第七章 离散时间系统的时域分析

1、第七章第七章 离散时间系统的离散时间系统的时域分析时域分析7.4 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解7.1 引言引言7.3 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型7.5 离散时间系统的单位样值（冲激）响应离散时间系统的单位样值（冲激）响应7.6 卷积（卷积和）卷积（卷积和）7.2 离散时间信号离散时间信号序列序列离散时间系统的离散时间系统的优点优点 精度高精度高 可靠性好可靠性好 功能灵活功能灵活 时分复用时分复用 保密性好保密性好 便于大规模集成便于大规模集成离散时间系统：离散时间系统：激励与响应都是离散时间信号的系统。激励与响应都是离散时间信号的系统。 7.1 7.1

2、引言引言 连续时间系统与离散时间系统分析方法比较连续时间系统与离散时间系统分析方法比较连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统微分方程微分方程差分方程差分方程数学模型数学模型( )H s系统函数系统函数H(z)经典法经典法卷积积分法卷积积分法时域分析时域分析经典法经典法卷积求和法卷积求和法拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换变换域分析变换域分析z变换变换离散傅里叶变换离散傅里叶变换()H j频响特性频响特性()jH e离散时间系统基础理论体系离散时间系统基础理论体系离散时间系统的时域分析（第7章 时域分析）离散时间系统的变换域分析（第8章 z变换、z域分析) 基础理论基础理论数

3、字信号处理数字信号处理通信雷达声呐控制地震生物专业方向专业方向7.2 7.2 离散时间信号离散时间信号序列序列本节主要内容本节主要内容l离散时间信号离散时间信号 l离散信号的表示方法离散信号的表示方法 l离散信号的运算离散信号的运算 l常用离散信号常用离散信号 l重点：离散信号的表示方法重点：离散信号的表示方法 l难点：难点：正弦序列周期性正弦序列周期性 一、离散时间信号一、离散时间信号序列序列 l离散时间信号：离散时间信号：在时间上是不连续的在时间上是不连续的序列序列，是离，是离散时间变量散时间变量 的函数。的函数。l表示离散信号的时间函数，只在一系列分隔的时表示离散信号的时间函数，只在一系

4、列分隔的时间点上才有定义，而在其它时间间点上才有定义，而在其它时间无定义无定义l间隔可以是均匀的，也可以是非间隔可以是均匀的，也可以是非 均匀的，通常讨论假设为均匀的。均匀的，通常讨论假设为均匀的。ktokt ktf2t1t1t2t2t1. 1. 图解表示图解表示()x nT) 0( x)(Tx)2( Tx)3 ( Tx)5 ( TxnTTT2T3T4T50 x n0 x1x2x3x5xn1234504x省略省略T二、离散信号的表示方法二、离散信号的表示方法 2. 2. 有序序列表示有序序列表示1120 0.51120nnx nnnn为其它值 1, 2, 0.5,1x n 或：或：0112n

5、x n2115 . 0二、离散信号的表示方法二、离散信号的表示方法 表示表示n=0的位置的位置3. 3. 解析式表示解析式表示 0 x nn n x nn x nn12345054321 x nn1234505432112431234二、离散信号的表示方法二、离散信号的表示方法 序列的三种形式序列的三种形式0)(nxnn 0)(nxn12nnn0)(nxn1n2n2.双边双边序列：无始无终序列：无始无终3.有限长有限长序列：有始有终序列：有始有终0nn1.单边单边序列：有始无终，序列：有始无终， 或无始有终或无始有终 0nn 三、序列的运算三、序列的运算 z nx ny n1、序列相加（减）、

6、序列相加（减）：两序列两序列同序号同序号的数值的数值逐项对应逐项对应相加（减）相加（减） f nxn yn2、序列相乘：、序列相乘：两序列同序号的数值逐项两序列同序号的数值逐项对应相乘对应相乘 5 . 0, 1, 5 . 101nnx 1 , 2,302nnx 5 . 1, 3, 5 . 4)()()(021nnxnxnx1)5.0(,21,35.1)()()(021nnxnxny 三、序列的运算三、序列的运算 wnxn m3、序列移位：、序列移位：原序列逐项依次移动原序列逐项依次移动m位位0m当 时：:xn m 左移（前移）左移（前移）m 位位右移（后移）m 位:xn m右移（后移）右移（后

