控制工程基础课件第三章时域分析法

1、5/27/20221第三章 时域分析法一、典型输入信号二、一阶系统的时间响应三、二阶系统的时间响应四、稳定性分析五、小结5/27/20222一一、典型输入信号l 时域分析的目的时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点优点：直观、简便 第三章 时域分析法5/27/20223l 典型输入信号典型输入信号第三章 时域分析法一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基

2、础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。5/27/20224 对典型输入信号的要求第三章 时域分析法q 形式简单，便于解析分析；q 能够使系统工作在最不利的情形下；q 实际中可以实现或近似实现。5/27/20225第三章 时域分析法 常用的典型输入信号Asint 正弦信号 1(t)，t=0 单位脉冲信号 单位加速度信号 t， t0 单位速度(斜坡)信号 1(t)，t0 单位阶跃信号 复数域表达式 时域表达式 名 称 s121s31s22sA0,212tt5/27/20226第三章 时域分析法能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 典型输入信号的选择原则如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选

3、阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。5/27/20227第三章 时域分析法二二、一阶系统的时间响应l 一阶系统（惯性环节）一阶系统（惯性环节） l 一阶系统的一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应ssXi1)(TsssTssXsGsXio111111)()()(11)(TssG极点（特征根）：-1/T5/27/20228第三章 时域分析法0,1)(tetxTto10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)(63.2%86.5%95%98.2%99.3%99

4、.8%6T5/27/20229第三章 时域分析法 一阶系统单位阶跃响应的特点q 响应分为两部分 瞬态响应：Tte表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程） 稳态响应：1表示t时，系统的输出状态q xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大，且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；5/27/202210第三章 时域分析法q xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统 响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以 通过实验测量惯性环节的时间常数T；Tdttdxto1)(0q q 时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态

5、值的95% 98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。5/27/202211第三章 时域分析法q 将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即ln1-xo(t)与时间t成线性关系。该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。)(1txeoTt)(1ln1txtTotln1-xo(t)05/27/202212第三章 时域分析法l 一阶系统的一阶系统的单位速度响应单位速度响应21)(ssXiTsTsTssTssXsGsXio11111)()()(220,)(tTeTttxTto5/27/202213第三章 时域分析法0txo(t)xi(t)xi(t)=

6、txo(t)=t-T+Te-t/Te()=T5/27/202214第三章 时域分析法 一阶系统单位速度响应的特点q 瞬态响应：T e t /T ；稳态响应：t T；q 经过足够长的时间(稳态时，如t 4T)，输 出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t T，即输出相对于输入滞后时间T； q 系统响应误差为： TeeTtxtxteTtoi)()1 ()()()(5/27/202215第三章 时域分析法l 一阶系统的一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应1)(sXiTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTtoxo(t)1/T0t0.368 1T斜率xo(t)T21T5/27/202216

7、第三章 时域分析法 一阶系统单位脉冲响应的特点q 瞬态响应：(1/T )e t /T ；稳态响应：0；q xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；q 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。 201)(Tdttdxtoq 5/27/202217第三章 时域分析法l 线性定常系统时间响应的性质线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。 注意到： tdtdttdtdt)(1)(1)(5/27/202218第三章 时域分析法TtotTtoTto

8、TeTttxetxeTtx)(1)(1)(1对一阶系统：)()()()(11txdtdtxtxdtdtxotooo即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数输入信号响应的导数。5/27/202219第三章 时域分析法同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定始条件确定。这种输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。5/27/202220第三章 时域分析法三三、二阶系统的时间响应l 二阶系统二阶系统 222222121)

9、(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。5/27/202221第三章 时域分析法二阶系统的特征方程：0222nnss极点（特征根）：122 , 1nnp 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0 1具有两个不相等的负实数极点：122 , 1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp25/27/202224 零阻尼二阶系统： 0具有一对共轭虚极点：njp2 , 1 负阻尼二阶系统： 0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。系统时域响应含有复指数振荡项：tjne5/27/202225l 二阶系统的二阶系统的单位阶跃响应单位阶

10、跃响应 第三章 时域分析法ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX 欠阻尼（01）状态 0)11 (21)11 (211)()1(22)1(2222teetxttonn，01txo(t)q 特点 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长 xo () = 1，无稳态 误差。 5/27/202230第三章 时域分析法 无阻尼（=0）状态 0,cos1)(tttxno210txo(t)q 特点 频率为n的等 幅振荡。5/27/202231第三章 时域分析法 负阻尼（0）状态 0txo(t)-10t0 xo(t)-1q -10：输出表达式与欠阻尼状态相同。 q -1：输出表达式与过

