天体运动问题中的几个基本要点剖析

1、天体运动问题中的几个基本要点剖析万有引力定律的发现为研究天体运动奠定了理论基础天体运动问题是历年高考中的一个重要考点，此类问题涉及牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动以及功能关系等知识的灵活应用回顾历年高考以及平时复习训练对天体运动的考查，要掌握好天体运动问题，须把握“一条基本定律、两条解题思路、三种天体模型、四组概念辨析、五个常量的应用”这五个基本要点，下面对这些要点作一剖析一一条基本定律一条基本定律是指万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比公式：适用条件：适用于两质点间的相互作用，具体应掌握以下三种情况：两物体间的

2、距离远大于物体本身的线度，两物体可视为质点处理，其距离为两质点间的距离；两个质量分布均匀的球体间，其距离为两球心间的距离；一个均匀球体和一个可视为质点的物体之间，其距离为质点到球心的距离例1如图1，在一个半径为，质量为的均匀球体中紧贴球边缘挖去一个半径为的球形空穴后，对位于球心和空穴中心线上，与球心相距的质点的引力是多大？解析：完整的均匀球体对球外质点的引力为：设挖去的半径为的小球质量为M1，易得，若小球未被挖去时，此小球对质点的引力为，所以挖去球穴后剩余部分对质点的引力为：点评：此题应用等效的思想运用先“补”后“割”的方法求得不规则物体间的引力大小，方法值得借鉴二两条解题思路思路一：根据万有

3、引力提供天体做圆周运动时所需的向心力，由牛顿第二定律有：（其中、）思路二：对地球表面或在其表面附近绕其做圆周运动的物体有：（其中）此式也适用于其它天体，只是不同的天体因质量和半径不同，g的值也不同，g一般称为天体表面的重力加速度例2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东京98°和北纬，已知地球半径为，地球自转周期，地球表面重力加速度（视为常量）和光速，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）解析 设为卫星质量，为地球质量，为卫星到地球中心的距

4、离，为卫星绕地心转动的周期，也就是地球自转周期，由万有引力定律和牛顿第二定律得：式中为万有引力恒量，再由得：把代入得设嘉峪关到卫星的距离为，如图所示，由余弦定理得：，故所求时间为，由以上各式得：点评：抓住以上两条解题思路是解天体运动问题的关键，同时还要注意其它相关知识的应用三三种天体模型模型一：“自转”天体此类天体在绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动，而此类天体表面上的物体（相对天体静止）则以转轴上某一点为圆心做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动例3 如图所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面上的不同纬度处，如果把地球看成是一个均匀球体，则( )AP、Q受地球引力大小相

5、等BP、Q做圆周运动的向心力大小相等CP、Q做圆周运动的周期相等DP、Q做圆周运动的线速度大小相等解析： 设地球质量为，半径为，自转角速度为，P、Q两质点受引力均为，A正确；P、Q做圆周运动的角速度等于地球自转角速度，则P、Q做圆周运动周期均为，C正确；因P、Q做圆周运动的半径不同，由和知B、D均错，故选A、C模型二：“公转”天体此类天体在绕另一天体（称为中心天体，认为静止）做匀速圆周运动，其做圆周运动所需的向心力由中心天体对其引力提供，如人造卫星绕地球运动，月球绕地球运动等例4 如图4所示，a、b、c是环绕地球的圆形轨道上运行的三颗人造卫星，下列叙述正确的是( )Ab、c的线速度大小相等，且

6、大于a的线速度Bb、c的周期相等，且大于a的周期Cb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Db、c所需的向心力大小相等解析： 设地球质量为，卫星与地心间距离为，由卫星做圆周运动所需的向心力由地球对其引力提供有：式中、分别表示卫星绕地球运转时的线速度、周期、向心加速度得，越小，线速度越大，A错；，越大，周期越大，B正确；，越小，向心加速度越大，C错；，因b、c卫星质量未知，其向心力大小无法比较，D错，故应选B模型三：“双星”天体“双星”是宇宙中两颗相隔一定距离，且都在围绕其连线上的某点做匀速圆周运动的天体，两颗星做圆周运动的角速度相等例5 两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须以一定的

7、角速度绕二者连线上的一点转动才不至于由于万有引力作用而吸在一起，已知两颗星的质量分别为、，相距，试求这两颗星的中心位置和转动的周期解析：设两颗星做圆周运动的周期均为，转动中心距距离为，由两颗星做圆周运动的向心力由两颗星间万有引力提供，有：，解得，四四组概念辨析发射速度与环绕速度的区别当卫星绕地球做稳定的圆周运动时，由，得，则卫星离地越高，其环绕半径越大，其环绕速度则越小；因发射人造卫星时需克服地球引力做功，则要将卫星发射到离地越高的轨道绕地球做圆周运动，则发射速度需越大例某人试图发射一颗绕地球做圆周运动的卫星，设地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为9.8m/s2，下列设想中哪些是可以

8、实现的（ ）A、环绕速度为9.7km/sB、环绕速度为6.5km/sC、周期为12hD、周期为1h解析：由地球对卫星的引力提供其绕地球做匀速圆周运动的向心力有：和得，由上述表达式可看出，越小，越大，越小当近似为地球半径时，最大，最小在地球表面有，即，则可解得： ，故应选、点评：称为第一宇宙速度，是发射人造卫星的最小发射速度，同时也是所有绕地飞行的人造卫星中的最大环绕速度重力与引力的区别重力是由于地球吸引而产生的，但由于地球的自转而导致地面上物体的重力与引力略有差异，在高中阶段，只要能区分赤道和两极处重力与引力的差异即可，相关知识要点如下： 物体在两极处时，因物体并不绕地轴做圆周运动，则两极处物

