第9章习题答案

1、第4篇电磁学第9章静电场9.1基本要求掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。了解电场强度与电势的微分关系。理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及其微观解释。了解各向同性介质中和之间的关系。了解介质中的高斯定理。了解电容和电能密度的概念。9.基本概念电场强度：试验电荷所受到的电场力与之比，即电位移：电位移矢量是描述电场性质的辅助量。在各向同性介质中，它与场强成正比，即电场强度通量：电位移通量:电势能：（设）电势：（设

2、）电势差：场强与电势的关系（）积分关系（）微分关系电容：描述导体或导体组（电容器）容纳电荷能力的物理量。孤立导体的电容：；电容器的电容：静电场的能量：静电场中所贮存的能量。电容器所贮存的电能：电场能量密度：单位体积的电场中所贮存的能量，即9.基本规律库仑定律：叠加原理（）电场强度叠加原理：在点电荷系产生的电场中任一点的场强等于每个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。（）电势叠加原理：在点电荷系产生的电场中，某点的电势等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。高斯定理：真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/e 0倍。在有电介质的静电场中,

3、通过任意闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.（为闭合曲面内的自由电荷）高斯定理表明静电场是有源场，电荷是产生静电场的源。环路定理：，说明静电场是保守场。导体的静电平衡条件（）导体内部的场强处处为零；（）导体表面的场强处处与导体表面垂直。静电平衡时导体上的电荷分布规律：电荷只分布在导体的表面，体内净电荷为零。静电平衡时导体的电势分布规律：导体为等势体，其表面为等势面。9.学习指导电场强度的计算方法（）根据点电荷的场强公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带电体）。在应用此法时，应尽量采用投影式，将矢量运算化成标量运算。（）利用高斯定理来计算。这种方法只有当场

4、源的电荷分布具有某种对称性时才较为简便。因此，利用此法时，首先要判别场源电场是否具有某种对称性，其次是要选好高斯面：（）要使待求的场点位于高斯面上；（）要使高斯面上的处处相等，或使高斯面上某些部分的为零，另一些部分的相等。（）已知电势分布，利用场强与电势的微分关系来计算。电势的计算方法（）根据点电荷的电势公式，利用叠加原理，求和（场源为点电荷系）或积分（场源为带电体）。（）利用电势的定义式来计算。电容的计算：先假定电容器上带有电荷，再求其场强和电势差，最后代入电容的定义式。 介质中场强的计算:(1)确定带电体和电介质是否具有对称性.(2)根据场的对称性,选取合适的高斯面.(3) 利用介质中的高

5、斯定理求出的分布.(4) 由,求出的分布.5电场能量的计算：先要弄清场强的空间分布，找出电能密度的表达式，再代入公式求积分。以上仅为一般情况，实际问题尚需根据具体情况灵活处理。例1 长米的直导线均匀地分布着线密度为的电荷。求：在导线的垂直平分线上与导线中点相距处点的场强。例1图解 以导线中心为坐标原点，如图所示建立坐标系。线元在点产生的电场强度为（方向如图所示）由于对称性，其叠加场强沿轴正方向，水平方向场强相互抵消。在点的场强为 方向沿y轴正方向。当导线l为无限长时，由上式可求得场强为。例2图例2 一带电细线弯成半径为的半圆形，其电荷线密度为,式中为半径与轴所成的夹角,为一常数，如图所示，试求

6、环心O处的电场强度。解 在处取电荷元，其电量为它在O点处产生的场强为在 x、y 轴上的两个分量， 所以 例3 一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线.解 无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称,其电场和电势的分布也呈轴对称分布.取高度为,半径为且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面,由高斯定理知当时 例3 图得 当时 得 取棒表面为零电势,空间电势的分布为当时 当时 例3图是电势随空间位置的分布曲线.9.5 习题详解9.1 某电场的电场线分布情况如图所示，一负电荷从M点移到N点。有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

7、（ ）习题9.1图（A）电场强度EM < EN （B）电势VM < VN（C）电势能EPM < EPN （D）电场力的功W > 0。解：正确答案（C）。电场线的疏密程度反映了场强的强弱，由图可见，M点处电场线密度较N点处电场线密度大，故有EM > EN ；电场线的性质告诉我们，沿着电场线方向电势是逐点降低的，应有VM > VN ；电势能，故，答案（C）正确；电场力作功。9.2 下列叙述中正确的是( )（A）等势面上各点的场强大小一定相等（B）场强指向电势降落的方向（C）电势高处，电势能也一定高（D）场强大处，电势一定高 解：正确答案（B）。等势面上各点只有电

8、势相等的结论，没有各点场强大小相等的结论；场强方向是沿着电场线的方向，也就是电势降落的方向，答案（B）正确；电势能，电势能与和均有关，若电势高，而为负电荷时，其电势能就低；场强大处，只能反映该处电场线密度大，不能说明该处电场一定高，比如，在负点电荷的电场中，靠近点电荷处的电场线密度大，场强大，但是电势却低。9.3 半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，如图所示设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的P点处的电场强度的大小和电势为( )习题9.3图OPQRr（A）E0，（B）E0，（C），（D） , 解：正确答案（B）。 由电荷分布的球面对称性可知，其电场分布亦具有球面对称性，即以O点为球心的球

