第二章 泊松过程new

1、1第二章第二章 泊松过程泊松过程v泊松过程定义泊松过程定义v泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征v时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布条件分布v复合泊松过程复合泊松过程v非齐次泊松过程非齐次泊松过程v滤过泊松过程滤过泊松过程2计数过程：计数过程：称随机过程称随机过程N(t),t0为计数过程，若为计数过程，若N(t)表示到时刻表示到时刻t为止已发生的为止已发生的“事事件件A”的总数，且的总数，且N(t)满足下列条件：满足下列条件： N(t) 0; N(t)取正整数值；取正整数值； 若若st，则，则N(s) N(t)；1. 当当s0），事件），事件A

2、发生的次数发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时仅与时间差间差s有关，而与有关，而与t无关。无关。3泊松过程定义泊松过程定义1：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有参数为具有参数00的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件：1 1、X(0)=0X(0)=0；2 2、X(t)X(t)是独立增量过程；是独立增量过程；3 3、在任一长度为、在任一长度为t t的区间中，事件的区间中，事件A A发生的次数服从参数发生的次数服从参数0的泊松分布，的泊松分布，即对任意即对任意s,t0，有，有, 1 ,0,!)()()(nntensXstXPnt泊松过程同时也是平稳增量过程泊松过程同时也

3、是平稳增量过程ttXE)(表示单位时间内事件表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率或发生的平均个数，故称为过程的速率或强度强度4泊松过程定义泊松过程定义2：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有参数为具有参数0的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立、平稳增量过程；是独立、平稳增量过程；1. X(t)满足下列两式：满足下列两式：)(2)()()(1)()(hotXhtXPhohtXhtXP例如：例如：电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；火车站某段时间内购买车票的旅客数；火车站某段时间内购

4、买车票的旅客数；机器在一段时间内发生故障的次数；机器在一段时间内发生故障的次数；保险的理赔保险的理赔5定理定理 ：定义定义1和定义和定义2是等价的。是等价的。例子：设交换机每分钟接到电话的次数例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为是强度为的的泊松过泊松过程。求程。求两分钟内接到两分钟内接到3次呼叫的概率。次呼叫的概率。(1) 第二分钟内接到第第二分钟内接到第3次呼叫的概率。次呼叫的概率。6泊松过程的数字特征泊松过程的数字特征设设X(t),t0是泊松过程，对任意的是泊松过程，对任意的t,s0, )，且，且ss1+s2|Ss1。即假定最近一次事件即假定最近一次事件A发生的时间在发生的时

5、间在s1时刻，下一次事件时刻，下一次事件A发生的发生的时间至少在将来时间至少在将来s2时刻的概率时刻的概率。8时间间隔的分布时间间隔的分布设设N(t),t0是泊松过程，令是泊松过程，令N(t)表示表示t时刻事件时刻事件A发生的次数，发生的次数，Tn表示表示从第（从第（n-1）次事件）次事件A发生到第发生到第n次事件次事件A发生的时间间隔。发生的时间间隔。9定理：定理：设设X(t),t0为具有参数为具有参数的泊松过程，的泊松过程，Tn,n1是对应的时间间隔序列，是对应的时间间隔序列，则随机变量则随机变量Tn是独立同分布的均值为是独立同分布的均值为1/的指数分布。的指数分布。对于任意对于任意n=1

6、,2, 事件事件A相继到达的时间间隔相继到达的时间间隔Tn的分布为的分布为0, 00,1)(ttetTPtFtnTn概率密度为概率密度为0,00,)(ttetftTn10等待时间的分布等待时间的分布等待时间等待时间Wn是指第是指第n次事件次事件A到达的时间分布到达的时间分布niinTW1因此因此Wn是是n个相互独立的指数分布随机变量之和。个相互独立的指数分布随机变量之和。11定理：定理：设设Wn,n1是与泊松过程是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则对应的一个等待时间序列，则Wn服从参数为服从参数为n与与的的分布，其概率密度为分布，其概率密度为0,00,)1()()(1ttnte

