第三章__非稳态导热

1、 高等传热学内容4第一章 导热理论和导热微分方程4第二章 稳态导热 4第三章 非稳态导热 4第四章 凝固和熔化时的导热 4第五章 导热问题的数值解 4第六章 对流换热基本方程 4第七章 层流边界层的流动与换热 4第八章 槽道内层流流动与换热 4第九章 湍流流动与换热 4第十章 自然对流 4第十一章 热辐射基础 4第十二章 辐射换热计算 4第十三章 复合换热 第三章第三章 非稳态导热非稳态导热 43-1 集总热容分析集总热容分析4考虑非稳态导热的一种最简单的情况，如果所研究的物体的导热系数较大，或者厚度较薄，或者与环境的换热较弱，则物体内部的导热热阻相对于表面的换热热阻是个小量，物体内部的温差可

2、以忽略不计。在这样的条件下，可以近似地认为在任何时刻允许用一个单一的温度来表示整个物体的温度，把一个有分布热容的物体看成是“集总热容”物体，忽略物体内部的导热过程而只考虑它与周围环境的换热。即假设物体中的温度只是时间的函数而与坐标无关。4集总热容物体是一种理想化的情况。引进这样的假定的条件是在非稳态导热过程中物体内部的温差比物体与环境之间的温差小得多。一个实际问题能否简化为集总热容物体来处理，可根据无量纲准则BihL的大小来判断。因此，当Bi足够小(Bi1)时，物体外部的热阻起主导作用，内部温度趋于均匀。这样的物体可称为“薄壁物体”，这样的分析方法称为“集总热容法”。 3-1 集总热容分析集总

3、热容分析4由于物体的温度只是时间的函数，物体几何形状的影响消失，这就使得物体的温度响应可由常微分方程来描述，初始条件也不存在温度分布而只有单一的初始温度值，导热问题的数学处理大大简化。4通常建议以Bi0.1作为“薄壁物体”的判据。但应该说这只是半定量的判断，因为用集总热容法进行简化的合理性还取决于问题本身对精度的要求；此外，虽然对于集总热容法处理的问题通常可取物体的体积与表面积之比LcV/S作为特征尺寸，但Bi中的特征尺寸的选取实际上并没有严格的规定。例如，大平壁可以选其厚度或Lc/2作特征尺寸；长圆柱可以选其直径d、半径r或Lcr/2作特征尺寸。选取的特征尺寸不同当然会影响相应的Bi值。 3

4、-1 集总热容分析集总热容分析4仍参照图1-3，物体占据的体积为V，表面积为A，有内热源qv。在集总热容的假定下，对研究的物体写出热量平衡方程，可得4 (3-l-1)4对于无内热源的物体，qvo；如果物体表面以牛顿冷却定律的规律与周围环境换热，平均对流换热表面传热系数为h，以上方程可简化为4 (3-1-2) VAVdtcVq dAq dVd ()fdtcVhA ttd 图1-3 导热微分方程的推导 3-1 集总热容分析集总热容分析 43-1-1 环境温度保持为常量环境温度保持为常量4引进“过余”温度 = ttf ，则问题的数学描述为 4 (3-1-3)4初始条件为4 (3-1-4)4常微分方程

5、(3-1-5)的通解为 4 (3-1-5)4由初始条件式(3-1-4)可得C0，由此得该问题的解为4 (3-1-6) 0dcVhAd000,tt exphACcV0exphAcV4 具有时间的量纲，称为该问题的“时间常数”，它表征物体温度变化的快慢，即热惯性的大小。当时 ，0.3680。43-1-2 环境温度按线性变化环境温度按线性变化4 设环境温度按线性变化，即4 (3-1-7)4其中b为常量，t0是物体和环境在初始时刻的温度。引进过余温度tt0，则该物体的温度响应可用如下的常微分方程初值问题来描述：4 (3-1-8) 3-1 集总热容分析集总热容分析 1/()cVhA10fttb0,0cV

6、 dbhA d4其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成，即4根据初始条件可以确定积分常数 。整理后可得4 (3-1-9)4物体的温度响应(图3-1)由两部分组成。第一项随时间按指数规律衰减，它在过程的初始阶段起重要作用，但时间足够长时该项逐渐趋于零。此时过程进入“准稳态”阶段，物体的温度响应由第二项决定，即随时间按线性变化，变化的速率与环境温度相同，但与环境温度保持一个恒定的差值。时间常数对 过程有决定性的影响。1越大，式中第一项就衰减得慢，过程需要较长的时间才进入准稳定阶段，同时物体与环境温度的差值也越大。 3-1 集总热容分析集总热容分析 1/()cVhAexphAcVCb