9、面上各点电场强度大小均相等。由高斯定理可得P点场强E=0,带点球面外电场分布为，故P点电势9.4下面列出的真空中静电场的电场强度公式，试判断哪种表述是正确的（ ） (A) 点电荷 周围空间的电场强度为 （ 为点电荷到场点的距离） (B)电荷线密度为 的无限长均匀带电直线周围空间的电场强度为 ( 为带电直线到场点并且垂直于带电直线的单位矢量) (C)电荷面密度为 的无限大均匀带电平面周围空间的电场强度为 (D)电荷面密度为半径为的均匀带电球面外的电场强度为 ( 为球心指向场点的单位矢量) 解:正确答案 （D） （A）中场强表达式，等号左侧是矢量，等号右侧是标量，等式不成立；（B）中正确

10、结果应为；（C）中等式两边分别是矢量和标量，等式不成立；（D）由高斯定理可求得电场强度为习题9.5图9.5 如图所示，闭合面内有点电荷，为面上的一点，在面外点有另一电荷q，若将q移到面外另一点处，则下列说法正确的是（ ）（A）面的电场强度通量改变，点场强不变（B）面的电场强度通量不变，点场强改变（C）面的电场强度通量不变，点场强不变（D）面的电场强度通量改变，点场强改变解：正确答案（B） 面内的电荷量没变，故面的电场强度通量不改变，又由于q点的移动，改变了空间电荷的分布，故P点场强要改变。9.6 一个未带电的空腔导体球壳内半径为R。在腔内离球心的距离为d处 (d < R) 固定一电量为q

11、的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O处的电势为（ ） (A) 0 (B) (C) (D) 解： 正确答案（D） 由于静电感应，在没有接地前，球壳内表面产生感应电荷，外表面产生感应电荷。当用导线把球壳接地后，导线中会有负电荷从大地上来，和外表面上的正电荷中和，撤去接地导线后，球壳上只有内表面上有感应电荷，外表面没有感应电荷。根据电势的叠加原理，球心O处电势为点电荷在该处产生的电势与球壳上只有内表面上感应电荷在该处产生电势的代数和，故正确答案为(D)。9.7 一正点电荷带电量q，A、B、C三点分别距离点电荷、。若选B点的电势为零，则点的电势为_，点的电势为_。

12、习题9.7图ABC解 习题9.8图9.8 在坐标原点放一电荷量为的正电荷，它在点（，0）处激发的电场强度为，现在引入一个电荷量为的负电荷，试问应将负电荷放在什么位置_才能使点的电场强度等于零.解 的方向为方向，可知在点产生的场强为方向，大小亦为，由可得，则负电荷应该放在点处。9.9 如图所示，真空中两个正点电荷 相距 。若以其中一点电荷所在处 点为中心，以 为半径作高斯球面 ，则通过该球面的电场强度通量 _；若以 表示高斯面外法线方向的单位矢量，则高斯面上 、 两点的电场强度分别为 _，和 _ 习题9.9图 解 由高斯定理得；由电场叠加原理得 ；习题9.10图9.10 真空中一半径为

13、 的均匀带电球面带有电荷 ( )如图所示，在球面上挖取一个非常小的面元 ，假设挖取面元后不影响其他各点的电荷分布，则挖取 后球心处电场强度的大小 _，其方向为_解 可将球心处的场强，看作是由小面电荷部分产生的场强与球面上其它部分面电荷产生的场强的叠加。在没有挖之前，球心处场强为零，即，所以，方向由圆心 点指向。9.11 有一平行板空气电容器，充电后与电源断开，然后注入相对介电常数为的均匀 电介质。则注入介质后，下述各物理量与未注入介质前之比分别为：电容器的电容 CC0 _；电容器中的电场强度EE0_；电容器中的电位移DD0_；电容器储存的能量WW0_-。解 ；9.12 两个点电荷所带电荷之和为

14、Q，问它们各带电荷为多少时，相互之间的作用力最大？解设其中一个点电荷带电，则另一个点电荷带电，两点电荷之间的库仑力 由极值条件 ， 得 又因，表明两个电荷平分时，它们之间的相互作用力最大。9.13 一半径为的半圆环上均匀地分布电荷，求环心处的电场强度.习题9.13图 解 在半圆环上取线元， 其电荷，此电荷可视为点电荷，它在环心产生电场，因圆环上电荷对轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有，点的合电场强度，其大小由几何关系，统一积分变量后，有方向沿轴负方向。习题9.14图9.14 两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为 ()及，如图所示，试求I、各区域中的电场强度。解 无限大带电平