7、tfntWn例：已知仪器在例：已知仪器在0，t内发生振动的次数内发生振动的次数X(t)是具有参数是具有参数的的泊松泊松过程，若仪器振动过程，若仪器振动k（k=1）次就会出现故障，求仪器在时刻）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正正常工作的概率。常工作的概率。12到达时间的条件分布到达时间的条件分布假设在假设在0,t内时间内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的的分布。分布。泊松过程泊松过程平稳独立增量过程平稳独立增量过程可以认为可以认为0,t内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这

8、个事件的到达时间应在说，这个事件的到达时间应在0,t上服从均匀分布。对于上服从均匀分布。对于st有有?1)(|1tXsWP分布函数分布函数tststsssFtXW, 10,0, 0)(1)(|1分布密度分布密度其它,00,1)(1)(|1tstsftXW13定理：定理：设设X(t),t0是泊松过程，已知在是泊松过程，已知在0,t内事件内事件A发生发生n次，则这次，则这n次到达时间次到达时间W1W2, Wn与相应于与相应于n个个0,t上均匀分布的独立随机变量的顺序统计上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。量有相同的分布。例题例题设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，且次，

9、且0st，对于，对于0kn，求，求PX(s)=k|X(t)=n例题例题设在设在0,t内事件内事件A已经发生已经发生n次，求第次，求第k(kn)次事件次事件A发生的时间发生的时间Wk的条的条件概率密度函数。件概率密度函数。1、设、设X(t),t0是泊松过程，在给定是泊松过程，在给定0,t内事件内事件A发生发生n次的条件下，这次的条件下，这n次到达时间次到达时间W1，W2, ，Wn ，每一个都是，每一个都是U0,t的一个样本，且相互独的一个样本，且相互独立。立。2、若不考虑其大小顺序，其分布就如、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量个独立的均匀随机变量U0,t，如，如到达时间的条件

10、分布的说明到达时间的条件分布的说明11, 0, nnniiiiiSWUUUt3、如果我们有一组、如果我们有一组n个独立均匀分布个独立均匀分布U0,t随机变量的观测值，将其按大随机变量的观测值，将其按大小排列，则可以将其视为给定小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的的齐次泊松过程的n个到达点，是一个到达点，是一种产生齐次泊松过程的方法种产生齐次泊松过程的方法15例题例题设设X1 (t),t 0和和X2 (t),t 0是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为内平均出现的事件数分别为1和和2，记，记 为过程为过程X1(t

11、)的第的第k次事件到达时次事件到达时间，间， 为过程为过程X2(t)的第的第1次事件到达时间，求次事件到达时间，求例题例题有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约元，设签约客户为参数为客户为参数为的泊松过程，求公司在的泊松过程，求公司在(0，t时间段内的平均总收入。时间段内的平均总收入。(1)kW(2)1W(1)(2)1()kP WW16非齐次泊松过程非齐次泊松过程允许时刻允许时刻t的来到强度是的来到强度是t的函数的函数定义：定义：称计数过程称计数过程X(t),t0为具有跳跃强度函数为具有跳跃强度函数(t)(t)的非齐

12、次泊松过程，若的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：它满足下列条件： X(0)=0X(0)=0； X(t)X(t)是独立增量过程；是独立增量过程；1.1. )(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为tXdsstm0)()(17定理：定理：设设X(t),t0为具有均值函数为具有均值函数 非齐次泊松过程，非齐次泊松过程，则有则有tXdsstm0)()(0),()(exp!)()()()(ntmstmntmstmntXstXPXXnXX或或),(exp!)()(tmntmntXPXnX1801