7、cVhAcVCbhAexpb cVhAcVbhAcVhA3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-1 环境温度按线性变化时集总热容物体的温度响应 43-1-3 环境温度按简谐波变化环境温度按简谐波变化4设环境温度按简谐波变化，其表达式为4 (3-1-10)4其中Af为环境温度波的振幅，温度波的周期是 。引进过余温度 。若物体的初始温度为t0，则该物体的温度响 应可用如下的常微分方程初值问题来描述：4 (3-1-11) 4 (3-1-12) 3-1 集总热容分析集总热容分析 cos()fffttA2 / ftt cos()fcV dAhA d000,ftt4式(3-1-11)是一阶线性非齐次常微分

8、方程，其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成。相应的齐次方程的通解已由式(3-1-5)给出。设非齐次方程的特解具有以下的形式：4 (3-1-13)4其中B和是两个待定的参数。将式(3-1-13)代入式(3-1-11)，并记 ，得4 (3-1-14)4上式左边可改写为4 3-1 集总热容分析集总热容分析 *cos()B1/()cVhA1sin()sin()cos()fBBA221122221122221111cos()sin()111coscos()sinsin()1cos()BBB 4比较方程(3-1-14)的两边，可得4 ， (3-1-15)4由初始条件可确定式中的常数：4最

9、后得到该问题的解为4 (3-1-16)4以上的解由两项组成。第一项随时间按指数规律衰减，时间足够长时该项逐渐趋于零。此时薄壁物体的温度响应进入“准稳态”阶段，反映为上式的第二项。准稳态阶段温度响应也是按简谐波变化，其平均温度和变化周期都与环境温度相同。薄壁物体温度波的振幅与环境温度波的振幅之比为 ；物体温度波的相位落后于环境温度 。 3-1 集总热容分析集总热容分析 2211fAB 12211arccosarctan()1 02211fAC 012222111()exp()cosarctan()11ffAA 22111 1arctan()3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-2 环境温度技简

10、谐波变化时集总热容物体的温度响应 4这种温度波振幅的衰减和相位的落后都与时间常数 有关，时间常数越大，这两个效应越显著。此外，以上结果也表明，温度波的频率/2对温度波振幅的减小和相位的落后也有同样的效应。温度波的频率越高，物体中温度波的振幅就越小。环境按简谐波变化时集总物体的温度响应见图3-2。4在工程和实际生活中环境温度近似地按周期变化的情况是较常见的，如空气温度随昼夜的变化和发动机汽缸内气体温度的变化。这些周期性的温度波一般不是简谐波。但是非简谐的周期变化都可以展开为傅里叶级数，即表示为无穷多个简谐波的叠加。由于导热方程的线性性，这些环境温度简谐波的作用在薄壁物体中引起的温度响应也可以叠加

11、。不过高频的简谐波在物体中引起的温度波的振幅减小得很多，因此其影响可忽略不计。4以上讨论了由一个集总热容物体组成的系统。在某些情况下，把系统简化为两个或多个集总热容物体可以更好地描述实际的传热过程。下面以一个双容系统为例来讨论这样的情况。如图3-3所示，盛满在一个薄壁金属容器内的液体受强烈搅拌，使其温度均匀。可以把金属容器和其中的液体都抽象成集总热容物体，它们组成一个双容系统。如果在初始时刻容器和液体有相同的温度t0,突然处于具有恒定温度tf的环境中，试分析容器和液体的温度响应。 3-1 集总热容分析集总热容分析 1/()cVhA3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-3 集总热容双容系统 4

12、根据容器和液体的热平衡可以分别写出它们的导热方程。记容器和液体的过余温度分别为 ， ，则该问题可以表述为如下常微分方程组的初值问题：4 (3-1-17)4 (3-1-18)4 ， (3-1-19)4由式(3-1-18)可得4 (3-1-20) 3-1 集总热容分析集总热容分析 11ftt22ftt11 1 111 12221()dcVh Ah Ad22222221()0dc Vh Ad012022221222c V dh Ad3-1 集总热容分析集总热容分析 4将式(3-1-20)代入式(3-1-17)，得4 (3-1-21)4其中 ，i1，2，分别是两个物体的特征时间。4式(3-1-21)是

13、关于2的二阶线性齐次常微分方程，它对应的特征方程是4 (3-1-22)4对该二次方程的分析可知，它有两个不相等的负实根，分别为4 (3-1-23) 22222121222211()0rrrrrdh Addh Ad iiiriiicVh A2221212211()10rrrrrh Ah A 222221221221211111,212()()42rrrrrrrrrrh Ah Ah Ah A 3-1 集总热容分析集总热容分析 4由此得方程（3-1-21)的通解为4 (3-1-24)4将初始条件式（3-I-19)代入式(3-1-20)，得4 (3-1-25)4把以上初始条件代入式(3-1-24)，可

