)T 1p1T 于是 1p1Tp2 p1TAp2 p1T(2p2) 2p1Tp2 即 (12)p1Tp20.但12 即p1与p2正交. 故p1Tp20 下页上页下页铃结束返回首页v定理1 对称阵的特征值为实数. v定理2 设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特征向量. 若12是 则p1与p2正交. v定理3 设A为n阶对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的

6、n个特征值为对角元的对角矩阵. v推论 设A为n阶对称阵 是A的特征方程的k重根 则矩阵AE的秩R(AE)nk 从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量. 下页上页下页铃结束返回首页v矩阵对角化的步骤 (1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s 它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn). (2)对每个ki重特征值i 求方程(AE)x0的基础解系 得ki个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化 得ki个两两正交的单位特征向量. 因k1k2 ksn 故总共可得n个两两正交的单位特征向量. (3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P 便有P1APPTAP. 注意中对角元的排

7、列次序应与P中列向量的排列次序相对应. 下页上页下页铃结束返回首页 例1 设 求正交阵 P 使P1AP为对角阵. 011101110A 解 由|AE|(1)2(2) 将 1单位化 得 T) 1 , 1 , 1(311p. 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T. 将 2 3正交化、单位化得 T) 0 , 1 , 1(212pT) 2 , 1 , 1 (613p. 得特征值12 231. 得基础解系 1(1 1 1)T. 对应12 解方程(A2E)x0 对应231 解方程 (AE)x0 得基础解系 并且P1APdiag(2 1 1). 于是P(p1 p2 p3)为正交阵 下页上页下页铃结束返回首

8、页提示 例2 设 求An. 2112A 因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵 解 从而AnPnP1. 于是APP1 使P1AP. 因为|AE|(1)(3) 对应11 解方程(AE)x0 对应13 解方程(A3E)x0 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使 P1AP 从而 或APP1 AnPnP1 所以A的特征值为11 23. 得p1(1 1)T. 得p2(1 1)T.下页上页下页铃结束返回首页提示 nnnnn313131312111113001111121 例2 设 求An. 2112A 解 因为|AE|(1)(3) 对应11 解方程(AE)x0 对应13 解方程(A3E)x0P1AP 从而 或APP1 AnPnP1 所以A的特征值为11 23. 得p1(1 1)T