湖南衡阳市2015届高三第二次联考数学(理)试题 扫描版含答案

1、 2015届高中毕业班联考（二）理科数学参考答案8. D 设底面边长为X,球半径为r,则4=,得r2=,又由题意得r2=x2+(x)2,解得x=1,故三棱柱的侧面积为6.9. A 试题分析： ，所以f(x)单调递增，且为奇函数.由题意得即：.作出表示的区域如图所示：.设，由得.结合图形可知，即. 10. C 的通项Tr+1=(x2)5-r(x-3)r=x10-5r,令10-5r=0得r=2,则常数项为×=2,f(x)是以2为周期的偶函数.因为区间-1,3是两个周期,所以在区间-1,3内函数g(x)=f(x)-kx-2k有4个零点可转化为f(x)与r(x)=kx+2k有四个交点.当k=

2、0时,两函数图象只有两个交点,不合题意,当k0时,因为函数r(x)的图象恒过点(-2,0),则若使两函数图象有四个交点,必有0<r(3)1,解得0<k二.填空题:11. 2 由题意得，的普通方程：，的普通方程：， 因为曲线的极坐标方程是，化为直角坐标方程为 因为与分曲线所成长度相等的四段弧，所以直线与圆 相交截得的弦长所对的圆心角是90°，则圆心到直线的距离，即,即 ，即不妨令，所以故答案为：12. 15 由题意得，ACQAPC=AQAP .设AQ=x,75=3x2,故x=5,AP=3x=1513.利用均值不等式可求得：314. 2 i15. 16. (1) (0，2)2

3、分 (2)3分(1)函数f（x）=-x2+mx+1是区间-1，1上的平均值函数，关于x的方程-x2+mx+1=在（-1，1）内有实数根由-x2+mx+1=x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1又1（-1，1）x=m-1必为均值点，即-1m-110m2所求实数m的取值范围是0m2（2）解：由题知lnx0=猜想：lnx0，证明如下：，令t=1，原式等价于lnt2t-,2lnt-t+<0令h（t）=2lnt-t+，则h（t）=，h（t）=2lnt-t+h（1）=0，得证lnx0三、解答题17. 解：（1）由已知条件，得 又 又当时，有 曲线段的解析式为 (2)如图，1分作轴于点，在中，

4、 在中， 当时，即时：平行四边形面积最大值为 18. 解：（I）设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票。甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，6分 (II)所含“获奖”和“待定”票数之和的值为0，1，2，3. ; ; . 8分因此的分布列为X0123P10分所以的数学期望为 . 12分19. (1)证：PA平面ABC，BC在平面ABC内，PABC 1分又AD平面PBC，BC在平面ABC内 ，ADBC2分PA、AD在平面PAB内且相交于A，BC平

5、面PAB3分而PB在平面PAB内，BCPB4分(2)解：由(1)知BC平面PAB，AB在平面PAB内，BCABAD平面PBC，其垂足D落在直线PB上，ADPB 设PA = x，则6分以为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，Q(1，1，0)，P(0，0，)，C(2，2，0)BxPACDQzy设平面PBQ的法向量为n = (x，y，z)，则8分在RtABD中，AB = 2，则BD = 1 10分由已知是平面PBC的法向量二面角QPBC的余弦值为 12分20解：（1）（法一）点在抛物线上， 2分设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由 得， ，由，得，则直线方程为两直线、间

6、的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，有，解得或（舍去）直线的方程为，抛物线的方程为6分（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为2分设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，的最小值为，由，解得因此，直线的方程为，抛物线的方程为6分（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由 得，设点、的坐标分别为、，则， 9分10分由 得， 12分因此，存在实数，使得成立，且13分21. 解：（1）由已知， ， ， （1分）由可得 （2分）将代入，得对任意，有，即,所以，是等差数列 （4分）设数列的公差为，由，得，（1分）所以， （2分）所以，（4分）由已知，当时，而也满足此式（5分）所以数

7、列、的通项公式为：， （6分）（3）由（2），得， （1分）则， （2分）不等式化为， （3分）（以下有两种解法）解法一：不等式化为， （4分）设，则对任意恒成立 （5分）当，即时，不满足条件当，即时，满足条件 当，即时，函数图像的对称轴为直线， 关于递减，只需，解得，故 （7分）综上可得，的取值范围是解法二：不等式化为对任意恒成立，即，（5分）设，任取、，且，则，故关于递减 （6分）又且，所以对任意恒成立，所以因此，实数的取值范围是 （7分）22. 解：（1）为奇函数，当时，则， 2分时， 的值域为 3分图a（2）函数的图象如图所示，当时，方程有三个实根；当或时，方程只有一个实根；当或时，方

8、程有两个实根（法一）：由，解得， 的值域为，只需研究函数在上的图象特征设，令，得，当时，当时，图b又，即，由，得，的大致图象如图所示根据图象可知，当时，直线与函数的图像仅有一个交点，则函数在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、上，根据图像，方程有两个交点，因此函数有两个零点 5分类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、这三个零点 6分当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点 7分当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点 8分当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点 9分（法二）： ，令，得， ，当时，当时，当时，取得极大值 图c（

9、）当的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数无零点 （）当的极大值，即时，函数的图像如图所示，函数有零点由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点图d（）当的极大值且，图e即时，在上单调递增，因为，函数的图像如图所示，函数在存在唯一零点，其中由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当的极大值且，即时：图f由，得，由，得，根据法一中的证明有 （）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点图g（）当时，函数的图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中由图可知方程有两个不等的实根，因此函数有两个零点 （）当时，图h函数的图像如图所示，函数在区间有两个零点，分别是和，其中由图可知方程有一个实根，方程 有两个非的不等实根，因此函数有三个零点 （）当时，函数的图像如图