14、以确定两个任意常数C1，C1，整理后可得4 (3-1-26)4将式(3-1-26)代入式(3-1-20)并整理，可得4 (3-1-27)4以上得到的温度响应式(3-1-26)、(3-1-27)定性地示于图3-4中。 12212C eC e 0200,0dd1222102121rree1212221122102121rrrree 3-1 集总热容分析集总热容分析 图3-4 双容系统在等温环境中的温度响应 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4厚度一定的大平壁常可简化为直角坐标系中的一维问题，是几何条件最简单的系统，在线性边界条件下可得到分析解。4本节

15、介绍大平壁和长圆柱体中的非稳态导热，以帮助读者了解一些基本的分析解数学方法，并通过对分析解的讨论，加深对非稳态导热过程的理解。此外，这些分析方法及其结果对于许多实际工程问题，如材料的加热和冷却、空调建筑物通过围护结构的动态冷热负荷计算等都有实用意义。4重点介绍分离变量法，这是求解某些线性的数学物理偏微分方程的最古老的方法，但对于求解方程和边界条件均为齐次的问题常常是方便的，也是一些其他的分析方法，如格林函数法的基础。 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 43-2-1 大平壁在等温介质中的冷却大平壁在等温介质中的冷却 4考虑大平壁在等温介质中被冷却(

16、或加热)的问题。傅里叶在1822年首先求解了这一问题，并提出了著名的博里叶级数。4如图3-5所示，厚度为的大平壁在x0处被绝热，在x处与温度恒定为tf的环境介质进行对流换热。已知平壁中的初始温度分布f(x)。引进过余温度ttf，则描述大平壁中非稳态导热的微分方程为4 0 x0 (3-2-1a)4问题的初始条件为4 =0，0 x, 0 x0, (3-2-1c)4 x=, 0, (3-2-1d) 22ax0 x0hx3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法图3-5 大平壁的非稳态导热 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离

17、变量法 4注意到微分方程和两个边界条件都是齐次的，这将是进行分离变量的重要条件。假设解的形式为4 (3-2-2)4把上式代入方程(3-2-l a)，得到4 4分离变量得到 4 因为等式两边分别为的函数和x的函数，它们要相等只能是都等于某个常数，记为土2。是待定常数，称为特征值。这样，上式给出了两个常微分方程：4 (3-2-3)4 (3-2-4) ( , )( )( )xX x( )( )( )( )X xXx21XaX 20a 20XX3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4方程(3-2-3)的解是 4 (3-2-5)4由问题的性质知，当r时过余温度

18、应有界，由此2前应取负号。在此条件下求解方程(3-2-4)得4 (3-2-6)4且有 (3-2-7)4式(3-2-6)中有三个常数A、B和s需要确定。把式(3-2-2)代入式(3-2-l c)、(3-2-1d)，同样可对边界条件进行分离变量，得4 (3-2-8a)4 (3-2-8b) 2( )exp()Cacos()sin()XAxBxsin()cos()XAxBx 0,0 xX,0 xXhX 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4由式（3-2-8a）得B=0。再由式(3-2-8b)可得4 4sin()一hcos()04要得到方程（3-2-4)的非

19、零解，必须有Ao，则有4 sin()一hcos()04记=，Bi=h/,上式可写为4 (3-2-9) 4式(3-2-9)是关于的超越方程。由图3-6可以看出它有无穷多个根。由于其对称性，只需要考虑它的正根，记作m (m=1,2,)。这样，就得到特征值问题的无穷多个解：4 (3-2-10) 4由式(3-2-5)和式(3-2-10)，满足原偏微分方程和两个边界条件的分离变量形式的解为4 cotBicos()mmmXAx22cos()exp()mmmmaAx3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 图3-6 超越方程cot/Bi的根 3-2 有限厚度物体的非稳

20、态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4由于问题的线性性，这无穷多个解的叠加仍满足方程和边界条件，即4 (3-2-11) 4系数Am可由初姑条件确定。把式(3-2-1b)代入上式，得4 (3-2-12) 4以上得到的无穷多个特征函数cos(m x)，(m1，2，)组成一个正交函数系，即它们具有如下的性质：4 (3-2-13) 4N(m)称为正交函数系的范数。在本问题中 4 (3-2-14) 221cos()exp()mmmmmaAx1( )cos()mmmf xAx00,cos()cos()(),mmmmnxx dxNmn20sincos()cos ()2mmmmmmNx d