11、阻尼状态相同。 特点：振荡发散 特点：单调发散 5/27/202232第三章 时域分析法 几点结论 q 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0 1：012)(11222teetxttnonn = 1：0,)(2ttetxtnon 0 1：0,1212121212122)(1222122222teettxtntnnonn = 1：0,21122)(tetttxtnnnon5/27/202236第三章 时域分析法 01：1212,10),sin(12)(222arctgttettxnddtdnon = 0：0,sin1)(t

12、tttxnno5/27/202237第三章 时域分析法l 例题例题 例1单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。 toetx657)(解解：由题意Xi(s)=1，所以： 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss5/27/202238第三章 时域分析法 例2解解：1）单位阶跃输入时 已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。2) 1(12)(sssG11) 1(11) 1(12)()()(22sssssssXsGsXio从而： 1( )( )1ttoox tLXstee 5/27/202239第三章 时域分析法2）单位脉冲

13、输入时，由于)( 1 )(tdtdt 因此：ttooteetxdtdtx2)()(15/27/202240第三章 时域分析法l 二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。 5/27/202241第三章 时域分析法10tMp允许误差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系统的时域性能指标5/27/202242第三章 时域分析法q 评价系统快速性的性能指

14、标 上升时间tr响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 5/27/202243第三章 时域分析法 调整时间ts响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。 最大超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示： q 评价系统平稳性的性能指标 5/27/202244第三章 时域分析法%100)()()(oopopxxtxM若xo(tp) xo()，则响应无超调。 振荡次数N在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响

15、应曲线穿越稳态值次数的一半计数。5/27/202245第三章 时域分析法 欠阻尼二阶系统的时域性能指标 上升时间tr1sin11)(2rdtrotetxrn根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：0),sin(11)(2ttetxdton5/27/202246第三章 时域分析法2221arccos11nndrarctgt从而：显然， 一定时，n越大，tr越小；即：0sinrdt, 2, 1, 0,kktrdn一定时， 越大，tr 越大。5/27/202247第三章 时域分析法 峰值时间tp，并将t = tp代入可得： 0)(dttdxo令0)cos(1)sin(122pdtdpdtn

16、tetepnpn即： tgttgpd21)(, 2, 1, 0,kktpd5/27/202248第三章 时域分析法根据tp的定义解上方程可得： 21ndpt可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，tp 越大。5/27/202249第三章 时域分析法 最大超调量 Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当 = 0.40.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。5/27/202250第三章 时域分析法00.10.20.

17、30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二阶系统Mp 图5/27/202251第三章 时域分析法 调整时间ts对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量 1 的指数曲线： 211tnet01xo(t)211tne211tnenT121112111T2T3T4TT2arccos21dt5/27/202252第三章 时域分析法当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用： 1112tnenst21lnln可以求得：由上式求得的ts通常偏保守。5/27/202253第三章 时域分析法 当一定时，

18、n越大，ts越小，系统响应越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst当00.7时， 5/27/202254第三章 时域分析法 振荡次数NN 仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。2122nddT对欠阻尼二阶系统，振荡周期02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN则5/27/202255第三章 时域分析法 二阶系统的动态性能由n和决定。 结论 通常根据允许的最大超调量来确定。一般 选择在0.40.8之间，然后再调整n以获得合 适的瞬态响应时间。 一定，n越大，系统响应快速性越好， tr、 tp、ts越小。 增加可以降低振荡，减小

19、超调量Mp 和振荡 次数N ，但系统快速性降低，tr、tp增加；5/27/202256第三章 时域分析法 例题1图a)所示机械系统，当在质量块M上施加f(t)=8.9N的阶跃力后，M的位移时间响应如图b)。试求系统的质量M、弹性系数K和粘性阻尼系数C的值。 mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t /s13xo(t)/mtpb)5/27/202257第三章 时域分析法解解：根据牛顿第二定律： 22)()()()(dttxdmdttdxCtKxtfooo2222211)()()(nnnossKKCsmssFsXsGKMCMKn2,其中，系统的传递函数为：5/27/202258第三章

20、 时域分析法sKCsmssXsGsXio9 . 81)()()(2由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，因此根据拉氏变换的终值定理：KKCsmsssXxsoso9 . 89 . 8lim)(lim)(200由图b)知 xo() = 0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m5/27/202259第三章 时域分析法又由图b)知：%7 . 9%10003. 00029. 0%10021eMp解得： = 0.6212npt又由：代入，可得n=1.96rad/sKmCmKn2,根据解得 m = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s 5/27/202260第三章 时域分析法Ab、

