第二章 控制系统的数学模型1

1、1 系统的数学模型是描述系统输入、输出变系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达。量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达。在动态过程中，系统各变量之间的关系可用微在动态过程中，系统各变量之间的关系可用微分方程来描述，称为动态模型。常用的动态模分方程来描述，称为动态模型。常用的动态模型有微分方程、传递函数、方框图、信号流图型有微分方程、传递函数、方框图、信号流图以及频率特性。系统数学模型的建立一般采用以及频率特性。系统数学模型的建立一般采用解析法和实验辨识法，解析法和实验辨识法，本章主要讨论如何用解本章主要讨论如何用解析法来建立线性定常系统的微分方程、传递函

2、析法来建立线性定常系统的微分方程、传递函数以及方框图、信号流图等数学模型。数以及方框图、信号流图等数学模型。建模方法建模方法 ：分析法、实验法：分析法、实验法分析法分析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根是对系统各部分的运动机理进行分析，根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，写出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。出系统输入输出之间数学关系式（运动方程式）。 利用物理定律利用物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压如牛顿定律、基尔霍夫电流、电压定律、能量守恒定律和热力学定律等。定律、能量守恒定律和热力学定律等。线性定常线性定常控制系统

3、数学模型的类型控制系统数学模型的类型时域模型时域模型微分方程微分方程频域模型频域模型频率特性频率特性方框图方框图=原理图原理图数学模型数学模型复数域模型复数域模型传递函数传递函数实验法实验法（黑箱法）：（黑箱法）： 人为施加某种测试信号，记人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。型或用适当的数学模型去逼近。 黑匣子黑匣子输入（充分激励）输入（充分激励）输出（测量结果）输出（测量结果）45 在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分

4、方程来描述。条件下，都可以用线性微分方程来描述。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：第二步第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。得到描述系统输出、输入关系的微分方程。第一步第一步：将系统分成若干个环节，确定输入量和：将系统分成若干个环节，确定输入量和输出量，列写各环节的输出输入的数学表达式。输出量，列写各环节的输出输入的数学表达式。第三步第三步：(进行标准化进行标准化)输入有关的项放在方程的右输入有关的项放在方程的右端，与输出有关的项放在方程左端，方程两端变量端，与输出

5、有关的项放在方程左端，方程两端变量的导数均按降幂排列。的导数均按降幂排列。无源器件无源器件有源器件有源器件无源网络无源网络有源网络有源网络00uiidtCudtdiLuRiu1 每一种集总元件都只表示一种基本现象，而且可用数学每一种集总元件都只表示一种基本现象，而且可用数学方法精确定义。根据这一思想，建立下列实际器件的理想方法精确定义。根据这一思想，建立下列实际器件的理想模型，如：模型，如：电阻电阻：一种只表示消耗电能的元件，因而是一种集总元件：一种只表示消耗电能的元件，因而是一种集总元件电容电容：一种只表示存贮电场能量的元件，也是一种集总元件：一种只表示存贮电场能量的元件，也是一种集总元件电

6、感电感：一种只表示存贮磁场能量的元件，也是一种集总元件：一种只表示存贮磁场能量的元件，也是一种集总元件电压源和电流源：均表示只提供电能的元件，也是一类集总电压源和电流源：均表示只提供电能的元件，也是一类集总元件。元件。 上述上述“集总集总”的含义是：器件中的电场和磁场可以分隔，的含义是：器件中的电场和磁场可以分隔，并分别加以表征和研究。更深一步来看，意味着器件中交织并分别加以表征和研究。更深一步来看，意味着器件中交织存在的电场和磁场之间不存在相互作用。但实际上，若电场存在的电场和磁场之间不存在相互作用。但实际上，若电场与磁场间存在相互作用时将产生电磁波，这样电路中的一部与磁场间存在相互作用时将

7、产生电磁波，这样电路中的一部分能量将通过辐射而损失掉。分能量将通过辐射而损失掉。 22dtxdmF22dtdJT为角位移为转动惯量，为物体所受的力矩，JTv运动的物体一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力运动的物体一般都要受到摩擦力的作用，摩擦力Fc可可表示成表示成其中，其中， 称为粘性摩擦力，与运动速度成正比，称为粘性摩擦力，与运动速度成正比，f为粘性系数，为粘性系数，Ff性为恒值摩擦力，也叫库仑力。性为恒值摩擦力，也叫库仑力。ffBcFdtdxfFFFdtdxfFBv转动的物体，摩擦力的作用体现为如下的摩擦力矩转动的物体，摩擦力的作用体现为如下的摩擦力矩Tc:其中，其中， 称为粘性摩擦力矩，与角