21、x3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4只要在0 x区间内f(x)和df/dx是逐段连续的，在该区间内f(x)可以用以上正交函数系展开成形式如式(3-2-12)的广义傅里叶级数。级数的系数Am可以根据函数的正交性确定，即在式(3-2-12)两边乘以cos(mx /)并在0 x区间内积分，可得4 4最后得到该大平壁在等温介质中冷却问题的解为4 (3-2-15) 4如果已知初始过余温度是均匀的，为f(x)0t0tf，则代入上式积分可得4 (3-2-16) 4其中m是特征方程(3-2-9)的第m个正根。 201cos ()()mmmAx dxN22011

22、cos()exp()( )cos()()mmmmmaxf xx dxN20212sincos()exp()sincosmmmmmmmax3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4上式就是大平壁在等温介质中冷却(或加热)时温度响应的分析解。式中出现的无量纲a/2=Fo称为傅里叶级数，可以看作是非稳态导热过程的无量纲时间。它表明，该问题的无量纲过余温度可以表示成三个无量纲变量的函数：4由图3-6可以看到，12m，因此当Fo足够大时(通常要求Fo0.5)，随着m的增大，exp(m Fo)项迅速减小，式3-2-16)的无穷级数中除第一项以外的各项均可忽略不计。

23、此时式(3-2-16)可简化为 4 (3-2-17)4此时平壁中各点的过余温度随时间都按负指数规律变化，称为物体非稳态导热的正常状况阶段。4定义物体的“冷却率”为4 (3-2-18) 10(,)xFFo Bi211101112sincos()exp()sincosxFocInm 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4如图3-7所示，冷却率反映了在半对数坐标系中温度响应曲线的斜率，则对于正常状况下的大平壁有4 (3-2-19)4在正常状况下物体的冷却率只取决于物体的形状、大小、物性和边界条件。相对于正常状况阶段的是非稳态导热的“初始阶段”。在初始阶段

24、，物体中的温度分布受初始温度分布的影响较大，情况较为复杂，必须用级数中较多的项来近似。4 由解得的温度响应，可以进一步求得到时刻为止单位面积平壁在冷却过程中放出的热量：4 (3-2-20)4或写成无量纲的形式：4 (3-2-21)4其中，Q02c0是单位面积平壁从初始温度to冷却到周围介质的温度t f所放出的热量。221/cma220022012sin( )2()21exp()sincosmmmmmmmaQcdxc 2222102sin1exp()(,)sincosmmmmmmmQFoF Fo BiQ 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 图3-7

25、正常状况和冷却率 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 43-2-2无限长圆柱体在等温介质中的冷却无限长圆柱体在等温介质中的冷却4无限长圆拄体中的导热同样可用分离变量法求解。设一长圆柱体，假定方向导热是对称的，问题可简化为柱坐标系中径向的一维问题，导热微分方程为4 (3-2-22a)4设圆柱体的表面与温度恒定为t f的环境介质进行对流换热。同样引进过余温度=tt f，两个边界条件为4 (3-2-22b)4 (3-2-22c)4已知圆柱休中的初始温度分布f(r)，则问题的初始条件可写作4 (3-2-22d) 221(),00,0arrrrr0,0,r

26、0,0,0rrhr00,0,( )rrf r3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4与大平壁的情况相同，假设解的形式为4 (3-2-23)4把上式代入方程(3-2-22a)，分离变量得到4式中常数2前选择负号，使得当时间趋于无穷时温度保持有限值。这样，上式给出了两个常微分方程4 (3-2-24)4 (3-2-25)4方程(3-2-24)的解是4 (3-2-26) ,( )( )rR r211RRaRr R 20a 20rRRrR2( )exp()Ca3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4引进变量zr，方程

27、3-2-25)可改写为4 (3-2-27)4这个常微分方程称为零阶贝塞尔方程，其解为4 4或仍采用原来的变量，写4 (3-2-28)4其中,J0(z)和Y j(z)分别是零阶的第一类和第二类贝塞尔函数。注意到对第二类贝塞尔函数(或称诺伊曼函数)有Yn(0)，因此如在以下的推导中可以看到的，在拄坐标系的分离变量中为了满足r0时有界的条件，常常仅用到第一类贝塞尔函数。整数阶(n阶)第一类贝塞尔函数的级数表达式为4 (3-2-29)4图3-8给出了几个贝塞尔函数的图形。 10RRRz00( )( )( )R zAJzBY z00()()()RrAJrBYr21( 1)( )( )!()! 2nkkk

