第15章机械波教案2007

1、第十五章 机械波15-1 机械波的产生和传播一 机械波产生的条件（两个必要条件）* 波源: 振动的物体_波的激发源。* 弹性介质: 能随波源而振动的介质。二 机械波的传播如图: 一根绳子沿x轴放置，O点有一个波源简谐振动。 波形: 波的图形，波形推进的过程。波速: 波的传播速度。注意: 波的传播速度和质点的振动速度的区分:波速是振动状态传播的速度，匀速率向前传播；质点振动速度是质点的运动速度，往复变化，并不随波逐流。讨论：用x表示波动中各质点的平衡位置，用y表示振动的位移。于是o点的振动方程为： （）（由图，或把t代入，得知）t = 0时，o点的位置在平衡位置，在向正方向运动，相位为-/2;t

2、=T/4时，o点的位移为正最大，相位为0;t=T/2时，o点的位置在平衡位置，在向负方向运动，相位为/2；t=3T/4时，o点的位置位移为负最大，相位为0；t = T时， o点的相位还原为-/2。（同理可考察沿传播方向的a、b、c、d点的相位变化，依次落后T/4，/2）特点：* 各质点振动的周期和频率与波源相同；* 波的传播实质上是相位的传播；* 波速实际上是相位的传播速度，又称相速度（相速）。三 横波和纵波横波: 质点振动方向和波传播方向相互垂直 (绳波)；纵波: 质点振动方向和波传播方向相互平行(弹簧水平振动，空气中的声波)。四 波阵面和波射线* 波阵面(波面): 振动相位相同的点连成的面

3、(同相面);* 波前: 波面中走在最前面的波面;* 平面波: 波面是平面的波;* 球面波: 波面是球面的波;* 波射线(波线): 描述波的传播方向的有向曲线, (在各向同性介质中，波线总是与波面垂直，且指向振动相位降落的方向)五 波长和频率* 波长: 同一波线上相邻的相位差为2p 的同相点间的距离, l 表示。* 周期: 完整波通过波线上一点所需的时间，T表示(等于质点的振动周期)。* 频率: 周期的倒数，n 表示。 ， ， (15-1)六 弹性介质(a) 长变 (b) 切变 (c) 体变1. 长变弹性物体受外力的拉伸或挤压，长度改变时所表现的弹性。如图a : 横截面为S，长为l，受力f作用，

4、伸长。 _ 应力 _ 应变 (胁变)比值: _ 杨氏模量。(弹性限度内是常量，描述固体材料的长变弹性)改写为：_胡克定律 ( 劲度系数k = ES / l )弹性势能为：( 其中：V= Sl为柱体的体积 )单位体积中的弹性势能为： (15-2) 2. 切变弹性 物体在切向力(剪力)作用下产生形变时的弹性。 如图b : 柱体两端底面受切向力f作用切应力： 切应变用角：q (以弧度为单位)表示比值: _切变模量 3. 体变弹性物体的体积变化时的弹性。如图c : 压强为压强使体积缩小为 (为负值) _体应变定义 _体积模量 注意：1) 固体中能产生切变、体变、长变等各种弹性变形，能传播横波和纵波。波

5、在固体中传播速度： (横波) (15-3) (纵波) (15-4)(为介质的质量密度)绷紧柔软绳索传播横波的速度： (F为张力，m为单位长度的质量)2) 液体和气体不能发生切变，不能传播横波，能传播纵波。纵波传播速度为 (15-5)对于理想气体，绝热过程，声速公式为： 式中: _摩尔质量，g_比热容比，p_压强，T_热力学温度，R_摩尔气体常量。例如: 空气在标准状态下声速为()： -15-2 平面简谐波 波动方程* 行波: 波的相位传播。* 波动方程（或波函数）：描述波动中任一质点的振动方程。* 简谐波(余弦波或正弦波)：最基本的波 (特别是平面简谐波)设：平面简谐波的周期为T，波长为，波速

6、为u * 波程：波由A点到B点所经历的路程l。* 时间差：（t = l / u，即：要过t时间，B点才到达A点的现状）B点振动比A点落后的时间差为： (15-6)* 相位差（A点和B点）： (15-7)* 对应关系： 2 T整数个 ( 2 T ) 振动同相；半整数个 ( T/2 ) 振动反相。一 平面简谐波的波动方程一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速u，O为原点。* 假设 x = 0处质点的振动方程为： * 平面简谐波的波动方程：（考察任意一点P的振动，坐标为x） O点到P点的波程为x，P点振动比O点落后 ，故任意P点振动方程为: (15-8) 平面简谐波的波动方程 * 不同表述：P点振动在相

