湖大自控(考研)第七章

1、自自 动动 控控 制制 原原 理理2011年年11月月唐唐 求求电气与信息工程学院电气与信息工程学院离散系统的基本概念离散系统的基本概念7-1信号的采样与保持信号的采样与保持7-2Z变换理论变换理论3离散系统的数学模型离散系统的数学模型47-37-4离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差47-5离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析47-6第七章第七章 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正一、基本概念一、基本概念控制系统中所有信号都是时间变量的连续控制系统中所有信号都是时间变量的连续函数。函数。控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲控制系统中有一处或几处信号是一串

2、脉冲或数码。或数码。1、连续系统：、连续系统：2、离散系统：、离散系统：3、采样控制系统：、采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统，也称脉冲控制系统。离散系统，也称脉冲控制系统。4、数字控制系统：、数字控制系统：系统中的离散信号是数字序列形式的系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统，又称计算机控制系统。离散系统，又称计算机控制系统。7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念二、采样控制系统二、采样控制系统周期采样：周期采样：随机采样：随机采样：在有规律的时间间隔上，取得离散信息。在有规律的时间间隔上，取得离散信息。信息之间的间隔是时变的，或随

3、机的。信息之间的间隔是时变的，或随机的。te(t)0te (t)0teh(t)0采样系统典型结构图采样系统典型结构图Gh(s)Gp(s)r(t)c(t)_H(s)b(t)Se(t)e (t)eh(t)7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念S：理想采样开关理想采样开关Gh(s)：保持器的传递函数保持器的传递函数Gp(s)：被控对象的传递函数被控对象的传递函数H(s)：反馈元件的传递函数反馈元件的传递函数图中，图中，1、信号采样、信号采样在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过在采样控制系统中，把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。程称为采样过程，简称采样。实现采样的装

4、置称为采样器，或称采样开关。实现采样的装置称为采样器，或称采样开关。2、信号复现、信号复现在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程。程称为信号复现过程。实现复现过程的装置称为保持器。实现复现过程的装置称为保持器。最简单的保持器是零阶保持器。最简单的保持器是零阶保持器。7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 系统中如果用计算机来代替脉冲控制系统中如果用计算机来代替脉冲控制器，实现对偏差信号的处理，就构成了数器，实现对偏差信号的处理，就构成了数字控制系统，也称为计算机控制系统。字控制系统，也称为计算机控制系统。 数字控制系

5、统结构图数字控制系统结构图r(t)检测元件检测元件e(t)c(t)e(kT)D/AD/A和和保持器保持器对象对象b(t)计算机计算机和和A/D采样开关采样开关 系统中的系统中的A/D转换器相当于一个采样开转换器相当于一个采样开关，关，D/A转换器相当于一个保持器。转换器相当于一个保持器。三、数字控制系统7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念三、数字控制系统三、数字控制系统数字控制系统的典型结构图数字控制系统的典型结构图Gh(s)Gp(s)r(t)c(t)_H(s)b(t)Se(t)u (t)uh(t)Gc(s)e (t)u(t)SS：理想采样开关；理想采样开关；Gh(s)：保持器的传递函

6、数；保持器的传递函数；Gp(s)：被控对象的传递函数；被控对象的传递函数；H(s)：反馈元件的传递函数；反馈元件的传递函数；图中，图中，Gc(s)：数字控制器的传递函数。数字控制器的传递函数。7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念四、离散控制系统的特点四、离散控制系统的特点1、由数学计算机构成的数字校正装置，控制规律由软由数学计算机构成的数字校正装置，控制规律由软件实现，因此，与连续式控制装置相比，控制规律修改件实现，因此，与连续式控制装置相比，控制规律修改调整方便，控制灵活。调整方便，控制灵活。2、采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制

7、噪声，人而提高了系统的抗干扰能力。噪声，人而提高了系统的抗干扰能力。3、可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。可以采用高灵敏度的控制元件，提高系统的控制精度。4、可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备利用率，经济性好。利用率，经济性好。五、离散控制系统的研究方法五、离散控制系统的研究方法z变换法变换法状态空间分析法状态空间分析法7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念一、采样过程与采样定理一、采样过程与采样定理二、信号的保持二、信号的保持7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持采样开关每次闭合的时间为采样开关每次闭合的时间为1、连

8、续信号的采样过程：、连续信号的采样过程：e(t)0t0te*(t)T T一般一般T 一、采样过程与采样定理一、采样过程与采样定理7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持2采样函数的数学表示采样函数的数学表示 通过采样开关，将连续信号转变成离通过采样开关，将连续信号转变成离散信号。散信号。采样过程为理想脉冲序列采样过程为理想脉冲序列T(t) 对对e(t)幅值的调制过程。幅值的调制过程。T(t )= (t kT) 8k=- +8e*(t )=e(t )T (t )=e(t )(t kT)8k=- +8t 2 m）- s/21/T s- s m2 s-2 s221其中，其中，n=0的的频谱频谱是采样