7、移）m 位位on 1 nx123 1 x 0 x 1x 3x 2x41 on nx123 1 x 0 x 1x 3x 2x1 右移1位 三、序列的运算三、序列的运算4、序列反褶（倒置）、序列反褶（倒置） x nx n 将将 xn 以纵轴为中心作以纵轴为中心作180翻转翻转如果如果y(n)=x(-n-m)，倒置后左移，倒置后左移m个单位。个单位。 0132nxn211230132nxn21122 只能取整数。横坐标或nanxnxanxnx , 则为波形扩展为波形压缩为正整数若anxanxa 注意：有时需注意：有时需去去除某些除某些点点或或补补足相应的足相应的零零值值。 三、序列的运算三、序列的运

8、算5.尺度变换：尺度变换：波形压缩（抽取）或波形压缩（抽取）或扩展（内插）扩展（内插） M以以纵轴为基准纵轴为基准在原序列中在原序列中点点一点一点xnxMn M为正整数为正整数x0 x1x2x3x4x0 x2x4 三、序列的运算三、序列的运算0132nxn212343013nx2n122 L在序列在序列插入插入个点个点x0 x1x2x0 x1x2xnxILn L为正整数为正整数 三、序列的运算三、序列的运算其它的整数倍是0/ILLnLnxnx013nxn122013n21234xI2n6、序列的差分运算、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差一个序列与一个移位序列之差 1 x nx nx

9、n一阶一阶前向前向差分：差分：一阶一阶后向后向差分：差分： 1x nx nx n二阶二阶前向前向差分：差分：二阶二阶后向后向差分：差分：2 2 12x nx nx nx nx n 三、序列的运算三、序列的运算 N阶阶后向后向差分差分1nxnxNN结果依然是一结果依然是一个序列个序列2nx)(nx) 1(nxnx 122nxnxnx) 1()12(nxnxnxnxnkkxny 三、序列的运算三、序列的运算0n11nx0n132nkkx1nnxE21.单位样值单位样值信号信号 四、典型离散信号（序列）四、典型离散信号（序列）)(0)(1)(000nnnnnn -2 -1 0 1 2 3 n1)1(

10、n)0(0)0(1)(nnn -2 -1 0 1 2 3 n1)(n)()0()()(nfnnf抽样性。，幅度为表示，强度用面积 0 )(tt不是面积时的瞬时值的值就是0)(nn的的作用作用表示任意表示任意离散时间离散时间信号信号( )( ) ()mx nx mn m 加权表示加权表示)(txmmn)()(nx 四、典型离散信号（序列）四、典型离散信号（序列）任意序列可以分解为加权、延迟的任意序列可以分解为加权、延迟的之和之和3 232 4nnn 2 23 34 4x nxnxnxnmmnmxnx)()()(12341on nf5 . 13 x nn12340123举例举例 30511,.,)

11、(nf11.5 3 2nnn2.单位阶跃序列单位阶跃序列 u n 10(0)n (0)n . -2 -1 0 1 2 3 nun1 四、典型离散信号（序列）四、典型离散信号（序列） n与与un的的关系关系: :un可以看作是无数个单位样值之和。可以看作是无数个单位样值之和。0 12mu nnnnn m - 求和关系求和关系nkknu)(tut10) 1 (0t)(tdttdut)()( - 微分关系微分关系dtut)()(- 积分关系积分关系- 差分关系差分关系- 求和关系求和关系. -2 -1 0 1 2 3 nun -2 -1 0 1 2 3 n n11 1nunun nkknu NR n

12、 10(01)nN(0,)nnN3.矩形序列矩形序列. -2 -1 0 1 2 N-1 N nRNn1 四、典型离散信号（序列）四、典型离散信号（序列）10mnNnununRNmN4. 斜变序列斜变序列 x nnu n 0 1 2 3 n nun123 四、典型离散信号（序列）四、典型离散信号（序列）nr0 00 1)(tttu000 1nnnuttutd)(d)(d )()(ttunkknu 1nununttrtud)(d)(d )()(tutrnkkunr 1 1nrnrnu nx na u n当当 时序列是发散的，时序列是发散的， 时是收敛的时是收敛的 a0序列都取正值序列都取正值 a