8、速度成正比，称为粘性摩擦力矩，与角速度成正比， Kc 为粘性阻尼系数，为粘性阻尼系数，Tf为恒值摩擦力矩。为恒值摩擦力矩。fcfBcTdtdKTTTdtdKTcB 例例2-8 电气系统电气系统 解：明确输入量解：明确输入量 ur，输出量，输出量uc 第一步：环节数学表达式第一步：环节数学表达式dttiutRidttiLucccdttdir)()()(11)(dtducicrcdtdudtuduuRCLCcc22二阶线性微分方程二阶线性微分方程LrucuRCi+-第二步：消去中间变量第二步：消去中间变量列写质量列写质量m在外力在外力F(t)作用下，位移作用下，位移x(t)的运的运动方程。动方程。

9、解：设质量解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为加速度分别为x(t)、dx(t)/dt、 d2x(t)/dt2 由牛顿运动定律，有由牛顿运动定律，有mKf tx tF tKxtFdttdxftFtFtFtFdttxdm212122 tFtKxdttdxfdttxdm22阻尼器是产生粘性摩擦的阻尼阻尼器是产生粘性摩擦的阻尼装置，其阻力与运动方向相反装置，其阻力与运动方向相反与运动速度成正比。与运动速度成正比。13列写微分方程要注意列写微分方程要注意：确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。 在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为c(t)为

10、输出量，r(t)为输入量，系数 ai (i=0,1,n)和bj (j=0,1,m)是与系统结构和参数有关的常系数，对实际系统有nm。)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn14建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解就可以得到建立了系统的微分方程以后，对微分方程求解就可以得到表示系统动态性能的时间响应。求解微分方程可以用经典表示系统动态性能的时间响应。求解微分方程可以用经典方法或借助于计算机进行，也可以采用拉普拉斯变换法。方法或借助于计算机进行，也可以采用拉普拉斯变换法。一、

11、拉普拉斯变换定义一、拉普拉斯变换定义 设有函数设有函数f(t),t为实变量，为实变量，s= +j为复变量。如果线性为复变量。如果线性积分积分 存在，则称它为函数存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后的函数的拉普拉斯变换。变换后的函数是复变量是复变量s的函数，记作的函数，记作F(s)或或Lf(t)即即 0)(dtetfstdtetfsFtfLst0)()()(称称F(s)为为f(t) 的象函数，的象函数，f(t)为为F(s) 的原函数。的原函数。15二、几种典型函数的拉氏变换二、几种典型函数的拉氏变换阶跃函数阶跃函数 阶跃函数的定义是阶跃函数的定义是 000)(ttAtr 对系统输入阶

12、跃函数就是在对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加上一时，给系统加上一个恒值输入量。其图形如下图所示。个恒值输入量。其图形如下图所示。 若若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即即 阶跃函数的拉氏变换为阶跃函数的拉氏变换为 单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。 0001)( 1tttsAesAdteAtrLsRstst00|)()(A0t16斜坡函数斜坡函数 斜坡函数也称等速度函数。其定义为斜坡函数也称等速度函数。其定义为 输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如下

13、图所示。作等速变化的信号，其图形如下图所示。 若若A=1,则称之为单位斜坡函数。则称之为单位斜坡函数。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分。 斜坡函数的拉氏变换为斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/s2 0200|)()(sAdtesAesAtdtAtetrLsRststst000)(ttAttrA10t17抛物线函数抛物线函数 抛物线函数也称加速度函数，其定义为抛物线函数也称加速度函数，其定义为 输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如下图所示。时间

14、做等加速变化的信号，其图形如下图所示。 若若A=1/2,称之为单位抛物线函数。称之为单位抛物线函数。 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分。 抛物线函数的拉氏变换为抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/s330020222|)()(sAdtesAtetsAdteAttrLsRststst000)(2tAtttrt1A018脉冲函数脉冲函数 脉冲函数的定义为脉冲函数的定义为 脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度小，

15、幅值无穷大的脉冲。在实际中，只要脉冲宽度 极短极短即可近似认为是脉冲函数。如图所示。即可近似认为是脉冲函数。如图所示。 脉冲函数的积分，即脉冲的面积为脉冲函数的积分，即脉冲的面积为 当当A=1时，即面积为时，即面积为1的脉冲函数称的脉冲函数称为单位脉冲函数，记为为单位脉冲函数，记为 （t） tttAtr和000)(AtAdtAdttr0000|limlim)(000)(ttt0t A 19 （t）函数的图形如下图所示。）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为脉冲函数的拉氏变换为 单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为R(

16、s)=1。0000)()()()()(AdtetAdtetAdtetAtrLsRstststt0 (t)120正弦函数正弦函数 正弦函数也称谐波函数，表达式为正弦函数也称谐波函数，表达式为 用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变频率的正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为换为 以上着重介绍了几种常用函数的拉氏变换。以上着重介绍了几种常用函数的拉氏变换。000sin)(tttAtr220)(0)(00112|2)(2sin)()(sAjsjsjAjsejsejAdteeejAdtteAtrLsRtjstjssttj