9、频谱的主分量，如曲线是采样频谱的主分量，如曲线1所示，与所示，与连续频谱连续频谱 E ( j ) 形状一致，幅值上变化了形状一致，幅值上变化了1/T倍。倍。其余频谱（其余频谱（n= 1, 2, ）是采样频谱的补分量。是采样频谱的补分量。7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持0 E ( j ) 采样信号的频谱（采样信号的频谱（ s 2 m）可见，当可见，当 s 17-3 Z 变换理论变换理论 = 1+ eaT z-1 + e2aT z-2 + e3aTz-3 + | ze at | 1 zz eaT 11 eaT z-1 = =（2）指数函数）指数函数 f (t) = e at f (kT)

10、z-k F (z)= 8k=0+（3）单位脉冲函数）单位脉冲函数f (t)=(t ) =f (kT) z-k =1F (z)8k=0+f (kT)=(kT ) f (kT)= e akT 7-3 Z 变换理论变换理论（4）单位斜坡函数）单位斜坡函数f (t) = t f (kT) = kT= Tz-1 + 2Tz-2 + 3Tz-3 + Tz(z 1 )2Tz-1 (1 z-1 ) 2 =| z | 1=f (kT) z-kF (z)8k=0+7-3 Z 变换理论变换理论（5）正弦函数）正弦函数f (t)=sint = e jt -e jt 2 j e jkT e jkT 2 j f (kT)

11、 = 11 e jT z-1 11 e jT z-1 12 j=f (kT) z-kF (z)8k=0+z-1e jTz-1ejT1e jTz-1ejTz-1+z-2 12 j= z-1sinT 12(cosT)z-1+z-2 = zsinT z22zcosT+1=f (t)=costz(zcost ) z22zcosT+1F (z)=同理：同理：7-3 Z 变换理论变换理论2部分分式展开法部分分式展开法 pi 极点极点 如果已知连续函数如果已知连续函数f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s) ，则可将，则可将F(s)展开成部分分式之和展开成部分分式之和的形式，然后求的形式，然后求F(z)。设

12、设 b0sm+b1sm1+bm sna1sn1+anF (s)=nmi=1nAiS Pi =Ai 待定系数待定系数AisPi = ZAi1ePiTz -1 基于基于 Ai1e PiTz -1 F (z)=i=1n得得 7-3 Z 变换理论变换理论 例例 求求F(s)的的z变换变换F(z)。解：解： 1 S(S+1)F (s)=1 S(S+1)F (s)=1 S1 S+1z(1e T ) (z1)(zeT )=z ze T zz1F (z)=7-3 Z 变换理论变换理论 解：解： 例例 求求F(s)的的z变换变换F(z)。1 S2(S+1)F (s)=1 S2(S+1)F (s)=1 S21 S

13、+11 S+z ze T zz1+F (z)=Tz(z1)27-3 Z 变换理论变换理论3留数计算法留数计算法 已知连续函数已知连续函数f (t) 的拉氏变换的拉氏变换F (s)及其全部极点及其全部极点pi ,F(z)可由留数计算公式可由留数计算公式求得求得:z ze sT (s-pi)riF(s)F (z)=1d ri -1(r1)! dsri -1s=pii=1n式中式中 ： ri 为为s=pi 的重极点数的重极点数7-3 Z 变换理论变换理论 解：解： 例例 求求F(s)的的z变换变换F(z)。S+3 (S+1)(S+2)F (s)=z zeST S=-1 F(z)=(S+1)S+3 (

14、S+1)(S+2)z zeST S=-2 +(S+2)S+3 (S+1)(S+2)z ze 2T 2zF (z)= ze T z2+z(e-T -2e-2T )=z2-(e-T +e-2T )z+e -3T7-3 Z 变换理论变换理论三、三、Z变换的基本定理变换的基本定理1. 线性定理线性定理a1和和a2为常数为常数 2实数位移定理实数位移定理 z变换的基本定理为变换的基本定理为z变换的运变换的运算提供了方便。算提供了方便。 Za1 f1(t) a2 f2(t) = a1 F1(z) a2 F2(z)Z f (t kT ) = z kF(z)求求Z t T Z t T = Z t z -1 T

15、z (z1)2T(z1)2z -1=例例 解解 ： 7-3 Z 变换理论变换理论3超前定理超前定理f (kT)z-kZ f(t+k1T)=z k1F(z)-zk1k11k=0 例例 求求1(t-2T)的的Z变换变换解：解： Z1(t+2T )=z2zz1-z2 f (0)z0+f (T)z-1z3z1z2z= 4复数位移定理复数位移定理Z f (t)e at =F(ze at) 例例 求求te-at 的的Z 变换。变换。 解：解： Zteat =T zeaT (zeaT1)25初值定理初值定理 t00Lim f(t) = lim F(z)z6终值定理终值定理 tLim f(t) = lim (