13、02 02 若若 不是有理数，不具周期性不是有理数，不具周期性 02 0 sinx nn 说明：说明： 四、典型离散信号（序列）四、典型离散信号（序列）7. 复指数序列复指数序列000 cossinjnx nenjn复数序列用复数序列用极坐标极坐标表示：表示： argjx nx nx n e 1x n 0arg x nn 四、典型离散信号（序列）四、典型离散信号（序列）7.3 离散时间系统数学模型离散时间系统数学模型l离散线性时不变系统离散线性时不变系统l离散系统的数学模型离散系统的数学模型l从常系数微分方程得到差分方程从常系数微分方程得到差分方程l已知网络结构建立离散系统数学模型已知网络结构

14、建立离散系统数学模型离散系统离散系统x2ny2n离散系统离散系统x1ny1n线性（均匀性和叠加性）线性（均匀性和叠加性）离散系统离散系统时不变性时不变性离散系统离散系统1122 c x nc xn1122 c y nc yn)(mnx)(mnyxn n系统系统ynn系统系统时不变性xn-NnNyn-NnN差分特性差分特性yn - - yn-1-1 求和特性求和特性 kny n 离散系统离散系统xn - -xn-1-1 离散系统离散系统 knx n ( )x n1E(1)x n 延时延时加法器加法器( )x n(1)y n ( )( )(1)y nx ny n 离散时间系统用离散时间系统用表示表

15、示乘法器乘法器( )x n( )( )y nax n a 离散时间系统用离散时间系统用基本单元符号基本单元符号表示表示axn axnaxn axn二、离散系统的数学模型l输入是离散序列及其时移函数输入是离散序列及其时移函数l输出是离散序列及其时移函数输出是离散序列及其时移函数l系统模型是输入输出的线性组合系统模型是输入输出的线性组合00rnxbknyarMrkNk),.2(),1(),(nxnxnx),.2(),1(),(nynyny 离散离散LTI系统系统用用N阶常系数线性差分方程阶常系数线性差分方程描述描述（ak 、 br为常数）为常数）)() 1()()() 1()(1010Mnxbnx

16、bnxbNnyanyanyaMN二阶前向差分方程二阶前向差分方程01201221 21 a y na y na y nb x nb x nb x n二阶后向差分方程二阶后向差分方程012012 12 12a y na y na y nb x nb x nb x n差分方程的阶数：差分方程的阶数：响应响应yn的最大移位与最小移位之差。的最大移位与最小移位之差。如何建立数学模型如何建立数学模型?二、离散系统的数学模型 1 y nay nx n 1 y nay nx n常系数一阶后向差分方程常系数一阶后向差分方程围绕加法器建立差分方程：围绕加法器建立差分方程：例例7-27-2：建立下图所示系统的数学

17、模型。：建立下图所示系统的数学模型。xn aE1ynayn-1后向差分方程多用于因果系统1.已知网络结构建立离散系统数学模型1 y nay nx n1 y nay nx n常系数一阶前向差分方程常系数一阶前向差分方程围绕加法器建立差分方程：围绕加法器建立差分方程：例例7-37-3：建立下图所示系统的数学模型。：建立下图所示系统的数学模型。xn aE1ynaynyn+1前向差分方程多用于状态方程1.已知网络结构建立离散系统数学模型1.已知网络结构建立离散系统数学模型)(nx1aE1E1) 1( nx0b1b) 1( ny) 1()() 1()(101nxbnxbnyany)(ny2.从常系数微分

18、方程得到差分方程l在连续和离散之间作某种近似在连续和离散之间作某种近似)()(nyty)() 1(1)(nynyTdttdys)(tx)(ty)()()(txtydttdyRC取近似：)()(nyty)() 1()(nynyTRCdttdyRCs)()()() 1(nxnynynyTRCs)()()1 () 1(nxRCTnyRCTny1 121vnvnvnvnvnRRR 3 120v nv nv n常系数二阶差分方程常系数二阶差分方程例例7-4：电阻梯形网络电阻梯形网络Ev0v1v2vNvN-1v0=E,vN=0,试写出节点电压的差分方程。试写出节点电压的差分方程。RRRRvN-2RRRRl

