第6章多元函数微分学3-10

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A6.1.5 6.1.5 全增量及全微分全增量及全微分 全增量的概念全增量的概念 全微分的定义全微分的定义 连续与可微的关系连续与可微的关系 可微的必要条件可微的必要条件 可微的充分条件可微的充分条件 全微分的记号全微分的记号全增量及全微分的定义全增量及全微分的定义全微分计算习例全微分计算习例2-6内容小结内容小结全微分在数值计算中的应用全微分在数值计算中的应用近似计算近似计算误差估计误差估计6.1.56.1.5全增量及全微分全增量及全微分一、全增量及全增量及全微分的定义全微分的定义 ),(),

2、(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得6.1.5 6.1.5 全增量及全微分全增量及全微分1.全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz 应用应用 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算近似计算估计误差估计误差2. 全微分的定义全微分的定义定义定义: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在定义域在定义域 D 的内点的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成可表示成, )(oyBxAz其中其

3、中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数),(yxf在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, 记作记作yBxAfz dd22)()(yx则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微，可微，处全增量处全增量AxBy 验证函数可微验证函数可微, 须考察两个方面须考察两个方面: ;, )1(的线性函数的线性函数是是yxdz ).0( , 0 )2( yBxAz若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, 则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.3. 连续与可微的关系连续与可微的关系定理定理1 如果函数如果

4、函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续. 证明证明 ),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 4. 可微的必要条件可微的必要条件定理定理2 . ,),(),(yyzxxzdzyzxzyxyxfz 且且存在存在则则可微可微在在若若证明证明 ),( oyBxAz .,成立成立对任意对任意yx ),(),(,0yxfyyxfx 有有时时当当|),(|yoyB ByyoByyxfyyxfyy )(lim),(),(lim00

5、,Byz 即即.Axz 同理同理. yyzxxzdz 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在.)0 , 0( 000),( 1222222处的可微性处的可微性在在讨论讨论例例 yxyxyxxyyxf解解 xfxffxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 0 . 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yfyffyy yBxAz 22)()(yxyx 22)()(yxyx 20)(2xxxxy , 021 .)0 , 0(),( 处不可微处不可微在在yxf可微可微可偏导可偏导

6、5. 可微的充分条件可微的充分条件 定理定理3 如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分 证明证明 ),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf xyyxxfx ),(1 中值定理中值定理yyyxfy ),(2 )1,0(21 yxyyxfxyxfyx 21),(),( 2121 yx, 00 )(21 oyx 即即故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.xyxfx ),(1 偏导连续偏导连续yyxfy ),(2 )0, 0,(21时

7、的无穷小时的无穷小为为 yx 6. 全微分的记号全微分的记号 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况7. 全微分计算习例全微分计算习例 22,.ux yxydu设设求求例例3,)0 , 0(),( 0)0 , 0(),( 1sin),( 622 yx

8、yxyxxyyxf设设例例?)4?()3( ?)2?()1( ,)0 , 0(是否可微是否可微偏导数是否连续偏导数是否连续偏导数是否存在偏导数是否存在是否连续是否连续处处在在例例 2 2 计算函数计算函数 xyez 在点在点 )1 , 2( 处的全微分处的全微分. . 解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 处的全微分处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 例例322,.ux yxydu设设求求解解22,uxyyx 22,uxxyy 2222.du

9、xyydxxxy dy,uuxy因因连连续续，故故解解,2cos21yzzey ,yzye 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin zyzeyxzu 2sin 证证 （1）令令,cos x,sin y ),(lim)0 , 0(),(yxfyx. 0)0 , 0( f232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 ,

10、0(), 0(lim0, 000lim0 yy ),(lim)0 , 0(),(yxfyx232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx )0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即总结：总结： 00,fx yxy证证明明在在点点是是否否可可微微的的步步骤骤： 0000,;xyfxyfxy(1)(1)求求 0000000

11、02200,limxyxyfxx yyfxyfxyxfxyyxy 2 考考察察极极限限 000030,xyxy（ ）如如果果上上式式极极限限为为 ，则则在在点点可可微微，如如果果极极限限不不存存在在，则则在在点点不不可可微微。?)4?()3( ?)2?()1( ,)0 , 0(是否可微是否可微偏导数是否连续偏导数是否连续偏导数是否存在偏导数是否存在是否连续是否连续处处在在解解 xyyxxy 221sin0)1()0, 0( 0yx),0 , 0(01sinlim22)0, 0(),(fyxxyyx 故函数连续故函数连续.,)0 , 0(),( 0)0 , 0(),( 1sin),( 622 y

12、xyxyxxyyxf设设例例xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0()2(0, 000lim0 xx. 0)0 , 0( yf同理同理,)0 , 0(),(时时当当 yx ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy (3)当点当点),(yxP沿直线沿直线xy 趋于趋于)0 , 0(时时, ),(lim0yxfxxxy ,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续. yBxAf0 )4(2222)()()()

13、(1sinyxyxyx 2)()(22yx )0, 0( 0 yx故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在可知当可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及及有近似等式有近似等式:),(yxf(可用于近似计算可用于近似

14、计算; 误差分析误差分析) (可用于近似计算可用于近似计算) 半径由半径由 20cm 增大增大解解: 已知已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003例例7. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到到 20.05cm , 则则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm ,体积的近似改变量体积的近似改变量. 求此圆柱体求此圆柱体例例8.8.计算计算的近似值的近似值. 02. 204. 1解解: 设设( , )yf x yx, ,则则),

15、(yxfx取取1,2,xy则则)02. 2,04. 1(04. 102. 2f(1, 2)(1, 2)(1, 2)xyffxfy 08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln0.04,0.02xy 分别表示分别表示 x , y , z 的绝对误差界的绝对误差界, ,2. 误差估计误差估计利用利用yyxfxyxfzyx),(),(令令z 的绝对误差界约为的绝对误差界约为( , ) ( , ) zxxyyfx yfx yz 的相对误差界约为的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(则则zyx , ,时，yxz ) 1 (,)2(时xyz

16、类似可以推广到三元及三元以上的情形类似可以推广到三元及三元以上的情形. .xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数很小的数不能做除数例例9. 利用公式利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin2112.5,8.3,30 , 0.01, 1800abCabC13. 0 S故绝对误差约为故绝对误差约为又又CbaSsin21所以所以 S 的相对误差约为的相对误差约为SS30sin3 . 85 .122

17、1bCasin21CCabcos2194.250.1325.94%5 . 0 计算三角形面积计算三角形面积. .现测得现测得bbSccS例例10.10.在直流电路中在直流电路中, 测得电压测得电压 U = 24 伏伏 ,解解: 由欧姆定律可知由欧姆定律可知4624IUR( 欧欧)所以所以 R 的相对误差约为的相对误差约为IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算电阻定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为相对误差为 测得电流测得电流 I = 6安安, 相对误差为相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧欧 )= 0.8 求用欧姆求用欧姆内容小结内容小