16、z-1)F(z)z117-3 Z 变换理论变换理论四、四、Z 反变换反变换Z 反变换：反变换：记作记作 从函数从函数F(z)求出原函数求出原函数f*(t)的过程的过程Z -1 F (z) = f * (t) 由于由于F(z)只含有连续函数只含有连续函数f(t)在采样时在采样时刻的信息，因而通过刻的信息，因而通过z反变换只能求得连反变换只能求得连续函数在采样时刻的数值。求反变换一续函数在采样时刻的数值。求反变换一般有两种方法。般有两种方法。7-3 Z 变换理论变换理论可知：可知： 得：得：按按Z-1的升幂级数展开，即的升幂级数展开，即 1长除法长除法b0zm + b1zm1 + + bma0zn

17、 +a1zn1 + + anF (z)=(m n)设设 F (z)=c0+c1z1+c2z 2+ f (0) = c0 , f (T ) = c1 , f (2T ) = c2 , f * (t)=c0(t)+c1(t T)+c2(t2T)+ 7-3 Z 变换理论变换理论 例例 求求F(z)反变换反变换f*(t) 。解：解： zz1F (z)= 用用F(z)的分子除以分母，得的分子除以分母，得=1+z1+z2+z3+ zz1F (z)=f *(t)=(t)+(t T)+(t 2T)+ 7-3 Z 变换理论变换理论 例例 求求F(z)反变换反变换f*(t) 。解：解： F (z)=z(z+1)(

18、z+2)ZF (s)=(t-T)-3(t-2T)+7(t-3T)-15(t-4T)+ F (z)=z z2+3z+2=0+z-1-3z-2+7z-3-15z-4 7-3 Z 变换理论变换理论 2部分分式法部分分式法 先将先将F(z)/z展开为部分分式，再把展展开为部分分式，再把展开式的每一项都乘上开式的每一项都乘上Z后，分别求后，分别求Z反变反变换换并求和。并求和。 例例 求求F(z)反变换反变换f*(t) 。 F (z) =0.5z(z1)(z0.5)解：解： 0.5(z1)(z0.5) F(z)z=1 z11 z0.5 = z z1z z0.5 F(z)= 即即 f (kT)=1 0.5k

19、k = 0,1,2 f * (t) = f (0)(t)+ f (T)(t T )+f(2T)(t 2T)+ 则则 7-3 Z 变换理论变换理论例例 求求F(z)反变换反变换f*(t) 。 解解: F (z)=(e-aT)z(z1)(ze-aT)F(z)z1 z 11 ze-aT =(1e-aT)z(z1)(ze-aT) =F(z)=z z 1z ze-aT f (kT)=1e-akT k = 0,1,2 8k=0 (1e-akT )(tkT) f * (t )= 7-3 Z 变换理论变换理论3留数计算法留数计算法 已知函数已知函数F (z)及其全部极点及其全部极点pi ,可可由留数计算公式求

20、由留数计算公式求z反变换反变换: F(z)zk-1(z-pi)rif (kT)=1d ri -1(r1)! dzri -1z=pii=1n式中式中 ： ri 为为z=pi 的重极点数的重极点数7-3 Z 变换理论变换理论例例 求求F(s)的的z变换变换F(z)。z (z-0.5)(z-1)2F (s)= 解：解： z=0.5 f(kT)=zk (z-0.5)(z-1)2(z-0.5)(2-1)! dzd1z=0.5 +zk (z-0.5)(z-1)2(z-1)21 k10.5-=(0.51)2+0.5k(1-0.5)2=4(0.5k -1)+2k7-3 Z 变换理论变换理论一、离散系统的数学定

21、义一、离散系统的数学定义在离散时间系统理论中，所涉及的在离散时间系统理论中，所涉及的数字信号数字信号总是以总是以序列的形式序列的形式出现，即出现，即输入序列：输入序列：.) , 2 , 1 , 0( ),( nnr输出序列：输出序列：.) , 2 , 1 , 0( ),( nnc离散系统：离散系统：将输入序列变换为输出序列的一种变换关系。将输入序列变换为输出序列的一种变换关系。记作记作)()(nrFnc 这里，这里，r(n)和和c(n)可以理解为可以理解为t=nT 时时，系统的输入序列，系统的输入序列r(nT)和输出序列和输出序列c(nT)，T为采样周期。为采样周期。7-4 离散系统的数学模型

22、离散系统的数学模型1、线性离散系统：、线性离散系统：满足线性叠加原理的离散系统，即下列关系成立：满足线性叠加原理的离散系统，即下列关系成立：为任意常数，则为任意常数，则和和其中其中，且有，且有，若若banbrnarnrnrFncnrFnc)()()()()()()(212211 )()()()()()()()(212121nbcnacnrbFnraFnbrnarFnrFnc 2、线性定常离散系统：、线性定常离散系统：输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统。输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统。若若r(n)c(n)则，则，r(n-k)c(n-k)线性定常离散系统可用线性定常离散系统可用