28、zJn zk nk3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 图3-8 几个贝塞尔函数 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4最后得到无限长圆柱体在等温介质中冷却问题的解为4 (3-2-39)4如果已知初始过余温度是均匀的，为f(r)0t0t1，则代入上式积分可得4 (3-2-40)4其中m是特征方程(3-2-32)的第 m个正根。 0200002222210000( )2exp()()rmmmmmmmf r Jr rdrraJrrrrBiJ20022210002exp()()mmmmmBiaJrrrBiJ3-

29、2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4同样地，式(3-2-40)表明，该问题的无量纲过余温度可以表示成三个量纲变量的函数，即 4由解得的温度响应，可以进一步求得到时刻为止单位长度的圆柱体在冷却过程中放出的热量： 4 (3-2-41)4或写成无量纲的形式为4 (3-2-42)4其中 是单位长度圆柱体从初始温度t0冷却到周围介质的温度tf所放出的热量。 01120000(,)(,)hrrarFFFo Birrr022200022220104( )2()1exp()rmmmmBiaQ rcrdrrcrBi 2222221041exp()(,)mmmmQBiF

30、oF Fo BiQBi 2000Qrc 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 43-2-3 乘积解乘积解4以上介绍了直角坐标系和柱坐标系中一维非稳态导热在齐次边界条件下的分析解。简单几何形状下多维导热的齐次边界问题同样可用分离变量法求解，“乘积解”就是这样的一种特例。如果物体内的初始温度分布可以表示为单个空间变量函数的乘积，则多维问题的解可以简单地写成相应一维问题解的乘积。以直角坐标中的二维问题为例，直角柱体在等温介质中冷却问题的数学描述为4 (3-2-43) 222212,0,0,00,0,0,0,00,0,0,0,00,0,0,( , )axyh

31、xyxxxhxyyxHhyxyHf x y 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4如果初始温度分布f(x,y)f1(x) f2(y)，则以上二维问题的解可以写作两个二维问题解的乘积，即4 (3-2-44)4而1和2分别是以下一维问题的解：4 (3-2-45) 12( , , )( , )( , )x yxy 2112111 111,0,00,0,0,0,00,0,( )axxxxhxxf x 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4 (3-2-46)4为了证明这一结论的正确性，把式(3-2-44)代入式(

32、3-2-43)中的导热微分方程，有2222222222,0,00,0,0,0,00,0,( )ayHyyyxHhyyHfy121221222212212222()()aaaaxyxy3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 43-2-4 非齐次问题非齐次问题4从分析求解的角度看，非稳态导热的边值问题可分为齐次问题和非齐次问题。如果微分方程和边界条件都是齐次的，则称该问题是齐次的。齐次的非稳态导热问题有如下的一般形式：4 区域R内 (3-2-47a)4边界Si处，0， (3-2-47b)4区域R内，0，tF(r) (3-2-47c)4边界条件式(3-2-4

33、7b)中，若或h有一个为零，则分别表示齐次的第一类或第二类边界条件。 20,tat 0itkh tn3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4存在内热源时微分方程有以下形式，一般来说，内热源发热率qv可以是坐标和时间的函数。如果如不以与温度相乘的形式出现，微分方程是非齐次的。即4区域R内 (3-2-48)4非齐次的边界条件的一般形式为4边界Si处， (3-2-49)4同样地，第一类和第二类边界条件可以是上式的特例。 2( , )0,vq rtatc 0,( , )iiithtf rn3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法

34、分离变量法 4首先讨论一个较简单的情况。如果函数qv和fi都与时间无关，即内热源发热率不随时间变化，巳知的边界温度、热流或环境温度也不随时间变化，则可以利用线性叠加原理使问题齐次化。设tt1+t2是满足非齐次的稳态导热问题的解，即4区域R内， (3-2-50a)4边界Si处， (3-2-50b)4t2是满足齐次的非稳态导热问题的解，即4 区域R内, (3-2-51a)4边界Si处， (3-2-51b)4区域R内, (3-2-51c) 21( )0vq rt11( )iiiithtf rn2220,tat 220,0iiithtn210,( )( )tF rt r3-2 有限厚度物体的非稳态导热

35、：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4下面讨论一个一侧温度恒定的大平壁在另一侧受到某个热流作用时其内部的温度和热流响应的问题。平壁的初始温度为零，一侧的壁面温度也保持为零；自初始时刻起在另一侧x = 0处受到恒定的热流q0的作用。于是，大平壁中非稳态导热的数学描述为4 (3-2-52)4注意到其中的一个边界条件是非齐次的。如果要用分离变量法求解，必须先使边界条件齐次化。可以假设解的形式为1+2，其中1是非齐次边界条件下稳态导热问题的解：4 (3-2-53) 220,0,00,0,0,0,0,0axxxqxxx 01()qx3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热

