高三 直线、圆及其交汇问题答案康立军

1、直线、圆及其交汇问题参考答案典题探究例1【解析】：设圆C的圆心为(a，b)，则解得或所以r2或r6.所以圆C的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.例2【解析】：(1)设圆A的半径为R，圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.|MN|2，|AQ|1，由|AQ|1，得k.直线l的方程为3x4y60，所求直线l的方程为：x2或3x4y60.(3)AQBP，A·B0，B·B(BA)·BB

2、83;BA·BB·B.当直线l与x轴垂直时，得P，则B，又B(1,2)B·BB·B5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.B.B·BB·B5，综上所述，B·B是定值，且B·B5.例3【解析】：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为xmy1(m0)(1)证明：将xmy1代入y24x并整理得y24my40，从而y1y24m，y1y24.直线BD的方程为yy2·(xx2)，即yy2·.令y0，得x1.所以点F(1,0)在直线BD上(2)由(1)知，x

3、1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1.因为F(x11，y1)，F(x21，y2)，F·F(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m±. 所以l的方程为3x4y30,3x4y30又由知y2y1±±，故直线BD的斜率±，因而直线BD的方程为3xy30,3xy30.因为KF为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(1<t<1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，. 由得t或t9(舍去)，故圆M的半径r. 所以圆M的方程为2y2.例4【解析】(1)由题设知，a2，

4、b，故M(2,0)，N(0，)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k.(2)直线PA的方程为y2x，代入椭圆方程得1，解得x±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为xy0.因此，d. 演练方阵 A档（巩固专练）1. 【答案】A【解析】：解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d<1<.法二：直线mxy1m0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆C是相交的2. 【答案】B【解析】：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<

5、<5，所以两圆相交3. 【答案】：A【解析】：a，则直线xy0与圆x2(ya)21相切，反之，则有a±.因此p是q的充分不必要条件4. 【答案】：D【解析】：解析：选D法一：圆心O(0,0)，C(3，3)的中点P在直线l上，故可排除A、B、C.法二：两圆方程相减得，6x6y180，即xy30.5. 【答案】：D【解析】：因为直线yx过圆x2y21的圆心(0,0)，所以所得弦长|AB|2.6. 【答案】：C【解析】：(1)因为直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，所以圆心到直线的距离dr，可得|a1|2，即a3,17. 【答案】：【解析】：(2)圆C方程可化为(x4)2y21

6、，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线ykx2上至少存在一点(x0，kx02)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故2，整理得(k21)x2(84k)x160，此不等式有解的条件是(84k)264(k21)0，解之得0k，故最大值为.8.【解析】：(1)将圆C配方得(x1)2(y2)22.由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为xya0，由，得|a1|2，即a1或a3.故直线方程为xy10或xy30.(2)由于|PC|2|PM|2|CM|2|PM|2r2，|PM|2|PC|2r2.又|PM|PO|，|PC|2r2|PO|2，(x1)2(y2)22x

7、2y2.2x4y30即为所求的方程9.【解析】 ：(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.故方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.10.【解析】(1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3.则圆C的方程为(x3)2(

8、y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a2>0.从而x1x24a，x1x2.由于OAOB，可得x1x2y1y20，又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由得a1，满足>0，故a1. B档（提升精练）1.【答案】：相交【解析】：将x2y22y30化为x2(y1)24.由于直线l过定点(1,1)，且由于12(11)21<4，即直线过圆内一点，从而直线l与圆相交2.【答案】：A【解析】：设圆心C(x，y)，则题意得y1(y>0)，化简得x2

9、8y8.3.【答案】：D【解析】：圆心(a,0)到直线xy2的距离d，则()2222，所以a0或a4.4. 【答案】：x2(y1)210【解析】：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则R2d22，因此圆C的方程是x2(y1)210.5. 【答案】: 2【解析】：(1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d，圆的半径r2，所以弦长为l2×22.法二：代数法：联立直线和圆的方程消去y可得x22x0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2.6. 【答案】：xy30 【解析】

10、：由题意，设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知22(a1)2，解得a3或a1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.7. 【答案】：±【解析】：由题意得，圆心(1,2)到直线xmy10的距离d1，即1，解得m±.8【答案】：(，)【解析】：点P在直线xy20上，可设点P(x0，x02)，且其中一个切点为M.两条切线的夹角为60°，OPM30°.故在RtOPM中，有OP2O2.由两点间的距离公式得OP 2，解得x0.故点P的

11、坐标是(，)9【解析】 ：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即，所以m2n22|mn|，所以|mn|，又A，B，所以AOB的面积为3，最小值为3.10【解析】：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线yx垂直，知O，C两点的斜率kOC1，故ba，则|OC|2，即2，可解得或结合点C(a，b)位于第二象限知故圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在Q(m，n)符合题意，则解得故圆C上存在异于原点的点Q符合题意C档（跨越导练）1.【答案】C 【解析】：圆心为(1，)，半径为1，故x0与圆相切2.【答案】D 【解析】：由题意知，1，得k，故直线l的倾斜角为.3.【答案】A

12、【解析】：把点(3,0)代入圆的方程的左侧得3204×33<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交4.【答案】B 【解析】：由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|224.5.【答案】A 【解析】：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为1，方程为xy20.6.【答案】A【解析】设，的夹角为2.依题意得，圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于1，cos ，cos 22cos2 12×21，·3×

13、;3cos 27.7. 【答案】A【解析】直线axby1(其中a，b是实数)与圆x2y21相交于A，B两点，则依题意可知，AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线axby1的距离d，即2a2b22，a2(b)，则|PM|，当b时，|PM|max1. 8. 【解析】因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即<1，解得13<c<13.9.【解析】：解：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，则A，M，C三点共线，且有|MA|AP|r，因为圆C：x2y22x6y50的圆心为C(1,3)，则解得m3，n1，r，所以所求圆的方程为(x3)2(y1)25.10. 解：(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为Q(6,0)过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两