23、线性定常（常系数）差分方程线性定常（常系数）差分方程描述。描述。7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型二、线性常系数差分方程及其解法二、线性常系数差分方程及其解法对于一般的线性定常离散系统，对于一般的线性定常离散系统，k 时刻的输出时刻的输出c(k)1）与）与k 时刻的输入时刻的输入r(k)有关；有关；2）与）与k 时刻以前的输入时刻以前的输入r(k-1)、r(k-2) 、有关；有关；3）与）与k 时刻以前的输出时刻以前的输出c(k-1)、c(k-2)、有关。有关。1、数学描述：、数学描述：)()1()1()()()1()2()1()(110121mkrbmkrbkrbkrbnkcank

24、cakcakcakcmmnn 上式亦可表示为：上式亦可表示为： mjjniijkrbikcakc01)()()(式中，式中，ai (i=1, 2, , n)和和bj (j=0, 1, , m)为为常系数，常系数，m n。1）用）用n阶后向差分方程阶后向差分方程来描述：来描述：7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型2 2）用）用n n阶前向差分方程阶前向差分方程来描述：来描述：)()1()1()()()1()1()(11011krbkrbmkrbmkrbkcakcankcankcmmnn 上式亦可表示为：上式亦可表示为： mjjniijmkrbinkcankc01)()()(式中，式中，a

25、i (i=1, 2, , n)和和bj (j=0, 12, , m)为为常系数，常系数，m n。2、差分方程的解法：、差分方程的解法：1）迭代法）迭代法若已知差分方程，且给定输出序列的初值，则可以利若已知差分方程，且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型例：已知差分方程例：已知差分方程)2(6)1(5)()( kckckrkc输入序列输入序列r(k)=1，初始条件初始条件c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求试用迭代法求输出序列输出序列c(k)，k=0, 1, 2,

26、, 10。解：根据初始条件及递推关系，得解：根据初始条件及递推关系，得1)1(0)0( cc6)0(6)1(5)2()2( ccrc25)1(6)2(5)3()3( ccrc90)2(6)3(5)4()4( ccrc86526)8(6)9(5)10()10( 301)3(6)4(5)5()5( ccrcccrc7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型2）z变换法变换法对差分方程两边取对差分方程两边取z变换，并利用变换，并利用z变换的实数位移定理，变换的实数位移定理，得到以得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取取z反变换，求得输出序列反变换

27、，求得输出序列c(k)。0)(2)1(3)2( kckckc)()()(10 knnkznTezEzkTte例例6：用：用z变换法求解下列二阶差分方程变换法求解下列二阶差分方程0)(2)(3)2( tcTtcTtc设设初始条件初始条件c(0)=0，c(1)=1。解：该差分方程又可以写成如下形式：解：该差分方程又可以写成如下形式：对差分方程的每一项进行对差分方程的每一项进行z变换，根据实数位移定理变换，根据实数位移定理7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型)(3)0()(3)1(3zzCczCzkc )(2)(2zzCkc 所以，差分方程变成如下代数方程所以，差分方程变成如下代数方程zzC

28、zz )()23(2解得解得23)(2 zzzzC21 zzzz求出求出z反变换反变换 0)()2()1()(nnnnTttc , 2 , 1 , 0)2()1()( kkckk，或或得得)1()0()()2(12 zcczCzkczzCzzcczzCz )()1()0()(2227-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 在连续系统的分析中，用传递函数来在连续系统的分析中，用传递函数来表示系统的数学模型。在采样控制系统的表示系统的数学模型。在采样控制系统的分析中则用脉冲传递函数作为数学模型。分析中则用脉冲传递函数作为数学模型。三 、脉冲传递函数的定义、脉冲传递函数的定义r(t)G(s)Tr

29、*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)G(z)采样系统的结构如图采样系统的结构如图其中其中 R(z)=Zr* (t )C(z)=Zc* (t )脉冲脉冲传递函数的定义：传递函数的定义： 零初始条件下，离散输出信号的零初始条件下，离散输出信号的Z Z 变变换与离散输入信号的换与离散输入信号的Z Z变换之比。变换之比。C (z)R(z)G(z) =7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 大多数采样系统的输出大多数采样系统的输出是连续信号是连续信号c(t)c(t)而不是离散信号而不是离散信号 c c* *(t)(t)，为了应用脉为了应用脉冲传递函数的概念，通常在输出端虚设一冲传递函数的概