9、体重力与引力相等，即，其中为地球质量，为地球半径物体在赤道处时，物体因随地球一起转动，物体在绕地心做匀速圆周运动，物体受到地球对其引力中将有一部分提供其绕地心做圆周运动时所需的向心力，此时物体重力为，其中为地球自转角速度，易知对绕地球做匀速圆周运动的卫星而言，其重力等于引力，只是重力全部用来提供其做圆周运动时所需的向心力，从而处于完全失重状态，并非物体此时不受重力，当卫星在离地高处绕地球运行时有：例人造卫星在绕地球做匀速圆周运动时，对卫星内物体，下列说法正确的是（）、处于完全失重状态，所受重力为零、处于完全失重状态，所受引力为零、处于平衡状态，所受合外力为零、所受重力等于引力，且所受的重力是维

10、持它跟卫星一起绕地球做匀速圆周运动时所需的向心力解析：做匀速圆周运动的卫星及其内部的物体，受到地球的万有引力等于重力，其全部用来提供其做圆周运动时所需的向心力，虽物体处于完全失重状态，但本身的真实重力不等于零物体有向心加速度，合外力不等于零，正确答案为例某行星自转周期为，在该行星上用弹簧秤称某物体重力，在该行星赤道上称得物体重力是两极处测得读数的，若该行星看作球体，则它的平均密度为多少？（保留一位有效数字）解析：设该行星质量为，半径为，则物体在两极有：在赤道有：依题意有：联立以上三式解得：则行星密度为：向心加速度与重力加速度的区别向心加速度是当物体做圆周运动时具有指向圆心的加速度，重力加速度则

11、是物体受重力而使物体产生的加速度，相关知识要点如下：先看向心加速度：对地面上的物体（相对地球静止），在两极处时，因物并未做圆周运动，其向心加速度；在赤道处时，其中为地球自转角速度；在其它任意一位置（如例中图的处）时，其随地球转动而绕地轴上O1做半径为r的匀速圆周运动，则再看重力加速度：对地面上的物体（相对地球静止），若不考虑地球自转引起的地球上不同地方物体的重力差异，则地球上各处重力加速相同，为；若考虑地球自转，在赤道处为；在两极处时，无论考不考虑地球自转，均为对绕地球做圆周运动的人造卫星而言，此时重力等于引力，其向心加速度与重力加速度相同，由得：，即离地面越高处，重力加速度则越小例设地球同步

12、卫星的轨道半径为，运行速率为，加速度大小为，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为，第一宇宙速度为，地球半径为，则（）A、解析：设地球自转角速度为，因地球同步卫星和地球自转角速度相同，有：，对绕地球做圆周运动的同步卫星有，则；因第一宇宙速度大小等于近地卫星绕地球的运行速率，则，正确答案为、4、同步卫星与一般卫星的区别因人造卫星受地球引力指向地心，所有人造卫星的轨道圆心都必须是地心，此时卫星才能稳定运行，一般卫星的轨道圆心只要以地心为圆心即可，其轨道平面无特殊限制因同步卫星要与地球保持相对静止，所有同步卫星的轨道都相同，轨道的圆心为地心，轨道平面与赤道平面共面，因地球同步卫星的同期与地球自

13、转周期相同，为，则由和可得，将等量代入可得，即所有同步卫星离地面高度，环绕速率，角速度均为相同的确定值值得注意的是，赤道平面上空的卫星并不一定是同步卫星 例可以发射一颗人造地球卫星，需使其圆轨道（）A在地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆B与地球表面某一经度线所决定的圆是共面同心圆C与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的解析： 万有引力完全用于提供人造卫星绕地球作圆周运动的向心力A选项的情景中，万有引力在某一纬度面内的一分力提供向心力，而万有引力的另一分力会使卫星轨道离开该纬度平面，A错；B选项的情景，万有

14、引力全部提供了卫星做圆周运动的向心力，使其轨道平面相对地心、两极固定下来，但由于地球不停自转，轨道平面不会固定于某一经度决定的平面，B错误；赤道轨道上卫星受到的万有引力全部提供向心力，除同步卫星采用“地球静止轨道”外，赤道轨道上的其他卫星都相对地球表面是运动的，故选、五、五个常量的应用在解天体运动问题时，经常涉及到一些天文常识和一些常量的应用，题目中一般不明确告诉，属隐含条件，须自觉加以应用，下面五个常量就是解天体运动问题时常用到的：万有引力常量：地球表面上或表面附近的重力加速度值： 地球自转周期以及同步卫星绕地球的运转周期：地球绕太阳的运转周期： 月球绕地球的运转周期：例11 已知地球半径为

15、，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为多少？（结果只保留一位有效数字）解析：设地球质量为，半径为，月球质量为，月球到地心距离为，月球绕地球做圆周运动的周期为，由月球绕地球做圆周运动的向心力由地球对其万有引力提供有： 又由地球表面物体重力近似等于万有引力有 联立、两式得代数据，地球表面重力加速度，月球绕地球做圆周运动周期得：21经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双性系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可

16、以当作孤立系统来处理.现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测T计算=（）为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，若不考虑其它暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度【答案】（1）；（2）解析：（1）对每个星体，有则（2）考虑暗物质的引力，对星体，有又联立解得17（1990年·全国）假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则A根据公式，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的C根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的D根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的Q12O38神舟六号飞船飞行到第5圈时，在地面指挥控制中心的控制下，由椭圆轨道转变为圆轨道轨道的示意图如图所示，O为地心，轨道1是变轨前的椭圆轨道，轨道2是变轨后的圆轨道飞船沿椭圆轨道通过Q点的速度和加速度的大小分别设为v1和a1，飞船沿圆轨道通过Q点的速度和