渗流数学模型.

1、 n建立数学模型的原则建立数学模型的原则n运动方程运动方程n状态方程状态方程n质量守恒方程质量守恒方程n数学模型的初边值条件数学模型的初边值条件第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则n建立数学模型的基础建立数学模型的基础n油气渗流数学模型的一般结构油气渗流数学模型的一般结构n建立数学模型的步骤建立数学模型的步骤 二、油气渗流数学模型的一般结构二、油气渗流数学模型的一般结构(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。(2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。(

2、3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。(4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。(5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。学现象附加的方程。如物理化

3、学渗流中的扩散方程等）。(6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则三、建立数学模型的步骤三、建立数学模型的步骤1.确定建立模型的目的和要求确定建立模型的目的和要求n解决的问题解决的问题:压力压力P的分布速度的分布速度v的分布（包括求流的分布（包括求流量）量） 饱和度饱和度S的分布的分布 分界面移动规律。分界面移动规律。n自变量：空间和时间，自变量：空间和时间，(x,y,z)或或(r,z)和时间和时间tn因变量：压力因变量：压力P和速度和速度v；两相或多相流；两相或多相流S分布

4、分布n其它参数：地层物性参数其它参数：地层物性参数(如渗透率如渗透率K、孔隙度、孔隙度、弹、弹性压缩系数性压缩系数C、导压系数、导压系数等等)和流体的物理参数（如和流体的物理参数（如粘度粘度、密度、密度、体积系数体积系数B等等) 第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则2.2.研究各物理量的条件和状况研究各物理量的条件和状况n过程状况：是等温过程还是非等温过程；过程状况：是等温过程还是非等温过程；n系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝析系统；析系统；n相态状况：是单相还是多相甚至是混相；相态状况：是单相还是多相甚至是混相；n流态

5、状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。 第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则3.3.确定未知数和其它物理量之间的关系确定未知数和其它物理量之间的关系n运动方程：速度和压力梯度的关系运动方程：速度和压力梯度的关系n状态方程：物理参数和压力的关系状态方程：物理参数和压力的关系n连续性方程：渗流速度连续性方程：渗流速度v v和坐标及时间的关系或饱和度与和坐标及时间的关系或饱和度与坐标和时间的关系：坐标和时间的关系： n确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的

6、函数关系确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系（如能量转换方程、扩散方程等等）（如能量转换方程、扩散方程等等） d, ,diPvfA Bx第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则4.4.写出数学模型所需的综合微分方程写出数学模型所需的综合微分方程( (组组) )n用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中，用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中，最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程组。组。5.5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致根据量纲分析原则检查所建立的

7、数学模型量纲是否一致 6.6.确定数学模型的适定性确定数学模型的适定性: :解的存在、唯一、稳定性问题解的存在、唯一、稳定性问题 7.7.给出问题的边界条件和初始条件给出问题的边界条件和初始条件第一节第一节 建立数学模型的原则建立数学模型的原则 第二节第二节 运动方程运动方程渗流服从线性规律时，渗流速度为渗流服从线性规律时，渗流速度为: : LPKv其微分形式为：其微分形式为： dLdPKv将上式从均质地层的稳定渗流将上式从均质地层的稳定渗流推广到非均质地层的不稳定渗流推广到非均质地层的不稳定渗流 gradKvP 或写成：或写成： xyzKPvxKPvyKPvz 第三节第三节 状态方程状态方程

8、 n液体的状态方程液体的状态方程 n气体的状态方程气体的状态方程 n岩石的状态方程岩石的状态方程 渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程，渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程，由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状状态方程态方程”。 一、液体的状态方程一、液体的状态方程n液体具有压缩性，随着压力降低，体

9、液体具有压缩性，随着压力降低，体积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：n根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时液体质量液体质量M M不变不变, ,即即n微分上式得：微分上式得：n将将V VL L、d dV VL L代入代入(1)(1)式得：式得： d1dLLLVCVP LMV2LMdVd 1LdCdP第三节第三节 状态方程状态方程 n分离变量，分离变量，CL取常数，并设取常数，并设P=P0时，时，=0积分积分(4)式：式：n将将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精确性：确性：n

10、CL值是一个变量，它随温度和压力不同略有改变值是一个变量，它随温度和压力不同略有改变;在地下渗在地下渗流中，油气层温度大致不变，可把流中，油气层温度大致不变，可把CL值看成常数，数量级值看成常数，数量级在在10-4(1/MPa)左右。左右。n渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流力学过程的数学模型。力学过程的数学模型。 0()0eLCP P001()LCPP第三节第三节 状态方程状态方程 二、气体状态方程二、气体状态方程n理想气体理想气体(分子无体积、分子间无作分子无体积、分子间无作用力用力)状态方程为状态方程为n真实气体的状态方程