30、念，通常在输出端虚设一个采样开关，如图中虚线所示，它与输入个采样开关，如图中虚线所示，它与输入端采样开关同步工作。端采样开关同步工作。Tc*(t)C(z)G(z)R(z)TD(s)r(t)r*(t)c(t)G1(s)G2(s)输出的采样信号可根据下式求得输出的采样信号可根据下式求得c* (t )=Z-1C(z)=Z -1G(z) R(z) 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型四、开环系统的脉冲传递函数四、开环系统的脉冲传递函数 采样系统的脉冲传递函数的求取与采样系统的脉冲传递函数的求取与连续系统求传递函数类似。但脉冲传递连续系统求传递函数类似。但脉冲传递函数与采样开关的位置有关。当采样

31、系函数与采样开关的位置有关。当采样系统中有环节串联时，根据它们之间有无统中有环节串联时，根据它们之间有无采样开关，其等效的脉冲传递函数是不采样开关，其等效的脉冲传递函数是不相同的。相同的。7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型1串联环节间无采样开关串联环节间无采样开关 G G1 1(s)(s)和和G G2 2(s)(s)的两个环节相串联如图：的两个环节相串联如图： G1G2(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)d(z)G1(s)G2(s)= G1(s)G2(s)C (s)R(s)G(s) =由图可见由图可见 Z Z变换变换: := ZG1(s)G2(s)=G1G2

32、(z)C (z)R(z)G(z) = 两个期间无采样开关串联环节的脉两个期间无采样开关串联环节的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数冲传递函数，等于这两个环节传递函数的乘积的的乘积的Z变换。变换。7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型例例 求系统的脉冲传递函数求系统的脉冲传递函数G(z)G(z)。解：解： 1s+aG1(s)=1(s+a)(s+b)G(s)=G1(s)G2(s)=s+bG2(s)= 1( 1b-a- 1s+a) 1s+b= G(z)=Z( 1b-a- 1s+a) 1s+b 1bazz-e-aT -=zz-e-bT z(e-aT-e-bT) (z-e-aT)( z-e-bT

33、) 1ba=7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型2串联环节间有采样开关串联环节间有采样开关 当两串联环节间有采样开关时：当两串联环节间有采样开关时：G1(z)G2(z)G(z)r(t)Tr*(t)c(t)R(z)Tc*(t)C(z)d*(s)d(t)TD(z)G1(s)G2(s)可得：可得：D(s )=G1(s)R* (s)C(s )=G2(s)D* (s)D(z )=G1(z)R(z)C(z )=G2(z)D(z)= G1(z)G2(z)R(z)得得 C (z)R(z)G(z) = G1(z)G2(z) 两个其间有采样开关串联环节的脉两个其间有采样开关串联环节的脉冲传递函数，等于这两

34、个环节的脉冲传冲传递函数，等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。递函数的乘积。7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型例例 求系统的脉冲传递函数求系统的脉冲传递函数G(z)G(z)。 解：解： 1s+aG1(s)=s+bG2(s)= 1G1(z)=zz-e-aT G2(z)=zz-e-bT G1(z)G2(z) G1G2(z) z2 (z-e-aT)( z-e-bT)G(z)=G1(z)G2(z)=7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型3带零阶保持器的开环系统的脉带零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数冲传递函数 r(t)Tr*(t)c(t)Tc*(t)C(z)1-es-TSG1(s) 系

35、统结构如图系统结构如图:开环传递函数为开环传递函数为 G1(s) s=(1-e-Ts)G(s) =(1-e-Ts ) sG1(s)设设 G1(s)sG2(s)=则则 G(s) = (1-e-Ts )G2(s) ZG2(s) = G2(z)Ze-TsG2(s) = z-1G2(z)G(z ) = Z(1-e-Ts )G2(s) = (1-z-1 )G2(z)7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型例例 系统结构如上图所示，求系统结构如上图所示，求G(z).G(z).解：解： T = 1S1S(S+1)G1(s)=1S2(S+1)G2(s)=(1-e-Ts )SG(s)=1S(S+1)G2(z

36、) = Z1S2(S+1) = Z1S2-1S+1S(S+1) z(z-e-1)-(z-1)( z-e-1) + (z-1)2( z-1)2(z-e-1)=0.386 z+0.264z2-1.368z+0.386 =e-1z+(1-2e-1)(z-1)(z-e-1)=G(z) = (1-z-1)G2(z)=(z-1)z z(z-e-1)-(z-1)( z-e-1) + (z-1)2( z-1)2(z-e-1)7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型五、闭环系统的脉冲传递函数五、闭环系统的脉冲传递函数 在连续系统中，闭环传递函数和开环传在连续系统中，闭环传递函数和开环传递函数之间有着确定的关

