数列的极限与函数的极限

1、 第2章 极限与连续 第3章 导数与微分 第4章 中值定理与导数的应用 第5章 不定积分微积分（上）的章节内容 一、数列的极限 二、函数的极限 三、无穷大量与无穷小量 四、极限的性质与运算法则 五、极限存在的定理与两个重要极限 六、函数的连续性第二章 极限与连续 概念的引入 数列的定义 数列的极限 小结思考题第一节 数列的极限1 1、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;112l第第一一天天截截下下的的杖杖长长度度为为, ,nl ll12一、概念的引入;2212l第第二二天天截截下下的的杖杖长长度度为为;12nnl第第n n天天截截下下的的杖杖长长

2、度度为为“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽2 2、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽2 2、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以

3、至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘

4、徽刘徽“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”2 2、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽R正六边形的面积正六边形的面积1S正正 边形的面积边形的面积126 nnS,123nS SSS正十二边形的面积正十二边形的面积2S二、数列的定义定义定义:按一定次序排列起来的按一定次序排列起来的无穷无穷多个多个数数 ,12na aa (1) 称为称为无穷

5、数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,na称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为na. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn 1( 1) nnn注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一 动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取12,.na aa1a3ana2a2.数列是下标函数数列是下标函数 其实质上是定义在正整数集其实质上是定义在正整数集N*上的函数上的函数4a*),

6、(Nnnfan.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当

7、观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的

8、极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限1( 1),11.nnnan 当当无无限限增增大大时时无无限限接接近近于于无限趋近于n21无限趋近于nn) 1(1不趋近于确定常数n) 1(00, 时无限增大当 n 研究当 时， an 是否无限趋近于某个确定的常数，这就是数列极限的思想.n数列极限的直观数列极限的直观定义定义: 设设 na是一个数列， 如果存在常数是一个数列， 如果存在常数 A， 使得当， 使得当 n无限增大时，无限增大时，an 无限趋近于无限趋近于 A，则称，则称 A 是是数列的极数列的极限，记为限，记为 limnnaA，或，或n

9、aA，. n 例如例如2n21n)1(1 n)1(1nnn 这时这时，也称数列也称数列an收敛于收敛于 A，否则，如果不存在这，否则，如果不存在这样的常数样的常数 A，则称数列，则称数列an发散。发散。 收敛收敛发散发散问题问题: “无限增大无限增大”和和“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如如何用数学语言刻划它何用数学语言刻划它.1na nnn11)1(1 ,1001给定,100时时只要只要 n11,100na 有有,10001给定,1000时时只要只要 n, 0给定,)1(时时只要只要 Nn1.na有有成成立立1( 1),11.nnnan 当当无无限限增增大大时时无无限限接接近近于于

10、11,1000na 有有数列极限的分析数列极限的分析定义定义 设设有有数列数列na和和常常数数A，如果对于任意给定如果对于任意给定的正数的正数 ， 存在正存在正整整数数N, ,使得使得当当Nn 时时, ,总有总有不不等式等式 naA 成立成立, ,则则称常数称常数A是数列是数列 na 的极限的极限。 注意：注意：.;1不不等等式式刻刻划划了了与与 的的无无限限接接近近nnaAaA.;2刻刻划划了了 无无限限增增大大nNn的值不唯一。越大，并且越小有关，与任意给定的NNN. 31a2a2Na1Na3a几何解释几何解释: : 2AAA,(,),().nnNaAAN当当时时 所所有有的的点点都都落落

11、在在内内只只有有有有限限个个 至至多多只只有有个个 落落在在其其外外:定义定义N lim0,0,.nnnaANnNaA 当当时时 恒恒有有数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.目前仅能用其证明极限。目前仅能用其证明极限。注意：注意：（其中（其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至至少少有有一一个个或或存存在在 ）借助记号，数列极限的分析定义还可表达为借助记号，数列极限的分析定义还可表达为例例 1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1na1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1na要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)

12、1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即 . 021lim nn证明：证证, 0021 n由 .021limnn 021 nn2112 n1log2 n,1log, 1max2N故取则 n N 时,由极限的定义, 得). 1 | ( 0lim aann一般有例例 2四.小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;练练 习习 题题 自变量趋向有限值时函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 思考 小结第二节 函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过

13、过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf 000.表表示示的的过过程程xxxxx0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 , ,存在正数存在正数 , ,使使得当得当 00 xx时时, ,总有不等式总有不等式 Axf)( 成立成立, ,则常数则常数A为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 定义定义 .)(,0, 0, 00 A

14、xfxx恒有恒有时时使当使当1.1.定义定义: :2.2.几何解释几何解释: :)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例1).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0

15、任取任取,00时时当当 xx例例2.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx虽然函数在点虽然函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx3.3.单侧极限单侧极限: :例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00

16、xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近000();xxxx记记作作或或,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近000();xxxx记记作作或或yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作000: lim( )lim( )lim( ).xxxxxxf xAf xf xA定定理理.lim0不存在不存在验证验证xx

17、xyx11 o00limlimxxxxxx左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例4证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx0lim11x.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一

18、、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函

19、数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: :如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限

20、接近”.定义定义 对于任意给定的正数对于任意给定的正数 , ,一定一定存在存在 0X, ,使得使得当当Xx 时，总有时，总有 Axf)(, , 成立， 则称成立， 则称常数常数A为函为函数数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作 )()()(lim xAxfAxfx当当或或. . 定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1.1.定义定义: :xxysin 2.2.几何解释几何解释: :AAX X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxA:.10情形

21、情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim3.3.另两种情形另两种情形: : Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfxfxxxxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin要使x1, 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.1|x只需使四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