13、2111( ),0( )( )( )= ( )!, 0,( )( ,|( )0 tnnninX t tm tt dtX tnnWWWtntttm tf ttX tn设为非其次泊松过程，均值函数为，则在的条件下， 次事件到达时间的条件概率密度为：，其他到达时间的条件分布到达时间的条件分布( )= ( ) ,( )( ) X tnnnXm xxtm tF xxt说明在的条件下， 次事件到达时间的分布是 个独立同分布样本的顺序统计量，其母体 的分布函数为：1，19例题例题设设X(t),t0是具有跳跃强度是具有跳跃强度 的非齐次泊的非齐次泊松过程（松过程（0），求），求EX(t)和和DX(t)。)co

14、s1(21)(tt例题例题设某路公共汽车从早上设某路公共汽车从早上5时到晚上时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：时有车发出，乘客流量如下：5时时按平均乘客为按平均乘客为200人人/时计算；时计算；5时至时至8时乘客平均到达率按线性增加，时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为时到达率为1400人人/时；时；8时至时至18时保持平均到达率不变；时保持平均到达率不变；18时到时到21时从到达率时从到达率1400人人/时按线性下降，到时按线性下降，到21时为时为200人人/时。假定乘客时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至时至14时有时有20

15、00人来人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。20复合泊松过程复合泊松过程定义：定义：设设N(t),t0是强度为是强度为的泊松过程，的泊松过程，YYk k,k=1,2,k=1,2, 是一列独立同分布是一列独立同分布随机变量，且与随机变量，且与N(t),t0独立，令独立，令0,)()(1tYtXtNkk则称则称X(t),t0为复合泊松过程。为复合泊松过程。N(t)YkX(t)在时间段在时间段(0,t内来到商店的顾客数内来到商店的顾客数第第k个顾客在商店所花的钱数个顾客在商店所花的钱数该商店在该商店在(0,t时间段内的营业额

16、时间段内的营业额21定理定理设设 是复合泊松过程，则是复合泊松过程，则 X(t), t0是独立增量过程；是独立增量过程； X(t)的特征函数的特征函数 ，其中，其中 是随机是随机变量变量Y1的特征函数，的特征函数，是时间的到达率；是时间的到达率；1.1. 若若E(YE(Y1 12 2)，则，则0,)()(1tYtXtNkk1)(exp)()(ugtugYtX)(ugY)(,)(211YtEtXDYtEtXE11()(1)1,2,()( )(1)!-(1)-ykntn kn kknkP YyytP X tneCk ，可以求得：结巴概率：产生另一个需求下一个需求发生的概率（经过一个指数时间的逗留）

17、例题：结巴（例题：结巴（stuttering）泊松过程）泊松过程对于一个复合泊松过程，如果对于一个复合泊松过程，如果Yn服从几何分布：服从几何分布：23泊松过程的分解泊松过程的分解例题例题设到达某商场的顾客组成强度为设到达某商场的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的概率的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若，且与其他顾客是否购买商品无关，若X( t )，t0为购买商品的顾客为购买商品的顾客数，证明数，证明X( t )，t0是强度为是强度为 p的泊松过程。的泊松过程。泊松过程的分解：泊松过程的分解：强度为强度为的泊松过程，事件的泊松过程，事件A在时刻在

18、时刻s到达，则此到达可分解成概率为到达，则此到达可分解成概率为P(s)的的type-1到达和概率为到达和概率为1- P(s) 的的type-2到达，用到达，用Ni ( t ) ，t0，i=1,2，表示，表示type-i在时间在时间(0,t的达到次数，则有的达到次数，则有120()()( ),( )!1( )1nmptqttptqtP N tn N tmeenmpP s dsqpt 其中，24泊松过程的分解可推广到泊松过程的分解可推广到n个类型，用个类型，用Pi(s)表示表示type-i在时刻在时刻s达到的概率，达到的概率，定义：定义：则则Ni ( t ) ，t0为参数为参数 pi的泊松分布，且的泊松分布，且Ni ( t )相互独立相互独立011( ) 1,21tiiniipP s dsintp例