11、真实气体的状态方程PVnRTnRTZPV第三节第三节 状态方程状态方程 三、岩石的状态方程岩石的状态方程 n岩石的压缩性对渗流的影响：压力变化会引起孔隙大小岩石的压缩性对渗流的影响：压力变化会引起孔隙大小发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数；发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； 由于由于孔隙大小变化引起渗透率的变化孔隙大小变化引起渗透率的变化。n岩石的压缩性用压缩系数描述：岩石的压缩性用压缩系数描述：n分离变量，分离变量，Cf取常数，并设取常数，并设P=P0时，时， = 0积分积分 n不同岩石的压缩系数是不同的，一般在不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.510-4310-41/

12、MPa之间。之间。在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程 当压力变化当压力变化P时的孔隙度的改变量时的孔隙度的改变量 00()fCPPdPdPP1VVCfff第三节第三节 状态方程状态方程 第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n单相渗流的连续性方程单相渗流的连续性方程n两相渗流的连续性方程两相渗流的连续性方程 渗流过程必须遵循质量守恒定律渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。又称连续性原理）。即：在地层中任取一微小单元体即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇在单元体内若没有源和汇存在存在,那么

13、包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单单元体内质量应为常数。元体内质量应为常数。 ()2xxvdxvx()2yyvdyvy()2zzvdzvz一、单相渗流的连续性方程一、单相渗流的连续性方程n微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元，微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元，其中其中M点质量速度在各坐标上分量为点质量速度在各坐标

14、上分量为vx、vy、vz。第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 1.流入流出质量差流入流出质量差dt时间经时间经ab面流入的质量流量应为：面流入的质量流量应为：dt时间经时间经ab面流出的质量流量为：面流出的质量流量为：六面体在六面体在dt时间时间x方向流入流出的流量差为：方向流入流出的流量差为：()2xxvdxvdydzdtx()2xxvdxvdydzdtx()xvdxdydzdtx第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n同理，可求得沿同理，可求得沿y方向、方向、z方向流入流出的流量差分别为：方向流入流出的流量差分别为：nd dt t时间内六面体内流入与流出的总的质量流量差为：时间内六面

15、体内流入与流出的总的质量流量差为： dxdydzdtyvy)(dxdydzdtzvz)()()()yxzvvvdxdydzdtxyz第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 2.单元体内质量变化单元体内质量变化n经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果分质量的结果( (岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化弹性表现为液体密度的变化) )n六面体内的孔隙体积：六面体内的孔

16、隙体积： n流体质量：流体质量：n单位时间内流体质量变化率：单位时间内流体质量变化率：nd dt t时间流体质量总的变化为：时间流体质量总的变化为： dxdydzdxdydzdxdydzt )(dxdydzdtt )(第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n显然显然dt时间内六面体总的质量变化应等于六面体在时间内六面体总的质量变化应等于六面体在dt时间时间内流入与流出的质量差，即：内流入与流出的质量差，即： dxdydzdttdxdydzdtzvyvxvzyx)()()()(tzvyvxvzyx)()()()(0)()(vdivt第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 ()0t()0divv

17、第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 二、两相渗流的连续性方程二、两相渗流的连续性方程1油水两相渗流的连续性方程油水两相渗流的连续性方程 n假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发假设：两相都是不可压缩的液体，且彼此不互相溶解和发生化学作用，生化学作用，n取一个单元六面体取一个单元六面体dxdydz可对油水两相分别写出质量守恒可对油水两相分别写出质量守恒的连续性方程。的连续性方程。n对油相来说，在对油相来说，在dtdt时间内单元六面体流出流入的质量差为时间内单元六面体流出流入的质量差为()()()ooyooxoozvvvdxdydzdtxyz第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程

18、n油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内油相经过六面体之所以会发生质量变化，是因为六面体内油被水驱替所引起的结果。若在油被水驱替所引起的结果。若在t时刻六面单元体内油的饱时刻六面单元体内油的饱和度为和度为So，t+dt时刻油的饱和度为时刻油的饱和度为ndt时间内饱和度变化为时间内饱和度变化为n饱和度变化引起的油相质量变化为饱和度变化引起的油相质量变化为 ooSSdttoSdttooSdxdydzdtt 第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n根据质量守恒定律，根据质量守恒定律，(1)(1)、(2)(2)式应该相等式应该相等 n可以写为可以写为n对水相来讲，同样可以得出：对水相来讲

