基于闭环系统辨识的数字前馈控制

1、3.4 基于闭环系统辨识的数字前馈控制基于闭环系统辨识的数字前馈控制 在闭环系统辨识的基础上在闭环系统辨识的基础上, ,本节讨论基于闭环系统逆的控制器本节讨论基于闭环系统逆的控制器设计问题。设计问题。3.4.1 3.4.1 零相差前馈控制基本原理零相差前馈控制基本原理 通常通常, , 前馈控制是基于不变性原理前馈控制是基于不变性原理, ,即将前馈控制环节设计成即将前馈控制环节设计成待校正的闭环系统的逆待校正的闭环系统的逆, ,从而使校正后系统的输入输出传递函数为从而使校正后系统的输入输出传递函数为1 1，从而达到精确控制。但当闭环系统为非最小相位系统时，这种方法从而达到精确控制。但当闭环系统为

2、非最小相位系统时，这种方法就不适用了。就不适用了。这是由于这是由于非最小相位系统的逆非最小相位系统的逆会出现不稳定的极点。会出现不稳定的极点。 随着计算机技术的发展，现代高精度伺服控制中，采样频率随着计算机技术的发展，现代高精度伺服控制中，采样频率通常较高，采样周期的范围在通常较高，采样周期的范围在 - 之间。由于采样频率很之间。由于采样频率很高，离散化的闭环系统一般为非最小相位数字系统，即闭环系统的高，离散化的闭环系统一般为非最小相位数字系统，即闭环系统的零点至少有一个在单位圆之外。因此非最小相位数字系统在实际工零点至少有一个在单位圆之外。因此非最小相位数字系统在实际工程应用中非常广泛。程应

3、用中非常广泛。 对于非最小相位数字系统，基于不变性原理的前馈控制器设对于非最小相位数字系统，基于不变性原理的前馈控制器设计方法是不适用的，这是因为当闭环系统为非最小相位数字系统时，计方法是不适用的，这是因为当闭环系统为非最小相位数字系统时，用不变性原理设计前馈控制器，即利用闭环系统的逆设计控制器，用不变性原理设计前馈控制器，即利用闭环系统的逆设计控制器，则闭环系统的不稳定零点则闭环系统的不稳定零点 将成为前馈控制器将成为前馈控制器的极点，造成前馈环节存在不稳定极点，控制系统不稳定。的极点，造成前馈环节存在不稳定极点，控制系统不稳定。0.1ms2msc( | ( )0 | 1)zG zz 零相差

4、跟踪控制器零相差跟踪控制器(ZPETC, Zero Phase Error Tracking Control)是一种数字前馈控制器，适用于闭环系统为非最小相位的数是一种数字前馈控制器，适用于闭环系统为非最小相位的数字控制系统，该控制器由日本学字控制系统，该控制器由日本学M.Tomizuka提出提出1。零相差前馈控。零相差前馈控制器通过在控制器中引入零点来补偿闭环系统的不稳定零点，当指令制器通过在控制器中引入零点来补偿闭环系统的不稳定零点，当指令超前值已知时，校正后的系统在全频域范围内相移为零，在低频范围，超前值已知时，校正后的系统在全频域范围内相移为零，在低频范围，增益近似为增益近似为1。 零

5、相差前馈跟踪控制在数控加工中心、坐标仪以及绘图仪等高精零相差前馈跟踪控制在数控加工中心、坐标仪以及绘图仪等高精度伺服系统中得到了成功应用，有效地拓宽了系统频带。度伺服系统中得到了成功应用，有效地拓宽了系统频带。 基于零相差前馈控制器的控制系统如图基于零相差前馈控制器的控制系统如图1所示，其中所示，其中 为输入为输入指令信号，指令信号， 为系统输出，为系统输出， 为前馈控制器，为前馈控制器， 为闭环控制为闭环控制器，器， 为对象的传递函数，虚线框内为对象的传递函数，虚线框内 为闭环控制系统。设离为闭环控制系统。设离散化后的闭环系统传递函数为散化后的闭环系统传递函数为 ，则图，则图2可以进一步化简