19、例例7-5 假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔假定每对兔子每月可以生育一对小兔，新生的小兔子要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生子要隔一个月才具有生育能力，若第一个月只有一对新生小兔，求第小兔，求第n 个月兔子对的数目是多少？个月兔子对的数目是多少？l解：解：令令y(n) 表示在第表示在第n 个月兔子对的数目。个月兔子对的数目。已知已知y(0)=0,y(1)=1,推得：推得：y(2)=1,y(3)=2,y(4)=3,y(5)=5, 于是有：于是有： y(n)=2y(n-2)+y(n-1)-y(n-2) 整理得：整理得： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0 -二阶差分

20、方程式二阶差分方程式 或或 y(n)=y(n-1)+y(n-2) -费班纳西（费班纳西（Fibonacci) 数列数列 0，1，1，2，3，5，8，13， 7.4 7.4 常系数线性差分方程的求解l迭代法求系统响应迭代法求系统响应l时域经典法时域经典法l离散卷积法：离散卷积法：l零输入响应：利用齐次解得零输入解零输入响应：利用齐次解得零输入解l零状态响应：利用卷积和求零状态解零状态响应：利用卷积和求零状态解l变换域法（变换域法（Z变换法，第变换法，第8章）章）l状态变量分析法（第状态变量分析法（第12章）章）zizs y kykyk zi * ykx kh k一、迭代法一、迭代法 一阶线性常系

21、数差分方程一阶线性常系数差分方程yn 0.5yn 1=un, y 1 = 1，用迭代法求解差分方程。，用迭代法求解差分方程。将差分方程写成将差分方程写成代入初始状态，可求得代入初始状态，可求得000.5 110.5 11.5yuy 110.5 010.5 1.51.75yuy 220.5 110.5 1.751.875yuy依此类推依此类推缺点：很难得到闭合形式的解。缺点：很难得到闭合形式的解。当差分方程阶次较低时常用此法当差分方程阶次较低时常用此法 15 . 0nynuny二、经典时域分析方法MrrNkkrnxbknya00)()( 差分方程的全解即系统的完全响应差分方程的全解即系统的完全响

22、应, 由由齐次解齐次解yhn和和特解特解ypn组成组成:phnynyny齐次解齐次解yhn的形式由齐次方程的的形式由齐次方程的特征根特征根确定确定特解特解ypn的形式由方程右边的形式由方程右边激励信号激励信号的形式确定的形式确定差分方程差分方程齐次方程齐次方程0)(0knyaNkk特征方程：特征方程：0.1110NNNNaaaa特征方程有特征方程有N个特征根个特征根二、经典时域分析方法(1) (1) 特征根是不等实根特征根是不等实根 1 1, 2, , N(2) (2) 特征根是等实根特征根是等实根 1 1 2 2= k(3) (3) 特征根是成对共轭复根特征根是成对共轭复根nNNnnCCCn

23、y2211hnkknnnCnCCny121h0j2, 1ejbarnnnnjbaDjbaDnCnCny)()( sincos210201h 1、将激励函数代入差分方程右端、将激励函数代入差分方程右端自由项自由项方法：方法： 2、根据自由项形式、根据自由项形式确定特解函数确定特解函数 3、将特解代入左端、将特解代入左端求出待定系数求出待定系数 求特解求特解二、经典时域分析方法完全解完全解=齐次解齐次解+特解特解边界条件边界条件代入代入完全解完全解求出齐次解中的待定系数求出齐次解中的待定系数 ，即得完全解的闭式即得完全解的闭式iCnknC(常数)特解形式自由项B （常数）210121.kkkkCC

