量子力学教程 第二版 45 狄拉克符号

1、狄狄拉拉克克 ：（19021984），改改进进了了矩矩阵阵力力学学的的数数学学形形式式，使使其其成成为为一一个个概概念念完完整整、逻逻辑辑自自洽洽的的理理论论体体系系。获获 1933年年诺诺贝贝尔尔物物理理学学奖奖。 量子力学的规律和所用的表象无关，选取什么表象决定于量子力学的规律和所用的表象无关，选取什么表象决定于讨论问题的方便性。量子力学中描写态和力学量可以不用具体表讨论问题的方便性。量子力学中描写态和力学量可以不用具体表示，这种描写态和力学量的方式是示，这种描写态和力学量的方式是 Dirac 最先引用的，故称为最先引用的，故称为Dirac符号方法。符号方法。Dirac符号方法的优点：符号

2、方法的优点：(1)运算简捷；运算简捷；(2)不用在具体表象中讨论问题不用在具体表象中讨论问题一、态的一、态的 Dirac符号表示符号表示位形空间位形空间（三维）（三维）希尔伯特空间希尔伯特空间矢量是矢量是R态矢量是态矢量是矢量符号：矢量符号： “”态矢量符号态矢量符号“”R的分量为：的分量为：zyxR,R,R的分量是：的分量是：t ,xR的直角表示：的直角表示：iiizyxeRkRjRiRR dxxxt ,xt , x1. . 刃矢和刁矢刃矢和刁矢 量子力学体系一切可能状态构成一抽象的线性空间，即希尔量子力学体系一切可能状态构成一抽象的线性空间，即希尔伯特空间。伯特空间。 希尔伯特空间的矢量可

3、用一个刃矢希尔伯特空间的矢量可用一个刃矢（又称（又称 ket 矢量或右矢）矢量或右矢）表示，若要标志特殊的状态，则在其内标上某种记号表示，若要标志特殊的状态，则在其内标上某种记号（对于（对于本征态，常将本征值或相应的量子数标在刃矢内） 。本征态，常将本征值或相应的量子数标在刃矢内） 。 nE或或n表示能量的本征态；表示能量的本征态； m表示表示(2L,zL)的共同本征态的共同本征态 希希尔尔伯伯特特空空间间的的共共轭轭空空间间的的矢矢量量可可用用一一个个刁刁矢矢（又又称称 bra 矢矢量量或或左左矢矢）表表示示。 规定：规定：A 在在Q表象中的分量是表象中的分量是,a ,a21，A 在在Q表象

4、表象中的分量是中的分量是,a ,a21，即在同一表象中，同一态矢量，即在同一表象中，同一态矢量A和和A相应的分量互为共轭复数。相应的分量互为共轭复数。例：例：是是的共轭矢量，的共轭矢量，即对应的分量互为共轭复数。即对应的分量互为共轭复数。说明说明：a. .和和为两种性质不同的矢量，两者不能相加；为两种性质不同的矢量，两者不能相加； b b. .，表表示示的的是是抽抽象象的的态态矢矢量量；未未涉涉及及具具体体表表象象，就就像像矢矢量量用用R表表示示一一样样2. .标积的定义标积的定义 ,a ,a ,aAn21；,b,b,bBn21 定义：标积定义：标积nnnbaBA，即，即BA为刁矢为刁矢A与刃

5、矢与刃矢B对应分量的积。对应分量的积。说明说明：nnnbaBAABbannn 所以所以BA和和AB互为共轭复数。互为共轭复数。3. .本征态的表示本征态的表示 x表象：表象： mnnmdxxx； qqqqdxxxDirac符号：符号：mnnm；qqqq例如：例如：2L，zL共同本征态共同本征态,Ym（坐标表象） ，用（坐标表象） ，用 Dirac 符号符号表示为表示为m，其正交归一性为：，其正交归一性为：mmm,m,4. .封闭性封闭性txdxxA,用用x与与A作标积，得：作标积，得： t ,xt ,xdxxxt ,xdxxxAx所以展开系数为：所以展开系数为： Axt ,x；xAtx代入代入

6、t ,xdxxA，得：，得：以任意刁以任意刁左乘上式两边，得左乘上式两边，得AxdxxA两边取共轭复数有：两边取共轭复数有： xdxxAA由于由于的任意性得：的任意性得： xdxxAA 2于是由于是由 1和和 2式都可以得出：式都可以得出： 1xdxx )(1pdpp(b)分立谱情况分立谱情况：Q的本征值为分立谱的本征值为分立谱nQ, 2 , 1n ，本征刃，本征刃 n具有完全性，可将任意刃矢具有完全性，可将任意刃矢A按按Q的本征刃展开，即：的本征刃展开，即：nnCnA而而mnnCCnmAm于是：于是：nAnnA （完全性关系）（完全性关系）同样可得同样可得nnnAA （上式复数共轭）（上式复

7、数共轭）此即为力学量此即为力学量Q的本征矢的本征矢 n的封闭性，即插入算符的封闭性，即插入算符（恒等算符） 。（恒等算符） 。解释：将刁矢解释：将刁矢x左乘、刃矢左乘、刃矢x右乘右乘1nnn两边得：两边得： nxxxxxnnx即：即： nnnxxxuxu nnnxxxuxu(c)一般情况一般情况：若：若Q的本征值既有分立谱又有连续谱，则的本征值既有分立谱又有连续谱，则Q的本的本征矢的封闭性可表示为：征矢的封闭性可表示为： 1qdqqnnn因其有算符的性质，又称恒等算符。因其有算符的性质，又称恒等算符。二、算符的二、算符的 Dirac符号表示符号表示 设设F作用在刃作用在刃A上得到新的刃上得到新

8、的刃B，即，即 AFB （没表象）（没表象） 1而在而在Q表象中表象中（假设（假设Q只具有分立谱） ，只具有分立谱） ，A可按可按Q的基刃的基刃 n展开，即：展开，即：nAnnA 2于是：于是：nAnnFB 3以以m左乘左乘 3得：得：nAnnFmBm即：即：nnmnmaFb此即为式此即为式BAF在在Q表象中的表示。表象中的表示。解释：由于解释：由于nxdxxn；xdxxmm则：则：nxdxxFxdxxmnFm而而于是：于是：nxdxxxxi,xFdxxmnFm nxdxxi, xFxm dxxuFxunmxxxi,xFxdxxxi,xFxxxFx 自变量自变量2. . AFB 的共轭式为的共

9、轭式为FAB； 以任意的刁矢以任意的刁矢m左乘左乘AFB 两边，并取复共轭得：两边，并取复共轭得： nAnnFmAFmBmmB nAnnFm mFAmFnnAn mnnmFF而而m是任意的是任意的所以所以FAB此即为此即为AFB 的共轭式。的共轭式。注：当注：当F为厄米算符，即为厄米算符，即 FF时，时，FAB写为写为FAB 。三、三、Q.M.公式的公式的 Dirac符号表示符号表示 1t , xt , xxi, xF；基本公式的通常写法；基本公式的通常写法 Fxx；x表表象象的的 Dirac表表示示 F；没没表表象象 2t , xxi, xHt , xti；基基本本公公式式的的通通常常写写法法 Hxxti ；x表表象象的的 Dirac表表示示 Hti；没表象；没表象 3 xuExuxi, xHnnn；基本公式的通常写法；基本公式的通常写法 nxEnHxn；x表象的表象的 Dirac表示表示 4dxt , xxi, xFt , xF；基基本本公公式式的的通通常常写写法法 dxxFxF；x表表象象的的 Dirac表表示示 FF； 没没表表象象 5 mnnm