21、不稳定的摆AAAa、稳定的摆四四、稳定性分析l 稳定的概念 稳定性示例5/27/202261第三章 时域分析法 稳定性定义原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是（渐近）稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。 稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。 5/27/202262第三章 时域分析法若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。 对于线性系统，小范围稳定一定

22、意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。 5/27/202263第三章 时域分析法 稳定程度临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。 a) 稳定b) 临界稳定c) 不稳定5/27/202264第三章 时域分析法处于临界稳定，或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。 经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。5/27/202265第三章 时域分析法

23、l 稳定的条件 假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：0)(limtxot系统（渐近）稳定。5/27/202266第三章 时域分析法)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑系统01110nnnnasasasa其特征方程为：tAe对于特征方程的单实根-，相应瞬态输出为：当- 0时，该输出分量指数单调递增。当- = 0时，该输出分量为常数。5/27/202267第三章 时域分析法对于特征方程的一对单复根-+j，

24、相应瞬态输出为：)sin()sincos(22tCBetCtBett其中， = arctgB/C。当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。当- = 0时，该分量为等幅振荡。5/27/202268第三章 时域分析法)(121rrttataae对于r重实根-，相应的时域分量为：当- 0时，该输出分量指数单调递增。当- = 0时，该输出分量多项式递增。5/27/202269第三章 时域分析法kkkrkkkkktrrrrtcbarctgttcbettctccttbtbbe, )sin(sin)(cos)(1122121121对于一对r重复根-+j，相应的时域分量为：当- 0时，该分量为指数发散的振荡过

25、程。当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。5/27/202270第三章 时域分析法综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征所有特征根均为负数或具有负的实数部分根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特所有特征根均在复数平面的左半部分征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在系统的极点均在s平面的左半平面平面的左半平面。 显然，稳定性与零点无关。5/27/202271第三章 时域分析法l 劳斯（Routh）稳定判据 系统稳定的必要条件 0)()()(2101110nnnnnpspsps

26、aasasasasD系统的特征方程为：其中，pi(i=0,1,2,n)为系统的特征根。优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。5/27/202272第三章 时域分析法由根与系数的关系可以求得：)() 1()()()(210124213210313121022101nnnnnnnnnpppaapppppppppaappppppaapppaa5/27/202273第三章 时域分析法若使全部特征根pi若均具有负实部，则要求特征方程的各项系数ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即： 注意，该条件仅为系统稳定的必要条件。 ai0 (i = 0, 1, 2, , n)5

27、/27/202274第三章 时域分析法 系统稳定的充要条件劳斯稳定判据 其中，ai0 (i=0,1,2,n)，即满足系统稳定的必要条件。 0)(1110nnnnasasasasD考虑系统的特征方程：劳斯稳定判据的判别过程如下： 5/27/202275第三章 时域分析法q 列出劳斯阵列 130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaabsna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g15/27/202276第三章 时域分析法121311bbaabc131512

28、bbaabc141713bbaabc在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。 121211ccbbcd131312ccbbcd141413ccbbcd5/27/202277第三章 时域分析法q 用劳斯判据判别系统稳定性考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。

29、 5/27/202278第三章 时域分析法q 例题设系统的特征方程为：05001004)(23ssssD应用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。解解：劳斯阵列如下：s31100s24500s1-25 0s05000劳斯阵列第一列中元素符号改变了两次，表明系统具有两个正实部的极点，故系统不稳定。事实上系统包含了三个极点：0.406+j10.185、0.406-j10.185、 -4.8125/27/202279第三章 时域分析法 低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：5/27/20

30、2280第三章 时域分析法q 三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：s3a0a2s2a1a3s1 0s0a313021)(aaaaa从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且： a1a2-a0a30 5/27/202281第三章 时域分析法q 例题例1：系统方框图如下，试确定开环增益K为何值时，系统稳定。s1)5)(1(ssKXi(s)Xo(s)解解：系统闭环传递函数为：KsssKKsssKs56)5)(1()(235/27/202282第三章 时域分析法由三阶系统的稳定条件，有：此系统为三阶系统，特征方程为：056)(23KssssD0560KK即：当0K30时系统稳定。5/27/202283第三章 时域分析法例2：单位反馈系统的开环传递函数为：求系统稳定时K和T的取值范围，并作出稳定区域图。) 15)(1() 1()(sTsssKsG解解：系统闭环特征方程为：0)1 ()5(523KsKsTTs5/27/202284第三章 时域分析法05)1)(5(00TKKTKT系统稳定条件为：54500TTKT00.5 11.5 22