37、系，而在采样系递函数之间有着确定的关系，而在采样系统中，闭环脉冲传递函数还与采样开关的统中，闭环脉冲传递函数还与采样开关的位置有关。位置有关。 Z 变换是对离散信号进行的一种数学变换是对离散信号进行的一种数学变换，为了方便分析系统中的连续信号都变换，为了方便分析系统中的连续信号都假设离散化了，用虚线表示采样开关。假设离散化了，用虚线表示采样开关。7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型r(t)e(t)c(t)G(s)H(s)b(t)r*(t)TTTTc*(t)C(z)e*(t)E(t)R(z)b*(t)B(z)(z)（1）采样系统的结构如图：）采样系统的结构如图：E(s)=R(s)B(s)

38、E(z)=R(z)B(z)B(z)=GH(z)E(z)B(s)=G(s)H(s)E*(s) R(z) 1+GH(z) E(z)=E(z)=R(z)GH(z)E(z)C(s)=G(s) E*(s)C(z)=G(z)E(z) R(z)G(z) 1+GH(z) C(z)= G(z) 1+GH(z) =C (z)R(z)(z) =7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型（2 2）采样系统结构如图）采样系统结构如图r(t)e(t)c(t)E(s)TC(z)G2(s)d*(s)D(z)C(s)c*(t)R(s)H(s)G1(s)d(t)TD(s)B(s)D(s )=R(s)G1(s)D*(s)G1(s

39、)G2 (s)H(s) D(s )=E(s)G1(s)=R(s)G1(s)-B(s)G1(s)E(s )=R(s)-B(s)B(s )=C(s)H(s)=D*(s)G2(S)H(s)D(z )=RG1(z)D(z)G1G2H(z) C(s )=D*(s)G2(s)C(z )=D(z)G2(z)RG1(z) 1+G1G2H(z) D(z)=RG1(z)G2(z) 1+G1G2H(z) c(z)= 对于这种系统，只能求出对于这种系统，只能求出C(z),C(z),求不求不出系统的闭环脉冲传递函数。出系统的闭环脉冲传递函数。7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型（3 3）采样系统结构如图）采样系

40、统结构如图 连续系统输出的拉氏变换为连续系统输出的拉氏变换为G1(s)G2(s)H(s)c*(t)c(t)C(z)e(t)E(s)r(t)R(s)TT-e*(t)TTG1(s)G2(s)R(s)1+G1(s)G2(s)H(s) C(s)=G1(z)G2(z)R(z)1+G1(z)G2(z)H(z) C(z)=可得可得:系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为 =C (z)R(z)G1(z)G2(z)1+G1(z)G2(z)H(z) 环节之间都有采样开关，可直接写环节之间都有采样开关，可直接写出输出的出输出的Z Z变换式。变换式。 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型（4 4）采

41、样系统结构如图）采样系统结构如图G1(s)G2(s)H(s)c*(t)C(z)c(t)e(t)r(t)R(s)TT- 先求出系统输出的拉氏变换，再先求出系统输出的拉氏变换，再根据采样开关的位置写出输出根据采样开关的位置写出输出Z Z 变换变换的表达式。的表达式。内环的传递函数：内环的传递函数： G2(s)1+G2(s)H(s) G(s)=系统输出拉氏变换：系统输出拉氏变换： G1(s)G2(s)R(s)1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s) C(s) =G1(z)G2(z)R(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z) C(z) =系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为 G1(

42、z)G2(z)1+G2H(z)+G1(z)G2(z) C(z) R(z)=7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型-T+T G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)c*(t)c(t)C(z)r(t)R(s)（5 5）采样系统结构如图）采样系统结构如图由系统的结构图可得由系统的结构图可得R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)G4(s) C(s) =R(s)G5(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)G4(s) +R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+R(s)G5(s)G4(s)1+ G2(s)G3(s)G4(s) =RG1(z)G2G3

43、G4(z)+RG5G4(z) 1+G2G3G4(z) C(z) =7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 在采样系统的稳定性分析中，可以在采样系统的稳定性分析中，可以从从s平面和平面和z平面之间的关系中，找出分平面之间的关系中，找出分析采样控制系统稳定性的方法。析采样控制系统稳定性的方法。 二、二、 z平面内的稳定条件平面内的稳定条件 一、一、 z平面和平面和s平面的关系平面的关系 三、三、 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 四、四、 稳态误差稳态误差7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 z变量和变量和s变量的关系为变量的关系为: 其中其中s是复变量是复变量: 一、一、

44、z平面和平面和s平面的关系平面的关系z=eTsS=+jz=eTs=eTejT=zej7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差s域到域到z域的基本映射关系式为：域的基本映射关系式为：TzezT ,1、s平面的虚轴（平面的虚轴（ ） js , 0Tzz , 1):( z平面上的轨迹是以平面上的轨迹是以原点为圆心的单位圆。原点为圆心的单位圆。 s23 s2 s23 s2主要带主要带次要带次要带次要带次要带Ts 2 采样角频率：采样角频率：22:ss 当当z平面上的相应点沿单位圆从平面上的相应点沿单位圆从z平面平面01s平面平面j0 s平面虚轴在平面虚轴在z平面上的映射平面上的映射