17、tjst欧拉公式欧拉公式2/2tatetsins/12/1 sas/ 122s1 tt0t3/1 s t22三、拉氏变换的基本定理三、拉氏变换的基本定理线性定理线性定理 设F1(s)= Lf1(t),F2(s)= Lf2(t),a和b为常数，则有 Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) =aF1(s)+bF2(s) 该定理表示：常数与原函数乘积的拉氏变换等于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。若干原函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换之代数和。 该定理利用拉氏变换的基本定义就可证明。23 )()()()(0)0()0( )0(0)()0(),0( ,0)0()0( )0

18、()()()0( )0()()()0()()(),()()1()1()1(21222sFsdttfdLssFdttdfLfffttffffffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfLtfLsFnnnnnnnnnnn时，有当时的值。及其各阶导数在为函数）（式中则有设在这种意义下，s可以被看成微分算子24)(1)()(1)()(1)()0()0()0(0)()0(),0(),0()0(1)0(1)(1)()0(1)0(1)(1)()0(1)(1)()()(22)()2(1)()2()1()()1()2()1(222)1(sFsdttfLsFsdttfLsFsdttfLf

19、ffttfffffsfssFsdttfLfsfssFsdttfLfssFsdttfLtfLsFnnnnnnnn，则有如果时的值。的各重积分在为式中，则有设在这种意义下，1/s可以被看成积分算子25 )(00sFetfLs )(asFtfeLat时域中的位移定理时域中的位移定理复域中的位移定理复域中的位移定理22sinstL22sinasteLat26)(lim)(lim00ssFtffst27)(lim)(lim0ssFtfst存在，)(limtft条件。处有极点，不满足应用在不存在，且，因为jsssssFtttft22)(sinlimsin)(28 tfLsF11asaFatfL tftfL

20、dtffLdftfLsFsFtt2102102121 tfLsF2229的原函数。就得到反变换的原函数相加，项数求拉氏反变换，将各分分式，再对每项象函展开成部则需将在表中不能直接查到，数求拉氏反变换。若原函通常用查拉氏表的方法一般难以直接计算。这是复变函数的积分，)()()()(21)()(1sFsFsFdtesFjsFLtfjjst30种情况讨论：形式也不同，下面分三展开成部分分式的含有极点的不同情况，对于的极点和零点。是及写成因式分解的形式。可将且为正数、均为实数，及式中，形式为的有理分式函数，一般通常是复变量)()(,)()()()()()()()(.,)()()()(212121211

21、01001110111sFsFzzzppppspspszszszsksNsMsFsFmnnmbbbaaaasasasabsbsbsbsNsMsFssFmnnmmnnnnnmmmm31niiinnpsApsApsApsAsNsMsF12211)()()(ninitpiiiipsiiiiiieApsALsFLtfsFApssNsMApsA1111)()()(,)()()(的拉氏反变换。就可求得确定了待定系数求得的留数，可按下面方法是常数，它是32ttsseetfLtfsssFssssAssssAsAsAssssFssssF3132112122121)()(,321121)(21)3()3)(1(2

22、21)1()3)(1(231)3)(1(2)(342)(42解：的拉氏反变换求例33。与求得个方程，由这两方程可别相等，可得两，令两边实部与虚部分上面方程是一复数方程（，则有，并令方程两边同乘以因子（、也可用下面的方法求取中只求一个即可。、故也是共轭复数。、则是一对共轭复数极点，、如果2121211213321212121212111)()()()()()()()(:AApspssNsMAsApspspspsApsApspsAsAsNsMsFAAAAAApppspsnn例例 求求F(s)=s-3/(s2+2s+2)的原函数的原函数f(t)解：将解：将F(s)的分母因式分解为：的分母因式分解为：

23、jsjsss11222jjjssjssFAjsjs2413lim1)(lim111 tteeAeAtfttjtjsin4cos1211)1()1()1)(1(3223)(212jsAjsAjsjssssssFjjjssjssFAjsjs2413lim1)(lim112另解：另解：114111113223)(2222sssssssssF )(asFtfeLat3511)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11111221111111111,211psrrpsrrrrnnrrrrrrrrnrrnrrpssNsMdsdBpssNsMBBBBpsApsApsApsBpsBpsBpspspssMsNsMsFsFppprsFp：可分别由下列各式计算系数重极点对应的各项待定的部分分式展开式为则为互不相同的单极点，、重极点，的是若36tpntprtprtprrrrpsrirrpsrijjjrnrreAeAeAeBtBtrBtrBsFLtfpssNsMdsdrBpssNsMdsdjB2111121122111111)!2()!1()()()()()()!1(1)()()(!1拉氏反变换得将求出的系数代入，取37tttttsssseteeetetfsssssFsssssAsssssAsssssdsdBsssssBsAsAsBsBsFsssssF)23(2