36、：分离变量法分离变量法 4显然1满足原微分方程和边界条件。把1+2代入原定解问题，得到4 (3-2-54)4可利用上节所述的分离变量法求解，齐次问题的解为4 (3-2-56) 22220222,0,0(),0,00,0,00,0axxqxxxxx 2022220812121cos()exp ()(21)22mqmmaxm 3-2 有限厚度物体的非稳态导热：有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法分离变量法 4最后得到原定解问题的解为4 4 (3-2-57)4 如果函数q0或fi与时间有关，即内热源发热率、已知的边界温度、热流或环境温度至少有一个随时间变化，则以上介绍的使问题齐次化的方法不再适用。此

37、时可采用的分析解法主要有拉普拉斯变换法和格林函数法等。2002220812121( , )(1)cos()exp ()(21)22mqqxmmaxxm 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4大平壁的厚度足够厚时，在有限的时间内一个表面(边界)的热作用可以看作只渗透到有限的厚度范围内，此时可以认为其厚度是无限厚的，即“半无限大物体”。这里讨论的半无限大物体的温度场是一维的，即只是x坐标和时间的函数。在无穷远处的边界条件，往往只要求此处的温度有界就可以，一般可不单独列出。有限厚平壁的温度响应一般需要用无穷级数的形式表示，而半无限大物

38、体中的温度响应则常常可表示为某种积分函数的形式，因此较为简明。4求解半无限大物体中的导热问题也可采用分离变量法(涉及傅里叶积分)，或采用下面两节介绍的格林函数法和拉普拉斯变换法。本节将结合几个常见的问题讨论相似性解和积分近似解的概念。这些方法对于解决其他的复杂问题，例如流体流动和对流换热，也是有帮助的。 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 43-3-1 定壁温边界条件下半无限大物体的温度响应定壁温边界条件下半无限大物体的温度响应4半无限大物体初始温度均匀并为t0在起始时刻边界温度突然提高到tw并保持不变。引进过余温度=tt0，则

39、该问题的数学描述可以写作 4 (3-3-1)4这一问题可用拉普拉斯变换法、格林函数法等经典方法求解。这里介绍用相似性变换法求解这一问题。 220,0,00,0,0,0wwaxxxttx 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4相似性变换的基本思路是对偏微分方程的自变量进行变换，以达到使自变量个数减少的目的。这种变换称之为相似性变换，所找到的变换变量称之为相似性变量。4应用相似性变换法可以使偏微分方程变为常微分方程，使问题的求解得到很大的简化。4但是这样的变换有其局限性，它只有在非常苛刻的条件下才能应用。对于以上的一维非稳态导热问题

40、，需要有一个初始条件和两个边界条件，而变换后的常微分方程则只要求两个定解条件。这就要求在变换过程中原有的两个条件能够合并，即对问题的边界条件和初始条件的选择有严格的限制。建立相似性变量的方法在开始时采用“自由参数法”。它没有一个常规的程序，而是依赖于对问题本质的深入领悟。以后发展了数群理论法，可以按照一定的规则导得相似性变量。 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4对由式(3-3-1)所描述的定解问题，引入相似性变量4 (3-3-2)4则有 ， ， ， 2xa12xa1222xa 2 12xxa 22221()4xxxa3-3

41、半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4把以上结果代入式(3-3-1)，可得4 (3-3-3)4注意到以上方程和定解条件中巳不出现x和，只有一个自变量，所以这是一个常微分方程。4记Zd/d，以上常微分方程降阶为4 (3-3-4) 22200,0wdddd 20dZZd3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4由此得到原问题的解 4 (3-3-5)4其中 (3-3-6)4称为余误差函数或误差函数的补函数。4由求得的温度响应可以求出物体中的热流密度4 (3-3-7) 1( )()2

42、wwxerferfca202( )1( )1exp()erfcerfudu 2( , )exp()4uxq xxaa 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 43-3-2 积分方程近似解积分方程近似解4积分方程法就是经常被采用的一种求解偏微分方程的近似方法，积分方程法同样可应用于多维稳态导热和非稳态导热中。4一般来说，积分方程可以从相应的偏微分方程对某一个自变量积分一次导得，也可以从一般的守恒关系(对于导热问题是能量守恒)直接建立方程。前者给出了积分方程与偏微分方程之间的内在联系，后者的物理概念清晰。4对于半无限大物体中的非稳态导热