19、，同样可以得出： oyoxozovvvSxyztdiv()0ooSvtdiv()0wwSvt()()()o oyo oxo ozvvvdxdydzdtxyzooSdxdydzdtt 第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 2油、气两相渗流的连续性方程油、气两相渗流的连续性方程 n在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由在油、气两相渗流时，溶有气体的石油经过单元地层，由于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在于压力降低而分出气体，因此，油的质量发生变化，在dt时间内流入流出的质量差为：时间内流入流出的质量差为：n由于气体分离出来，在单元体内油被气相替代，因此，油由于气体分离出来

20、，在单元体内油被气相替代，因此，油相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间相饱和度也将发生变化，在单元体孔隙内油相质量随时间变化为：变化为： ()ogsgsodivv dxdydzdt()ogsgsoSdxdydzdtt第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两根据质量守恒定律，上面两式应该相等，得到油、气两相渗流时，油相的连续性方程：相渗流时，油相的连续性方程：n对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在对于气相应包括溶解气及已分离出的自由气，在dtdt时间时间内这两部分气体流过单元六面体地层的质量变化为：内这两部分气体流过单元六面体

21、地层的质量变化为：n自由气：自由气：n溶解气：溶解气： ()()0ogsgsoogsgsodivvSt()ggdivvdxdydzdt()gsodivv dxdydzdt第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 n气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气相通过单元地层，质量发生了变化必然使单位地层内的气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经气相饱和度发生变化，因而单元地层六面体内经dt时间的时间的质量变化为：质量变化为：n根据质量守恒定律，得根据质量守恒定律，得n或或()(1)gsogggsoogSSdxdydzdtSSdxdydzdttt()()(1)gggsogsoogdivv

22、divvdxdydzdtSSdxdydzdtt()()(1)0gggsogsogodivvdivvSSt第四节第四节 质量守恒方程质量守恒方程 第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n单相不可压缩液体稳定渗流数学模型单相不可压缩液体稳定渗流数学模型n弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型渗流数学模型 一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型一、单相不可压缩液体稳定渗流数学模型n假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及液体的压缩性液体的压缩性(不需要建立状态方程不需要建立状态

23、方程)，等温、稳定渗流。，等温、稳定渗流。n运动方程：运动方程：n连续性方程：连续性方程：n将将(1)(1)式代入式代入(2)(2)式式n由于由于K K/ /为常数，故为常数，故 gradKvP ( )0div v grad0KdivP2222220PPPxyz0P2第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立坐标系 三维问题 一维问题 直角坐标 (x，y，z) 2222222PPPPxyz 222d PPdx 圆柱坐标 (r，z) 2222211PPPPPrrrrrz 21 PPPrrrr 球坐标 (r，) 22222222211sin1sinsinPPPrrrrrPPr

24、2221PPPrrrr Laplace算子算子第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流数学模型渗流数学模型 n假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和连续性方程组成连续性方程组成。 n运动方程：运动方程：n状态方程：状态方程： n对弹性孔隙介质：对弹性孔隙介质：n对弹性液体：对弹性液体：n单相液体质量守恒方程：单相液体质量守恒方程：gr

25、adKvP 00()fCPP0()0001()LCP PLeCPP()()0divvt第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n将将(1)(2)(3)代入代入(4)，第一项中，第一项中n因为因为CL、Cf都是很小的数，可略去含都是很小的数，可略去含CLCf项得：项得：n式中式中 综合压缩系数，单位岩石体积在降低单综合压缩系数，单位岩石体积在降低单位压力时位压力时, ,由孔隙收缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积由孔隙收缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积, ,可可看成是常数看成是常数 ,故故0000200000001()()()()()LffLLfCPPCPPCCPPC CPP

26、0tfLCCC0tPCtt000000000()()()fLtCCPPC PP 第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立0()0LCP PxvKPexxx00()0()020022021()LLCP PCP PLLLKPexxKexxCKCPPCxKPx yxzvvvxyz、第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n同理可得：n由此可得： 202yvKPyy 202zvKPzz 2220222()KPPPdivvxyz 第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立n(5)、(6)代入代入(4)式式222222tKPPPPCxyzt2

27、222221PPPPxyzttKC第五节第五节 典型油气渗流数学模型建立典型油气渗流数学模型建立第六节 边界条件和初始条件 一、初始条件一、初始条件n指开始时刻整个渗流区域渗流速度和压力的分布指开始时刻整个渗流区域渗流速度和压力的分布(只有不只有不稳定渗流问题才需要稳定渗流问题才需要)n表示的是渗流区域表示的是渗流区域D上上t=0时，势函数时，势函数（x,y,z,t）为）为0(x,y,z) n势函数势函数为压力的函数如为压力的函数如00( , , )( , , , )|( , , , )tx y zDx y z tx y z t KP 第六节 边界条件和初始条件 二、边界条件二、边界条件 n指指渗流区域渗流区域边界上的已知条件。边界上的已知条件。1.给出势函数的边界条件给出势函数