第七章 微分方程

1、暨南大学电气学院第七章第七章 微分方程微分方程 yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 第七章 暨南大学电气学院第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 与一阶微分方程解法与一阶微分方程解法 一阶微分方程的基本概念与解法一阶微分方程的基本概念与解法引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 暨南大学电气学院引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因

2、此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 暨南大学电气学院引例引例2. 列车在平直路上以sm20的速度行驶, 制动时获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .暨南大学电气学院常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫

3、做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或暨南大学电气学院,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 C

4、xy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .其图形称为积分曲线族积分曲线族. .暨南大学电气学院例例1. 验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得: ,1AC 故所求特解为tkAxcos,

5、02C故它是方程的通解.并求满足初始条件 暨南大学电气学院求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 QPQxyox解解: 如图所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 暨南大学电气学院1、可分离变量微分方程 或或 xxfyygd)(d)(可分离可分离变量方程。变量方程。 )()(dd21yfxfxy形如形如的微分方程的微分方程称为称为解法：可分离变量方程的解法解法：可分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(两边积分, 得 yy

6、gd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF则有称为方程的隐式通解.二、一阶微分方程的解法二、一阶微分方程的解法暨南大学电气学院例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )暨南大学电气学院例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由

7、初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y暨南大学电气学院例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:暨南大学电气学院练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (暨南大学电气学

8、院例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原暨南大学电气学院例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简

9、, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时暨南大学电气学院2、齐次方程、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 暨南大学电气学院例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuud

10、dsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )暨南大学电气学院例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 暨南大学电气学院3、一阶

11、线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;暨南大学电气学院对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(Cxex

12、QeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得暨南大学电气学院例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(暨南大学电气学院4、伯努利、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式

13、:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)暨南大学电气学院例例4. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 暨南大学电气学院一、可降阶高阶微分方程一、可降阶高阶微分方程 第七章 二、线性微分方

14、程解的结构二、线性微分方程解的结构第二节第二节暨南大学电气学院一、 可降阶的高阶微分方程 1、 型的微分方程2、 型的微分方程3、 型的微分方程)()(xfyn ),( yxfy ),( yyfy 暨南大学电气学院1、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 一、可降阶高阶微分方程一、可降阶高阶微分方程 暨南大学电气学院例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12c

15、osCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC暨南大学电气学院),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy2、暨南大学电气学院例例2. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有

16、)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为暨南大学电气学院3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy暨南大学电气学院例例3. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd暨南大学

17、电气学院例例4. 解初值问题解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据yepxydd积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为xey1得暨南大学电气学院为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例4.)0()(xxy设函数二阶可导, 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0, x 上以,2S记为)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(x

18、yy因为. 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 ., 1)0(y积记为( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx暨南大学电气学院再利用 y (0) = 1 得利用,1221 SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲线方程为xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx暨南大学电气学院二、二、 高

19、阶线性微分方程高阶线性微分方程 解的结构解的结构 2、线性齐次方程解的结构、线性齐次方程解的结构 3、线性非齐次方程解的结构、线性非齐次方程解的结构 1、二阶线性微分方程、二阶线性微分方程 第七章 暨南大学电气学院的方程，叫二阶线性微分方程。的方程，叫二阶线性微分方程。)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的方程，叫的方程，叫 n 阶线性微分方程。阶线性微分方程。).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 1 1、二阶线性微分方程的概念

20、、二阶线性微分方程的概念形如形如一般地，形如一般地，形如二、 高阶线性微分方程解的结构 暨南大学电气学院 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕2、线性齐次方程解的结构、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.暨南大学电气学院说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1

21、xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 暨南大学电气学院定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，,

22、12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数暨南大学电气学院两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyx

23、y(证明略)21, yy可微函数线性无关暨南大学电气学院定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC暨南大学电气学院3、线性非齐次方程解的结构、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二

24、阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ暨南大学电气学院)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .推论：推论： 二阶非齐次方程

25、的任意两个解的差是相应齐次方程的解 暨南大学电气学院定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 暨南大学电气学院定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方

26、程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解暨南大学电气学院常数, 则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD暨南大学电气学院例例4. 已知微分方程

27、)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关, 故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为有三 暨南大学电气学院第三节常系数常系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程 第七章 暨南大学电气学院二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征

28、方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.暨南大学电气学院2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey

29、)(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru暨南大学电气学院3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx暨南大学电气学院总结总结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sinco

30、s(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .二阶常系数齐次线性微分方程:暨南大学电气学院若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:暨南大学电气学院例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCe

31、Cy321例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C暨南大学电气学院第四节 第七章 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、暨南大学电气学院)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式

32、,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法暨南大学电气学院( )( )xmf xePx 型型则有形如的特解，其中其中 为实数 ,)(xPm为 m 次多项式 .此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .当 是特征方程的 k 重根 时, k=0,1,2一、一、 *( )kxmyx Qx e( )xmypyqyeP x待定多项式 .( )mQx为 m 次对非齐次方程暨南大学电气学院例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0暨南大学电气学院例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbx