概率论与数理统计：第四章 随机变量的数字特征2

1、第二节 方差引例引例 甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹 击中的环数分别为：甲 10, 6, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 5, 10乙 8, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 9, 8, 9问哪一个射手的技术比较稳定？解解 首先比较平均环数甲 = 8.4,乙 = 8.4方差概念的引入方差概念的引入有六个不同数据仅有四个不同数据再比较稳定程度4 .30)4 . 85()4 . 86()4 . 87()4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4222222甲：乙：44. 6)4 . 87(2)4 . 88(3)4 . 89(4)4 . 810(2222乙比甲技术稳定进

2、一步比较平均偏离平均值的程度甲)4 . 85()4 . 86()4 . 87()4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4101222222乙)4 . 87(2)4 . 88(3)4 . 89(4)4 . 810(101222204.3644. 0612)(kkkpXEx412)(kkkpXEx描述随机变量的取值与平均值的偏离程度的两个描述随机变量的取值与平均值的偏离程度的两个常用的数字特征是方差与标准差。常用的数字特征是方差与标准差。 方差与标准差方差与标准差随机变量的每一取值与平均值都有离差随机变量的每一取值与平均值都有离差,XE X欲考察随机变量的取值与平均值的偏离程度，我们考

3、虑求欲考察随机变量的取值与平均值的偏离程度，我们考虑求平均离差，但平均离差，但0E XE XE XE X不能反映偏离程度，问题是因为不能反映偏离程度，问题是因为 是有正有负的，是有正有负的，XE X为避免正负相抵消，又方便数学处理，我们转而求：为避免正负相抵消，又方便数学处理，我们转而求：2EXE X记作记作2D Xvar XX或或 或或称为随机变量称为随机变量 X 的的方差。方差。进一步地，为使描述偏离程度的指标的量纲与随机变量进一步地，为使描述偏离程度的指标的量纲与随机变量相一致，我们引入相一致，我们引入均方差均方差（或称（或称标准差标准差）：）：D XX或或 记作：记作：一维一维随机变量

4、的随机变量的方差方差设设离散离散随机变量随机变量X的概率分布为的概率分布为()kkP Xxp1, 2, ,k 2()() kkkD Xpxn 离散型离散型n 连续型连续型2()()( )D Xxf x dx设设连续连续随机变量随机变量X的分布密度为的分布密度为 f (x)()E X 方差的计算公式方差的计算公式22()() ()D XE XE XProof.2()() D XEXE X222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X()()EXxfx dx方差的计算步骤方差的计算步骤Step 1: 计算期望计算期望 E(X)

5、1 12 2 ( )k kkkkE Xpxp xp xp xStep 2: 计算计算 E(X2)22()( )E Xx f x dx222221 12 2 ) (k kkkkE Xpxp xp xp xStep 3: 计算计算 D(X)22()() ()D XE XE X离散型离散型 连续型连续型 离散型离散型 连续型连续型 21123123311010101010XP例例1 设设 X 的分布密度如下：求的分布密度如下：求,E XD X解：解：12331211230.81010101010E X 222222123312112331010101010E X 22230.82.36D XE XE

6、 X例例2 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为：的概率密度为： 1cos ,220,xxp x其它其它求：求：D X解：解：221cos02E Xxxdx22222021coscos2E Xxxdxxxdx22222000sinsin2 sinx dxxxxxdx222220002cos2cos2cos44xdxxxxdx22202 sin244x224D X二维随机变量的方差二维随机变量的方差n (X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(, )(),( )D X YD XD Y22( )( )( )iiiijiijD XxE XP XxxE Xp22( )( )( )

7、( )( , ),XDXx E Xf xdxx E Xf x ydxdy n (X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量22( )( )( )jjjijjjiD YyE YP YyyE Yp22( )( )( )( )( , )YDYy EYf y dxy EYf x y dxdy 例例3 设随机变量（设随机变量（X，Y）的分布密度是：的分布密度是：3,20,xf x y01xxyx 别处别处求：求：D XY解：解：120302xxE XYdxx ydy12232032xxE X Ydxx y dy1133600017xx ydxx dx10.14297D XY 132003

8、xdxx y dy 方差的性质方差的性质 0D C （1）设）设 C 是一常数，则是一常数，则（2）设）设 C 是一常数，是一常数，X 是一随机变量，则是一随机变量，则2,D CXC D XD XCD X2D aXba D X由此：若由此：若 是常数，有是常数，有, a b（3）当随机变量）当随机变量 X 与与 Y 相互独立时，有相互独立时，有 D XYD XD Y慎用之！慎用之！是加号！是加号！()()( )D XYD XD Y,X Y相互独立时相互独立时n 当随机变量当随机变量222222222()() () (2) ()( ) () ()() ( ) ()( )D XYE XYE XYE

9、 XXYYE XE YE XE XE YE YD XD YX与与Y独立独立)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD例例4 设设110,24,E XD X求求243EX解：解：22434343EXDXEX21643D XE X由由110E X 由由24D X 9,E X 4,D X 224316 44 931585EX 两点分布的方差两点分布的方差()E Xp222()10(1)E Xppp222()()()D XE XE XpppqXP0 11-p pn 分布律分布律n 方差方差D(X) = p qq=1-pq=1-p二项分布的方差二项分布的方差If X B ( n, p ) ,