6、，得到可以进一步化简，得到图图3。dy1()F z1()C zyp( )G s1c()G z1c()G z图图1 控制系统原理图控制系统原理图 图图2 等效框图等效框图不失一般性，不失一般性， 可以写成如下形式可以写成如下形式: （13）其中，其中， 为分母多项式，其所有的根都位于单位圆内部。为分母多项式，其所有的根都位于单位圆内部。 为为非负整数，非负整数， 为为 步延迟。步延迟。 和和 为多项式，为多项式， 中中包含了包含了 中的所有的不稳定零点（位于单位圆上或单位圆中的所有的不稳定零点（位于单位圆上或单位圆外），外）， 中包含中包含 中的所有稳定的零点（位于单位圆中的所有稳定的零点（位于

7、单位圆内）。假定闭环系统有内）。假定闭环系统有 个不稳定的零点，则个不稳定的零点，则 可以写成如可以写成如下形式：下形式： （14） d11ua1c1zBzBzGzA z11u010() , 0llBzbb zb zb1c()G z1()A z1u()Bz1a()B z1u()Bz1c()G z1a()B zddzd1c()G z1u()Bzl 显然，如果用不变性原理设计前馈控制器，则控制器表示为：显然，如果用不变性原理设计前馈控制器，则控制器表示为： 由于闭环系统的不稳定零点成为前馈控制器的极点，采用上式作为由于闭环系统的不稳定零点成为前馈控制器的极点，采用上式作为控制器会造成控制系统不稳定

8、。为了克服这种情况，对于闭环系统控制器会造成控制系统不稳定。为了克服这种情况，对于闭环系统(13)(13)，通过在控制器中引入零点通过在控制器中引入零点 来补偿闭环系统的不稳定零点来补偿闭环系统的不稳定零点 ，设计零相差前馈控制器为：设计零相差前馈控制器为： (15)(15) d1111uaz A zF zBzBz d1u112au(1)z A zBzF zBzBu( )Bz1u()Bz3.4.2 系统相移系统相移定理定理11 对于（对于（14）式定义的）式定义的 ，设，设 ，则有：，则有：（1）（2）证明：由式证明：由式(13)和和(15)，加入零相差前馈控制器后，整个系统（包括前，加入零相

9、差前馈控制器后，整个系统（包括前馈环节）的传递函数为：馈环节）的传递函数为：0, Rj TH e222uuRe()Im() , Rj Tj Tj TH eB eB e 11uuH zBz Bz1u()Bz111uuc2u()( )()(1)BzBzF zG zB (16)设系统的采样周期为设系统的采样周期为 ， 为角频率，由式为角频率，由式(14)，有，有（17） 11uu01010101010101cossincossin cossincossincoscosllllj Tj lTj Tj lTlllllBzBzbbzbzbbzbzbbebebbebebbTjTblTjlTbbTjTblTj

10、lTbbTblT01220122uusinsin coscossinsincoscossinsinRe()Im()llllllllj Tj Tj bTblTbbTblTj bTblTbbTblTbTblTB eB eT其中其中则则 u01Re()coscosj TlB ebbTblT uIm()sinsinj TlB ebTblT 22101uu22u01coscossinsin()( )(1)lllbbTblTbTblTBzBzBbbb(18)由式（由式（17）可见，）可见， 为一个非负实为一个非负实数，则数，则 也为一个非负实数，因此，加入也为一个非负实数，因此，加入零相差前馈控制器后，整

11、个系统的相移在全频域零相差前馈控制器后，整个系统的相移在全频域范围内为范围内为0。 1uuBzBz11cF zGzTcos1lTsin0lT11cF zGz由式（18）可见，在低频情况下，很小，又由于采样时间很小，故，的增益近似为1。， 通过上述分析可见，采用零相差前馈控制器，可实现系统相移在通过上述分析可见，采用零相差前馈控制器，可实现系统相移在全频范围内为零，在低频范围增益近似为全频范围内为零，在低频范围增益近似为1，从而实现高精度跟踪控制。，从而实现高精度跟踪控制。 由控制器式由控制器式(15)可见，零相差控制要求待跟踪轨迹在开始运动前可见，零相差控制要求待跟踪轨迹在开始运动前就预先知道

12、，即指令信号的超前值是已知的。在实际应用中，还有一就预先知道，即指令信号的超前值是已知的。在实际应用中，还有一类高精度伺服系统，指令的超前信息是未知的，即在采样时刻只知道类高精度伺服系统，指令的超前信息是未知的，即在采样时刻只知道该时刻和该时刻以前的指令值。对于指令超前信息未知的高精度伺服该时刻和该时刻以前的指令值。对于指令超前信息未知的高精度伺服系统，当采样时间很小时，可忽略指令的超前信息，即应用当前的指系统，当采样时间很小时，可忽略指令的超前信息，即应用当前的指令值代替指令的超前信息，从而实现零相差前馈控制。令值代替指令的超前信息，从而实现零相差前馈控制。3.4.3 仿真实例仿真实例 在闭