24、n C nC nC nnCe()jnAeA为 复 数01CCnjne()ne为实数 an (a不是特征根)nC210121()rrnrrCC nC nCnC naan(a是r重特征根)sin(cos)nn或12co ssinCnCn常用激励信号对应的特解形式常用激励信号对应的特解形式二、经典时域分析方法例例7-7：求差分方程求差分方程 yn+6yn-1 +12yn-2+8yn-3=xn 的齐次解的齐次解0)2(081263232123 ()( 2)ny nC nC nC解：解：特征方程为：特征方程为：解：解：02 nhCny)2()(1例例7-9：求下示差分方程完全解：求下示差分方程完全解 )

25、 1()() 1(2)(nxnxnyny1) 1(,)(2ynnx激励激励（1）求齐次方程）求齐次方程y(n)+2y(n-1)=0的的齐次解齐次解特征方程：特征方程：特征根特征根2齐次解齐次解例例7-9：求下示差分方程完全解：求下示差分方程完全解 ) 1()() 1(2)(nxnxnyny1) 1(,)(2ynnx激励激励10)(DnDnyp 91321223310010DDnDDnD解：解：（2）求非齐次方程）求非齐次方程y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1)的的特解特解12) 1( 右边22nnn将激励代入方程右端，得将激励代入方程右端，得设方程的设方程的特解特解为为122) 1

26、(21010nDnDDnD代入差分方程代入差分方程9132)( nnyp特解特解（3）求完全解）求完全解=齐次解齐次解+特解特解9132)2()(1nCnyn代入边界条件求待定系数代入边界条件求待定系数 ，1C98191) 1(32)2() 1(111CCy得到完全解的闭式得到完全解的闭式9132)2(98)(nnyn例例7-9：求下示差分方程完全解：求下示差分方程完全解 ) 1()() 1(2)(nxnxnyny1) 1(,)(2ynnx激励激励解：解：1) ) 若若初始条件初始条件不变，不变，输入信号输入信号 xn = sinn0 un，则系统的完全响应则系统的完全响应yn=？2) ) 若

27、若输入信号输入信号不变，不变，初始条件初始条件y-1=1, 则系统的完全则系统的完全响应响应yn=？ 若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。应的物理概念。 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应双零法双零法 zizsy ny ny n :ziyn当激励xn=0时，由系统的起始状态y-1, y-2,

28、y-N产生的响应。同齐次解形式，即它是自由响应的一部分。 :zsyn当起始状态y-1=y-2= =y-N =0时，由系统的激励xn产生的响应。它是自由响应的另外部分加上强迫响应。1 Nnkkpky nCyn 强 迫 响 应自 由 响 应11 NNnnzikkzskkpkkCCyn 零输入响应零状态响应()kzikzskCCC 三三 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应例例7-10: 已知描述系统的一阶差分方程为已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件）边界条件 ，求，求（2）边界条件）边界条件 ，求，求 , ;zizsynyny n和11 1 23y ny nu n 11y 10y

29、, zizsynyny n和。解解:（1）3121DD,32D12 ( )23nzsy nynC齐次解为齐次解为1( )2nC 由由y-1=0可求出可求出,31C所以，所以，1 12 ()(0)3 23nzsy nynn 0ziy n y-1=0设特解为设特解为D例例7-10: 已知描述系统的一阶差分方程为已知描述系统的一阶差分方程为（1）边界条件）边界条件 ，求，求（2）边界条件）边界条件 ，求，求 , ;zizsynyny n和11 1 23y ny nu n 11y 10y , zizsynyny n和。解解:（2）y-1=11 ( )2nziziynC 由y-1=1可求出12ziC所以

30、，所以，1 1 ()2 2nziyn 零状态响应不变，即为（零状态响应不变，即为（1）的结果）的结果1 12 ( )(0)3 23nzsy nn 1 11 12( )( )2 23 231 12( )(0)6 23zizsnnny nynynn506y则由原差分方程可迭代出则由原差分方程可迭代出y-1, 即即 如果在求如果在求 时给出的边界条件是时给出的边界条件是y0, 则需要用则需要用迭代法求出迭代法求出y-1。在本例（。在本例（2）中，若已知）中，若已知 ziyn11 1 23y ny nu n110 123yy151 12021363yy注意注意 比较比较解差分方程的方法有：解差分方程的