10、then D ( X ) = n p ( 1- p )D(X)=npqn 分布律分布律n 方差方差(1)kknknP XkCpp X B ( n, p )22()(1)E Xn npnp()E Xnp22()() ()(1)D XE XE Xnppnpq泊松分布的方差泊松分布的方差If ( ),XPthen ()D X方差和期望方差和期望值相等？！值相等？！n 分布律分布律n 方差方差()!kP Xkek()E X22()E X22()() ()D XE XE X1()()2E Xab1()0axbfxba 其其 它它均匀分布的方差均匀分布的方差n 分布密度分布密度n 方差方差2322 2 (

11、)3()3bbaaxxaabbE Xdxbaba2221()()()()12D XE XE Xba 21()()12D Xba0( )00 xexf xx指数分布的方差指数分布的方差1()E Xn 分布密度分布密度n 方差方差 222 2()bxaE Xxedx22222112)()()(XEXEXD21()D X正态分布的方差正态分布的方差n 分布密度分布密度n 方差方差222)(21)(xexf2( ,)XN ()E X2()D X2()D X2( ,)XN 常见分布及其期望和方差列表常见分布及其期望和方差列表 分布名称分布名称 数学期望数学期望E（X） 方差方差D（X） 0-1分布分布

12、二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布 正态分布正态分布 指数分布指数分布 ppqnpnpq2ab2()12ba1221例例6 设随机变量设随机变量 X 服从区间服从区间 上的均匀分布，上的均匀分布，, a b20,48., .E XD Xa b求求解：由解：由220,48212baabE XD X8,32ab得得例例5 一条生产线上产品的次品率为一条生产线上产品的次品率为 0.1， 若当天生产的产品若当天生产的产品是是 400 件，求其中所含次品数件，求其中所含次品数 X 的数学期望与标准差。的数学期望与标准差。解：解： 由题意，由题意，400, 0.1XB400 0.1 0.

13、9366D X400 0.140E X 所以所以 某地出产的某品种的苹果的总量某地出产的某品种的苹果的总量X X服从正态分服从正态分布。若布。若E(X)=148, D(X)=16E(X)=148, D(X)=162 2. .写出写出X X的分布律和概的分布律和概率密度，并用积分表示率密度，并用积分表示(135)P X 2(148,16 )XN22(148) /2 161( )16 2xf xe22135(148) /2 161(135)16 2xP Xedx练习题：练习题：1. 设设 取值取值 若若, ,a b 0.4,1.8,PaE 20.96, .a b求求2. 设设 X 与与 Y 相互独

14、立，且相互独立，且1,E XD X 0.5,E YD Y求求2,2.E XYD XY3. 若若 ，求，求 的分布。的分布。2,XN XY1. 设设 取值取值 若若, ,a b 0.4,1.8,PaE 20.96, .a b求求解：解： 0.40.61.8Eab 222EE2220.40.61.80.96ab得两组解：得两组解： 及及30.612.6aabb2. 设设 X 与与 Y 相互独立，且相互独立，且1,E XD X 0.5E YD Y求求2,2.E XYD XY 221 2 0.50E XYE XE Y 解：解： 2414 0.252D XYD XD Y 3. 若若 ，求，求 的分布。的

15、分布。2,XN XY解：因为解：因为服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正态分布。服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正态分布。又又 1XE YEE X10E X 211XD YDD X所以，所以，0,1YN第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数 在二维随机变量（在二维随机变量（X,Y)的情形，的情形，EX，DX，EY，DY这些数字特征只反映了这些数字特征只反映了X和和Y各自取值的集中位各自取值的集中位置及与均值的离散程度。对二维随机变量，我们置及与均值的离散程度。对二维随机变量，我们还希望知道它们之间的联系，下面引进还希望知道它们之间的联系，下面引进协方差协方差和和相关系数相关系

16、数来刻画来刻画X和和Y的这种关系。的这种关系。n 当随机变量当随机变量X与与Y 独立时，必有独立时，必有()( )0EXE XYE Yn 反之，当反之，当()( )0EXE XYE YX与与Y 独立？独立？另外，是否任意另外，是否任意X X与与Y Y，都有，都有()( )0EXE XYE Y？协方差的定义协方差的定义()cov( ), ) EXE XYE YX Y而当而当D(X)，D(Y)大于零时，大于零时，X与与Y的的相关系数相关系数cov(, )()( )XYX YD XD Y设（设（X,Y）为二维随机变量，若）为二维随机变量，若()( )EXE XYE Ycov(,)X Y存在，则称它为随机变量存在，则称它为随机变量X与与Y的的协方差协方差，记为，记为或或XY cov(,)()( )() X XEXE XXE XD Xcov( , )( )( )( ) Y YEYE YYE YD Yn 协方差的性质协方差的性质cov(, )cov( ,)X YY Xcov(,)cov(, )aX bYabX Y1212cov(, )cov(, )cov(, )XXYX YXY()()( )2cov(, )D XYD XD YX