45、ReReIm7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差2、s平面的左半平面（平面的左半平面（ ）TzezT , 1 s平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z平面单位圆内的点。平面单位圆内的点。3、s平面的右半平面（平面的右半平面（ ）TzezT , 1 s平面的右半平面映射到平面的右半平面映射到z平面单位圆内外的点。平面单位圆内外的点。7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差系统稳定系统稳定临界稳定临界稳定系统不稳定系统不稳定0=00z1 s平面和平面和z平面的稳定域平面的稳定域0jS平面平面稳定区稳定区0ImRez平面平面稳定区稳定区7-5 离散系统

46、的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 二、二、 z平面内的稳定条件平面内的稳定条件 采样系统稳定的条件：采样系统稳定的条件： 闭环脉冲传递函数的极点均位于闭环脉冲传递函数的极点均位于z平平面上以原点为圆心的单位圆内。即面上以原点为圆心的单位圆内。即zi1 若闭环脉冲传递函数有位于单位圆若闭环脉冲传递函数有位于单位圆外的极点，则闭环系统是不稳定的。外的极点，则闭环系统是不稳定的。7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 例例 采样控制系统的结构如图所示。采样控制系统的结构如图所示。 试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。 r(t)e(t)c(t)G(s)TC(s)R

47、(s)G(s)=S(S+4)1T=0.25 s解：解： G(z)=Z S(S+4)1 41S1S+41( - )=Z = 41z-1zz-e-4Tz( - )(1-e-4T)z/4(z-1)(1-e-4T)=(z-1)(z-e-4T)+(1-e-4T)z/4(1-e-4T)z/4G(z)1+G(z)(z)= 特征方程式为特征方程式为z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605j0.04444141(z-1)(z-e-4T)+ (1-e-4T)z=0即即 所以系统是稳定的。所以系统是稳定的。z1=z20u0u=0z=x2+y2 =1z=x2+y2 1 将将Z Z平面上的特征方程式经过平面

48、上的特征方程式经过ZWZW变换，就可变换，就可应用劳斯判据判别系统的稳应用劳斯判据判别系统的稳定性。定性。7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差例例 已知采样控制系统闭环特征方程式已知采样控制系统闭环特征方程式试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。解：解： D(z)=45z3-117z2+119z-39=045( w+1w-1w+1w-1w+1w-1 )3-117( )2+119( )-39=0 45(w+1)3-117(w+1)2(w-1)+119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0 将将ZWZW变换变换代入特征方程式：代入特征方程式： 经整理得经整理得 w3

49、+2w2+2w+40=0列劳斯表列劳斯表 w3w2w1w00040240-1821 有二个根在有二个根在w右半平面右半平面,即有两即有两个根在个根在Z 平面上的平面上的单位圆外，故系统单位圆外，故系统为不稳定。为不稳定。7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差例：例：设某闭环离散系统结构图如图所示，已知采设某闭环离散系统结构图如图所示，已知采样周期样周期T分别为分别为0.1(s)和和0.01(s)，试确定使系统稳试确定使系统稳定的定的K值范围。值范围。r(t)e (t)c(t)C*(s)e(t)E (s)c*(t)Ks(0.1s+1)解：系统开环脉冲传递函数为解：系统开环脉

50、冲传递函数为)10(10)()( ssKsGzGH)(1()1(1010TTezzzeK 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为0)(1()1(1)(11010 TTezzzeKzGH0)1()(1(1010 zeKezzTT代入上式得代入上式得，令令)( 1 . 011sTz 0)632. 0736. 2(264. 1632. 02 KK 列劳斯表列劳斯表0 632. 0736. 2 0 264. 1 632. 0736. 2 632. 0 012KKK 为保证系统稳定，必须为保证系统稳定，必须 0632. 0736. 20632.

51、0KK T=0.1(s)时，时，使系统稳定的使系统稳定的K值范围：值范围：0K4.33。7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差当当T=0.01(s)时，同样的步骤可得时，同样的步骤可得 域中的特征方程为域中的特征方程为0)1 . 08 . 3(2 . 01 . 02 KK 列劳斯表列劳斯表0 1 . 0.83 0 .20 1 . 0.83 1 . 0 012KKK 为保证系统稳定，必须为保证系统稳定，必须 01 . 08 . 301 . 0KK T=0.01(s)时，时，使系统稳定的使系统稳定的K值范围：值范围：0K m ) (z-z1)(z-z2) (z-zn) zz1

52、 C(z) =b0zm+b1zm-1+ +bm-1z+bm展开成部展开成部 分分式分分式 =+ + A1 z -z1C(z)z A0 z -1 An z -zn系统的输出响应：系统的输出响应：+ + zA1 z -z1C(z)= zA0 z -1 zAn z -znc(kT) = A0 1(kT) i=1 n+Ai (zi )k下面分两种情况进行讨论。下面分两种情况进行讨论。7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正1闭环极点为实数极点闭环极点为实数极点 Zi为正实数极点时：为正实数极点时：10ImRec(kT) = A0 1(kT) i=1 n+Ai (zi )k| zi | 17-7 离

53、散系统的数字校正离散系统的数字校正ZI为负实数极点时：为负实数极点时：系统的瞬态系统的瞬态分量为振荡函数分量为振荡函数10ImRec(kT) = A0 1(kT) i=1 n+Ai (zi )k| zi | 1 发散震荡发散震荡 7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正2闭环极点为复数极点闭环极点为复数极点 设复数极点设复数极点 zi = |zi |e -ji zi = |zi |e ji i |zi |zi 的模的模zi 的相角的相角ImRe0 zi |zi |i 设待定系数设待定系数 Ai = |Ai |e j i Ai = |Ai |e -j i |Ai | 、i 复数系数的复数系数

54、的 模和相角模和相角一对复数极点一对复数极点的瞬态分量的瞬态分量c(kT) = Ai (zi )k + Ai (zi )k= |Ai |zi |k e j( ki+i ) + |Ai |zi |k e -j( ki+i ) = 2|Ai |zi |k cos(ki+i )= 2|Ai |zi |k e j( ki+i ) + e -j( ki+i ) 2 | zi | = 1等幅震荡函数等幅震荡函数| zi | 1发散震荡函数。发散震荡函数。i 越大瞬越大瞬态分量的振态分量的振荡频率越高。荡频率越高。7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正一、数字控制器的脉冲传递函数一、数字控制器的脉冲传

55、递函数离散系统的数字校正：离散系统的数字校正：根据对离散系统性能指标的根据对离散系统性能指标的要求确定数字校正装置（数字控制器）的过程。要求确定数字校正装置（数字控制器）的过程。具有数字控制器的离散系统如图所示。具有数字控制器的离散系统如图所示。图图7-31 具有数字控制器的离散系统具有数字控制器的离散系统R(s)E (s)C(s)C*(s)H(s)D(z)G(s)E(s)E1(s)E1*(s)R*(s)D(z)：数字控制器的脉冲传递函数。数字控制器的脉冲传递函数。G(s)：保持器与被控对象的传递函数。保持器与被控对象的传递函数。H(s)：反馈通道的传递函数。反馈通道的传递函数。7-7 离散系

56、统的数字校正离散系统的数字校正设设H(s)=1， G(s)的的z变换为变换为G(z)，可求得可求得)()()()(1)()()(zRzCzGzDzGzDz )()()()(11)(zRzEzGzDze )(1)()()(zzGzzD )()()(1)(zzGzzDee 或者，或者，显然，有显然，有)(1)(zze 离散系统的数字校正问题是：离散系统的数字校正问题是：1）由性能指标要求确定）由性能指标要求确定 (z)或者或者 e(z)；2）由）由 (z)或者或者 e(z)确定确定D(z)，并加以实现。并加以实现。7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正二、最少拍系统设计二、最少拍系统设计在采

57、样过程中，通常称在采样过程中，通常称一个采样周期为一拍一个采样周期为一拍。最少拍系统：最少拍系统：在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样点上稳态误差为零的离散系统。采样点上稳态误差为零的离散系统。常见的典型输入作用：常见的典型输入作用：1）单位阶跃函数：）单位阶跃函数：1111)( 1 zzzt2）单位斜坡函数：）单位斜坡函数：2112)1()1( zTzzTzt3）单位加速度函数：）单位加速度函数：31112322)1()1(21)1(2)1(21 zzzTzzzTt7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正所以，典型输入可以表示为

58、一般形式：所以，典型输入可以表示为一般形式：mzzAzR)1()()(1 A(z)为不含为不含(1-z-1)因子的因子的z-1多项式。多项式。误差信号误差信号e(t)的的z变换为：变换为：meezzAzzRzzE)1()()()()()(1 由由z变换的终值定理，离散系统的稳态误差为变换的终值定理，离散系统的稳态误差为)()1(lim)(11zEzez 上式表明，使上式表明，使e( ) =0的条件是的条件是 e(z)中包含有中包含有 (1-z-1)m 的的因子因子，即，即)()1()()1(lim111zzzAzemz )()1()(1zFzzme 式中，式中，F(z)为不包含为不包含 (1-z-1) 因子的多项式。因子的多项式。7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正为了使所求为了使所求D(z)的简单，阶数较低，可取的简单，阶数较低，可取F(z)=1，即，即mezz)1()(1 又又)(1)(zze 即即 (z)的的全部极点都位于全部极点都位于z平面上的原点。平面上的原点。 210)2()()0()()(zTezTeeznTezEnn最少拍系统要求上式自某个最少拍系统要求上式自某个k开始，在开始，在n k时