13、环系统辨识的基础上进行零相差控制，采样周期取在闭环系统辨识的基础上进行零相差控制，采样周期取1ms，将闭环系统的辨识模型将闭环系统的辨识模型 离散化可得：离散化可得： 可见，离散化的闭环系统有一个零点在单位圆之外，因此可见，离散化的闭环系统有一个零点在单位圆之外，因此 是一个非最小相位数字系统。闭环系统的零点是一个非最小相位数字系统。闭环系统的零点为为 ，极点为，极点为 ，增益为增益为 。 由由 的表达式（的表达式（1313）可知：）可知： ， ， ， 。-51c2-2.6651 10 (z-9.422)(z+0.5618)(z-0.9572)(z -1.949z+0.9572)Gz-5k =

14、 -2.6651 10T= 0.9745 + 0.0868i0.9745 - 0.0868i0.9572p T9.4222 -0.5618z1cGz cGs1cGzd1zz1-1u1-9.422zBz1-5-1a-2.6651 101+0.5618zBz 1-1-1-21-0.9572z1-1.949z +0.9572zA z则则 u1-9.422zBz u11-9.422B 则根据式则根据式(15), 零相差控制器的表达式为零相差控制器的表达式为2-1-2-3-41-19.422-28.38 +29.5-11.46+0.91620.00189+0.001062zzzzzF zz 可见，前馈控

15、制器的超前环节为可见，前馈控制器的超前环节为 。将控制器的系数。将控制器的系数 和和 保存在保存在zpecoeff.mat文件中，其中文件中，其中 d2zznumFdenF= -9.4222 28.3828 -29.5031 11.4557 -0.9162 0 0numF= 0 0 -0.0019 -0.0011 0 0 0denF 11uu22uu9.42289.789.42211Bz BzzzBB11cF zGz由于 则根据式则根据式(16)，控制系统输入输出传函控制系统输入输出传函的的Bode图如图图如图3所示。所示。 为了进行控制器验证，求得基于前馈控制的控制系统为了进行控制器验证，求

16、得基于前馈控制的控制系统 的低通增益为的低通增益为1，简化表达式为，简化表达式为 ，则，则对象输出值为序列对象输出值为序列 ， ， 的移动平均值，的移动平均值，即即 的的Bode图如图图如图3所示。所示。11cF zGz dddy k =-0.1328yk+1 +1.266yk -0.1328yk-111cF zGz-1-0.1328z+1.266 -0.1328z dykdyk+1dyk+2可见，在低频情况下（可见，在低频情况下（ ，即，即 时），时），相移为零，增相移为零，增益近似为益近似为1。系统输出可以高精度地跟踪输入指令。系统输出可以高精度地跟踪输入指令。0T1z 图3 系统的Bod

17、e图 位置指令取正弦信号位置指令取正弦信号 ，仿真结果如图，仿真结果如图4 4和图和图5 5所示。由仿真结果可见，取所示。由仿真结果可见，取M=1M=1时，指令的超前信息为未知，忽略时，指令的超前信息为未知，忽略指令的超前信息，采用当前的指令值代替指令的超前信息，可实现指令的超前信息，采用当前的指令值代替指令的超前信息，可实现高精度的位置跟踪，如图高精度的位置跟踪，如图4 4所示；取所示；取M=2M=2时，指令的超前信息为已知，时，指令的超前信息为已知，可实现高精度位置跟踪，如图可实现高精度位置跟踪，如图5 5所示。所示。 d0.5sin 2ytt00.511.522.53-0.8-0.6-0

18、.4-0.200.20.40.6time(s)Position tracking图4 位置跟踪结果（M=1，指令的超前信息未知）00.511.522.53-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6time(s)Position tracking图5 位置跟踪结果（M=2，指令的超前信息已知）仿真程序：仿真程序：1控制器设计控制器设计:chap9_10.m2位置跟踪位置跟踪:chap9_11.m参考文献1刘强刘强. 现代高精度数字伺服系统运动控制理论及应用研究现代高精度数字伺服系统运动控制理论及应用研究D. 北京：北京航空北京：北京航空航天大学，航天大学，20022. Tomizuka M. Zero phase error tracking algorithm for digital control. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1987, 109:65683. Tsao T C. Optimal feed-forw