31、方法有：1优点：简单、迭代法缺点：不易得到闭式解2、经典法：自由响应（齐次解）完全响应强迫响应（特解）根据边界条件确定齐次解系数3零输入响应、双零法:完全响应零状态响应 单位样值响应单位样值响应h h n n 定义定义 h h n n 的求解的求解 迭代法迭代法等效初始条件法等效初始条件法 阶跃响应阶跃响应g g n n 的求解的求解系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性7.5 7.5 离散系统单位样值响应离散系统单位样值响应)()(ttx系统连续系统连续系统：( )( )zsyth t x nn系统离散系统：离散系统： zsynh nhn 单位脉冲序列单位脉冲序列 n作用于作用于离散时间离

32、散时间LTI系统系统所所产生的产生的零状态零状态响应称为响应称为单位脉冲响应单位脉冲响应, 用符号用符号hn表示。表示。hn hn210 100 113111013311212( )3311 1 ( )33nhhhhhhh nh nn 例例7-12：已知已知yn-1/3yn-1= xn, 试求其单位样值响应试求其单位样值响应 hn。hn - 1/3hn-1 =n对于因果系统，对于因果系统，x-1=-1=0, h-1=0 , 1,01 330,0nnnh nu nn- 齐次解的形式齐次解的形式解：解：hn满足方程满足方程hn 将将 n , n j对系统的瞬时作用转化为系对系统的瞬时作用转化为系统

33、的统的等效初始条件等效初始条件,则原方程转为则原方程转为齐次方程齐次方程求解求解 等效初始条件由差分方程和等效初始条件由差分方程和h 1 = h 2 = = h k = 0 递推求出。递推求出。hn例7-13)()3()2(3) 1(3)(nxnynynyny解：解：hn满足方程满足方程)()3()2(3) 1(3)(nnhnhnhnh1特征方程为特征方程为：013323三重根特征根特征根为：为：齐次解齐次解的表达式为的表达式为nCnCnCnh) 1)()(3221确定初始条件解：解：hn满足方程满足方程)()3()2(3) 1(3)(nnhnhnhnh等效初始等效初始条件条件0)3(, 0)

34、2(, 0) 1(1)0(hhh1)0(h迭代出迭代出0)2(, 0) 1(, 1)0(hhh12321321CCC)()23(21)(2nunnnh代入齐次解代入齐次解求系数求系数nCnCnCnh) 1)()(3221 注意：选择初始条件的基本原则是必须将注意：选择初始条件的基本原则是必须将 n的作用体现在初始条件中的作用体现在初始条件中选选3个边界条件个边界条件例例7-14 系统差分方程式为系统差分方程式为 5 1 6 2 3 2y ny ny nx nx n 求系统的单位样值响应。求系统的单位样值响应。利用线性时不变特性，利用线性时不变特性，解：解： 5 1 6 2 3 2hnhnhnn

35、n 1 2 0hh n1 h n3 2n13 2h n11 3 2hnh nh n这样，这样，利用LTI例例7-14 系统差分方程式为系统差分方程式为 5 1 6 2 3 2y ny ny nx nx n 求系统的单位样值响应。求系统的单位样值响应。 求齐次解求齐次解，写出特征方程，写出特征方程0652111 5 1 6 2 h nh nh nn 2, 321（1）先求）先求1 h n解：解：齐次解为齐次解为1232nnCC求等效初始条件求等效初始条件，由，由 迭代出迭代出11 1 2 0hh 10 1h111 (32) nnh nu n将将 作为边界条件，可求出作为边界条件，可求出11 1

36、0,0 1hh 2, 321CC（2）求系统的单位样值响应）求系统的单位样值响应11 3 2hnh nh n111 (32) nnh nu n1111(32) 3(32) 2nnnnu nu n1111(32) 123(32) 2nnnnnnu nu n1 5 1(2 32) 2nnnnu n例例7-14 系统差分方程式为系统差分方程式为 5 1 6 2 3 2y ny ny nx nx n 求系统的单位样值响应。求系统的单位样值响应。解：解：解法二：直接求解法二：直接求 hn 5 1 6 2 3 2hnhnhnnn 1 2 0hh 12 32nnh nCC0 5 1 6 20 3 2 1hh