43、，从图3-10中可以看出，随着时间的推移，边界的热作用逐渐向物体内部传播，形成一个厚度为的“热渗透层”。当然，它的厚度是时间的函数。在x 的区域，可以认为还没有受到边界热作用的影响，温度没有变化，即近似地认为 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 图3-10 定壁温半无限大物体的温度响应 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4 (3-3-9)4在常物性的情况下，该导热过程可以用以下微分方程描述：4 (3-3-10)4方程两边在x0和x的区间对x积分一次，得4 (3-

44、3-11)4对等式右边作运算得,0,0 xx 22,0,0axx 2200dxadxx2200()xxadxaxxx3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4根据积分的求导法则，有4 由此，式(3-3-l1)的左边可改写为4 因此得到一维非稳态导热积分方程的一般形式4 (3-3-12) ( )( )00( , )xddx r dxdxdd ( )( )00( , )xdddxxdxdd 00( , )()xxxddx r dxaddxx由该问题的边界条件式(3-3-9)，以上积分方程简化为 00( , )xdxdxadx (3-3-

45、13) 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4从半无限大物体的能量平衡，也可以直接写出4 (3-3-14)4其中积分号的部分表示单位面积的物体到时刻为止与初始时刻相比内能的增加，因为在x 的区域过余温度为零，所以积分区间可取作(0，)。因此，方程左边表示单位表面积的物体内能增加的速率，方程右边是边界上的热流密度，即单位时间在单位表面积上传入物体的热量。4 在求解积分方程时需要适当地选用一个温度分布函数的解析表达式，以进行积分和求导的计算。这样的解析表达式的选择带有一定的随意性，因此，虽然积分方程在整体上能精确地满足能量平衡，然而

46、积分方程解在确定温度分布和热流量方面在局部上是不精确的。但是，由于把原偏微分方程简化为常微分方程，求解过程及得到的解的形式都较简单，而且如果温度分布函数的表达式选取得合适，解也能有较高的精度。 00( , )xdcxdxdx 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 43 -3 -3 常热流边界条件下的半无限大物体常热流边界条件下的半无限大物体4半无限大物体初始温度均匀并为t0，边界上有恒定热流qw 作用。同样引进过余温度tt0，则该问题的数学描述可以写作4 (3 -3 -18) 4对导热微分方程两边乘以-，并对x求导，得到如下变换:

47、4 22,0,00,0,0,0,0waxxxqxx 22()()axxx3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4交换求导的次序，得4采用热流密度 作为新的变量，上面由方程和单值性条件可写作4 (3 -3 -19)4对照定解问题式（3 -3 -1）及其解式（3-3-5，可知以上问题的解为4 (3-3 -20) 22()()axxxqx 22,0,00,0,0,0,0wqqaxxqxqqx ()2wxqq erfca3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4根据傅里叶定律，

48、4 4其中4称为余误差函数的一次积分。注意到 。由条件x， 0可知，C0。由此可得该问题的温度响应（图3-11）为4 (3 -3 -21) 4把x 0 代入上式，可得壁面处的温度响应4 (3 -3 -22) 21() ()2222() ()()222wwwqxxqdxCaerfcdCaaqqxxxaerfcdCa ierfcCaaa 2( )( )exp()/( )uierfc uerfc z dzuerfc u(0)1/,( )0ierfcierfc 2()2wqxa ierfca2wwqa3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解

49、图3-11 常热流边界条件下半无限大物体的温度响应 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4以上半无限大物体中的温度响应也同样可用积分方程法求得近似解。积分方程（3-3-13）可改写为4 (3-3-23 ) 4其中：等式左边是0时间内由壁面传入物体的热量。等式右边是物体温度升高而导致其内能的增加。x的区域温升视作零，故对坐标的积分区间可改为0。对以上积分方程的近似求解可以假设温度分布近似为一个多项式，例如二次多项式A + Bx + Cx2。4由边界条件及“热边界层”的假设可知4 (3 -3 -24 ) 00( , )rwq dcx

50、dx,0,00,wxxqxx 3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 4由以上条件确定温度分布多项式中的系数，整理得4 (3 -3 -25 ) 4把上式代入方程式（3 -3 -23 ）并积分，可以解得“热渗透层”的厚度及其壁面处的温升：4 (3 -3 -26 ) 4 (3 -3 -27 ) 4积分方程解形式简单，但是是近似的。如果不与精确解比较，就无法得知其误差。假设温度分布为二次、三次、四次和五次多项式时得到的结果及其与精确解的比较列于表3-2。 2(1)2wqx6a32wwqa3-3 半无限大物体的非稳态导热：半无限大物体的非稳