15、面周围场强大小为，方向由平面垂直向外；无限大带电平面周围场强大小为，方向垂直指向带电平面。因此，两带电平面在各区域产生的合电场强度分别为 ， 方向向右； ， 方向向右； ， 方向向左。9.15 长的直导线上均匀地分布着线密度为的电荷。求在导线的延长线上与导线近端相距R处P点的场强。 习题9.15图 (a)(b)解 如图(b)所示，取A点为坐标原点，向右为x轴正方向。在直导线上任取一线元dx到A点距离为x，带电线元在点产生的电场强度为而直导线上各段带电线元在P处产生场强方向相同（沿x轴正方向），故总场强为方向沿x轴正方向。9.16 在半径为和（）的同心球面上，分别均匀地分布着正电荷和，求场强分布

16、。解 （1）对称性分析：场强沿径向；离球心O距离相等处，场强的大小相同。可见场强具有球对称性，可以用高斯定理求场强。（2）选择高斯面：选与带电球面同心的球面作为高斯面。 q2S3R1R2S2S1q1当r>R2时，取半径为r的高斯面S1，如图所示。由高斯定理有因为场有上述的对称性，所以解得 当R1<r<R2时，取半径为r的高斯面S2，如图所示。由高斯定理 因场强有球对称性，故解出 当r<R1时，取半径为r的高斯面S3，如图所示。由高斯定理因场强是球对称的，则有所以 E=0从上面计算的结果得到场强的分布为9.17如图所示，AB=2l，弧OCD是以B为中心 、l为半径的圆，A

17、点有一正电荷，B点有一负电荷,求：（1）O点的场强与电势，D点的场强与电势；（2）把单位正电荷从O点沿弧OCD移动到D点，电场力对它做了多少功；（3）把单位负电荷从D点沿AB的延长线移动到无穷远处，电场力对它做了多少功。习题9.17图 C +q -qA B DO 解（1）点场强为正负两个点电荷产生的场强的叠加 方向沿A指向B。点电势为正负两个点电荷产生的电势的叠加 同理， 方向沿B指向A（2）（3）9.18 在习题9.15中，求P点的电势。习题9.18图解 如图所示，取A点为坐标原点，向右为x轴正方向。在直导线上任取一线元dx到A点距离为x，带电线元在点产生的电势为所有带电线元在点产生的电势为

18、9.19一无限长直线，线电荷密度为，如果B点离直线的距离是A点的2.0倍，求A、B两点之间的电势差。解 9.20 一根长为L的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为，试求在圆心O点的电势。解 半圆形导线半径：,O点电势可由电势迭加原理求解。在带电细棒上任意处取线元，所取线电荷元可视作点电荷，该电荷元在圆心处产生的电势为 带电细棒在圆心处产生的电势为 9.21如图所示，在XY平面内有与Y轴平行、位于x= a/2和x=- a/2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为和，求Z轴上任一点的电场强度。 习题9.21图图（b）(a)解 过Z轴上任一点(0，0，z)分别以两条带电细线为轴作单

19、位长度的圆柱形高斯面，如图（b）所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为方向如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为 方向如图所示，或用矢量表示9.22 如图所示，一半径为 、长度为 的均匀带电圆柱面，电荷面密度为 。试求端面处轴线上 点的电场强度。      习题9.22图(a)(b)解 取底面圆心处为坐标原点， 轴沿轴线向上为正。在距 点为 处的圆柱面上取高度为 的圆环，其上电荷为            

20、;                        小圆环在 点产生的电场强度大小为                         

21、0;         方向沿轴正方向。由于柱面上所取各小圆环在 点产生的电场强度方向均沿轴正方向，所有小圆环在 点产生的电场强度的叠加即为带电柱面在 点产生的电场强度，其大小为                            

22、;                                       电场强度方向沿 轴正向。          

23、60;        9.23 如图所示，在真空中有一电荷面密度为 的无限大带电平面，考察距离平面 处的电场强度，其大小的一半是由平面上半径为 的圆周内的电荷所激发的试求该圆的半径习题9.23图解 电荷面密度为 的无限大均匀带电平面在任意点的电场强度大小为                       

24、;               以图中 点为圆心，取半径为 的环形面积，其电荷为                             它在距离平面为 的一点处产生的电场强度 &

25、#160;                                           则半径为 的圆面积内的电荷在该点的电场强度为   &#

26、160;                              由题意,令 ，得到             9.24 求习题9.16中电势的分布 S1 习题9.24图解 根据场

27、强分布，可以从电势的定义出发求出空间的电势分布当r>R2时当R1<r<R2时当r<R1时9.25 半径分别为 1.0 cm与 2.0 cm的两个球形导体，各带电荷 1.0×10-8 C，两球相距很远若用细导线将两球相连接求（1） 每个球所带电荷；（2） 每球的电势 解 （1）两球相距很远，均可视作孤立导体，孤立导体球电势 可见两球电势不相等，相连后两球电势必相等，因此必然会有电荷在两球体之间转移，设达到平衡时小半径球带电量为，大半径球带电量，由电势相等可得 解得 （2）6000V9.26 如图所示，在真空中将半径为R 的金属球接地，在与球心O相距为r（r>R）处放置一点电荷q，不计接地导