37、h 1 5 0 6 11 3 1 5hhh 2 5 1 6 02 3 0 16hhh将将 作为边界条件，可求出作为边界条件，可求出1 5, 2 16hh21, 221CC1 0 1 1 (2 32 ) 22nnhnhnhnu n 1 5 1 (2 32) 2nnnnu n 求等效初始条件求等效初始条件gn 单位阶跃序列单位阶跃序列un作用在作用在离散时间离散时间LTI系统系统上产生上产生的零状态响应称为的零状态响应称为单位阶跃响应单位阶跃响应，用符号，用符号gn表示。表示。1) ) 迭代法迭代法2) ) 经典法经典法3) ) 利用利用与与单位脉冲响应单位脉冲响应的关系的关系:hn=gn gn

38、1hnnunxnkkhng三、系统的因果性和稳定性三、系统的因果性和稳定性l因果性：输出变化不领先于输入变化因果性：输出变化不领先于输入变化充要条件：充要条件：l稳定性：输入有界则输出必定有界稳定性：输入有界则输出必定有界充要条件：充要条件：0)(0nhnnnh)(例：已知某系统的例：已知某系统的问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？问：它是否是因果系统？是否是稳定系统？ )()(nuanhn是因果系统aaaaanuanhnnnn111111)()(1有界稳定发散不稳定0)()( 0)( 0nuanhnunn卷积法卷积法求解系统零状态响应求解系统零状态响应yzs n的思路的思路1) ) 将任意

39、信号分解为将任意信号分解为单位脉冲序列单位脉冲序列的线性组合的线性组合;2) ) 求出求出单位脉冲序列单位脉冲序列作用在系统上的响应作用在系统上的响应 单位样值响应单位样值响应;3) ) 利用利用线性时不变系统线性时不变系统的特性，即可求出任意的特性，即可求出任意序列序列xn激励下系统的激励下系统的零状态响应零状态响应yzsn 。7.6 7.6 卷积和卷积和已知单位样值响已知单位样值响 应求系统零状态响应应求系统零状态响应卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yzs n推导推导由由时不变特性时不变特性由由均匀特性均匀特性由由叠加特性叠加特性nhn mnhmnmnhmxmnmxmnhm

40、xmnmxmm*zsnhnxmnhmxnym mx nx mnm1、交换律、结合律和分配律、交换律、结合律和分配律12122121 mmx nx nx m x nmx m x nmx nx n1）交换律）交换律 一、离散线性卷积的性质一、离散线性卷积的性质2）结合律）结合律 123123 x nx n x nx n x nx n3）分配律）分配律 1231213 x nx nx nx n x nx n x n2、移位性质、移位性质12112212 y nx nx nx n nx n ny n nn若则3、其它性质、其它性质00 xnn nxn n xnnxn nmmxn unxmun mxm

41、一、离散线性卷积的性质一、离散线性卷积的性质 x n级联：级联：1 h n2 h n y n x n y n12 h nh n 二、系统单位样值响应二、系统单位样值响应级联系统级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。并联：并联： x n y n1 h n2 h n x n y n12 h nh n 二、系统单位样值响应二、系统单位样值响应并联系统并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。 三、离散线性卷积的计算三、离散线性卷积的计算1、图解法、图解法2、对位相乘求和法、对位相乘求和法3、解析式法、解析式法

42、4、利用性质求解、利用性质求解mnhmxnhnxm 将将xn、hn中的自变量由中的自变量由n改为改为m； 把其中一个信号把其中一个信号翻转翻转，如将，如将hm翻转得翻转得 h m ； 把把h m平移平移n，n是参变量。是参变量。n0图形右移图形右移，n0图图形左移。形左移。 将将xm与与 hn m 相乘相乘； 对乘积后的图形对乘积后的图形求和求和。解解 n mmmy nx m h nmu mu mNau nmhn或hmxn或xmn或mn或m)()()()(, 10)()(NnununGnxanuanhn?)(ny例例7-15：已知：已知求零状态响应求零状态响应1)当当n0时，时，hn-m和和xm相乘为零。相乘为零。yn=02