51、态导热：相似性解和积分近似解相似性解和积分近似解 3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 43 -4 -l 格林函数的概念格林函数的概念4物体中的温度分布随时间的变化是由于内热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看作广义上的热源，从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时”作用的热源。4同样地，热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为“点热源”、“线热源”和“面热源”。在各种不同种类的热源中，“瞬时点热源”虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为其他的各种热源都

52、可以看作是许多瞬时点热源的集合，即把时间上持续的热源看成是许多前后相继的瞬时热源，把连续分布在空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源。3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4在特定几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格林（Green ）函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。4对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场的叠加得到，数学上即成为某种积分，这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基

53、本思路。4格林函数法可用来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆型的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的振动问题）。4用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件、边界条件和坐标系的选取。因此，用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数，本方法的第二个要点是确定有内热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。 3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4“瞬时”和“点”源的概念在数学上都可以用狄拉克（Dirac）分布函数，简称

54、函数来表示。各函数的定义为4 ( 3 -4 -l ) 4函数具有以下性质：0,(),xbxbxb0()1xb dx( ) ()( )f xxb dxf b( ) ()( ) ()f xxbf bxb3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4空间变量的三维函数 在直角坐标系中等同于三个坐标 变量的函数的乘积，即 。这样， 时刻作用在空间某一点 、强度在数量上等于cJ的瞬时点热源可写作 ，或在直角坐标系中表示 为 。同理,作用在 处 的强度为c(单位为J/ m2)的瞬时面热源应为 。由这样的热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布 称为格林函数。4因为初始温度

55、分布F(r)在微元体积dV 中所对应的热量等于cF(r)dV ，因此它就等价于一个在0时刻的瞬时分布热源qv(r，)cF(r)(0)。 ()rr() () ()xxyyzzr() ()vqcrr () () () ()cxxyyzz xx() ()cxx ( , ; ,)G rr3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 43 -4 -2 大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热4先从一个简单的一维问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布F(x)对和内热源qv(x，)cg(x,)，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f()的作用。该问题的数学描述为

56、4 (3-4 -2) 22( , ),0,0( ),0,0( )0,00,0ttag xxLxtF xxLtfxxtxLx3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4首先要求该导热系统的格林函数G ，它满足以下的辅助问题：4 (3 -4 -3) 22() (),0,00,0,000,00,0GGaxxxLxGxLGxxGxLx 3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4 时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应仍维持为0，而 时刻的瞬时热源的作用等同于 时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为 4 (3 -4 -4) 22,0,0()

57、,0,0,0,00,0GGaxLxGxxxLGxxGxLx3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4用分离变量法得到的满足以上方程和边界条件的解的一般形式为4系数 可以由 时的“初始”条件确定，即4 4把 展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数，得到4 ，m = l，2， 4即格林函数为4 4 (3 -4 -5) 22021()( , ;,)( ,)expcosmmmam xG xxAAxLL ( ,)mAx01( ,)cos()mmm xAAxxxL()xx012,( ,)cosmm xAAxLLL222112()( , ;,)expcoscosmmam xm

58、xG xxLLLLL 3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4在时刻内热源引起的温度分布tl 应为在此前所有的瞬时点热源 的作用的叠加，即4 4 (3 -4 -6)4初始温度分布F(x)的影响可以看作是在 时刻在各微元体积 中有瞬时热源 的作用。因此，由初始温度分布引起的温度分布t2，应为4 4 (3 -4 -7) ( ,) () ()cg xxxdx d 10022200001( , )( ,) ( , ;,)12()( ,)cos( ,)expcosLLLmt xdg xG xxdxm xmam xdg xdxdg xdxLLLLL01dVdx ( ) (

59、) (0)cF xxxdx 20222001( , )( ) ( , ;,0)12( )expcos( )cosLLLmtxF x G xxdxmam xm xF x dxF xdxLLLLL3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 4边界热流f()的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬时热源 的作用。因此由边界热流作用而引起的温度分布t3 应为4 (3 -4 -8) 4根据线性叠加原理，原定解问题的解应是以上三个温度分布的叠加，即4 (3 -4 -9) ( ) (0) ()fxd 302220011( , )( ) ( , ;0,)12()( )cos( )ex

60、pmt xfG xxdcm xmafdfdcLcLLL11230000( , )( )( ,)( ) ( , ;,0)1( ) ( , ;0,)LLt xtttfdg xdxF x G xxdxfG xxdc3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的应用中的应用 43 -4 -3 无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热4一个形式简单而又较常用到的格林函数是无限大介质中的格林函数。根据其定义，一维无限大介质中的格林函数应满足以下定解问题：4 (3 -4 -10) 22() (),0,0,GGaxxxxGxGxx 3 -4 格林函数法在非稳态导热格林函数法在非稳态导热中的