7、位上比O点落后 ，故P点振动为： * 讨论：1) P点坐标x为正值，P点的相位比O点落后；P点坐标x为负值，P点的相位比O点超前。2) 正行波：波沿着x轴传播。反行波：波逆着x轴传播（P点的相位应比O点怎样？）3）简谐波的波动方程一般形式（规定波速u为正值）： (15-9)式中：负号正行波， 正号反行波。* 可改写成（利用关系式和）： (15-9a) (15-9b)* 简单形式（原点的初相为零）： (15-10)或 （15-10a）_波动方程常用形式4）波函数的物理意义*定位看：当x一定时，y仅为时间t的函数，表示该质点作简谐运动的情况。 它即是某点的振动方程。( 函数形式表现为, y-t曲线

8、 )*定时看：当t一定时，y仅为x的函数，表示某一时刻各质点的位移的分布情况。它即是某时刻的波形方程。( 函数形式表现为, y-x曲线 )（a） X = 0处质点的振动曲线 （b） t = 0时波的波形曲线 *当x、t都变化：描述波动中任一质点的振动规律，它反映了波的传播过程。 (x轴上任意一点的振动方程, 函数形式表现为)5) 质点的振动速度(对t求一阶偏导数): 6) 质点的加速度(对t求二阶偏导数)： 二 波的微分方程1. 平面波的微分方程对 , 分别求二阶偏导数，得: 比较得: (15-11) _平面波的微分方程 (适用于任意的平面波，即使不是简谐波)2. 三维波动微分方程三维空间,

9、无吸收的各向同性均匀介质，有： (15-12)式中: _振动位移 _ 三维波动微分方程三 波动方程的推导（以纵波沿细长棒的棒长方向传播为例） 设: 截面为S、密度为的细长棒，考察体积元ab，体积。左端面处的应力(单位截面上的受力)为s (方向向左)，右端面的应力为(方向向右, 为应力随距离改变率)因此: 按照, ， ，有： 化简后为： (15-14)体积元左端位移y，右端位移，长度变化，体积元原长为所以，应变(相对伸长)为: 或 据杨氏模量E定义(应力与应变比值)，应力为杨氏模量与应变的积，有: 及 于是 (15-14)式变为： (式中_常量)_ 棒中各点振动的偏微分方程令 ， 由此: (15

10、-11) _ 平面波的微分方程(注: 此式解是一般平面波,u为传播速度)-例15.1 设某一时刻绳上横波的波形曲线如图(a)，水平箭头表示该波的传播方向。试用箭头表明：图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点在该时刻的运动方向，并画出经过1/4周期后的波形曲线。 (a) (b) (c)解：在图(a)中C正达到正最大位移处， G处于负最大位移处，速度为零。下一瞬时的波形曲线见图中虚线，各质点运动方向如图(b)。经过T/4后波形应向左平移/4(图(c) (波形每一周期向前推进一个波长)。-例15.2 有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为 (见图), 如果x轴上坐标为x0 处质点的振动方程为，

11、试求：(1) 波动方程，(2) 坐标原点处质点的振动方程，(3) 原点处质点的速度和加速度。解: (1) 考察x轴上任意一点，坐标为x , 从x0 到x的波程为x - x0，按(15-7)式，x处质点振动相位比x0质点落后，故波动方程为: (2) 把x = 0带入上式，即得原点处质点的振动方程: (3) 原点处质点速度为: 加速度为:-例15.3 一简谐波逆着x轴传播，波速u = 8.0m/s。设t=0时的波形曲线如图。求：(1) 原点处质点的振动方程；(2) 简谐波的波动方程； (3) t =时的波形曲线。 解：(1) 由波形曲线图可看出：波的振幅A=0.02m，波长=2.0m，故：波的频率

12、为: 角频率为: t = 0时原点处质点位移为零，速度为正值，可知初相为-/2，故：原点的振动方程为: （2）设x轴上任意一点的坐标为x，从该点到原点的波程为x，x处质点振动的时间比原点处质点超前，故波动方程为: (3） 经过3T/4后的波形曲线应比图中的波形曲线向左平移3/4，也相当于向右平移/4 (如图中虚线所示)。( 谐振方程_谐波方程 )-例15.4有平面简谐波沿x轴正方向传播，波长为，周期为T。如果x轴上坐标为x0 处的质点在t0时的位置在平衡位置且正在向负方向运动，试求: 简谐波的波动方程。解: 按题意可知x0 处质点在t0时振动的相位为/2。由于x0 处质点振动的相位每过一个T要

13、增加2，所以x0 处质点在任意t时的振动相位为 ，故x0 处质点的振动方程为: 从x0 到坐标为x的任意一点的波程为x - x0，按(15-7)式，x处质点的振动相位比x0质点落后，故x点的振动方程_波动方程为: * 可采用拟合法 (由简谐波通式 求波动方程)对于正行波，x前面取负号，设波动方程为: 按题意，x0 处质点在t0时的振动的相位为/2，即： 于是: 代入, 得: - 15-3 波的能量 波的强度介质_质元_振动_动能_形变_势能_能量传播(重要特征)(本节以平面简谐纵波在棒中传播的特殊情况为例对能量传播作说明)一 波的能量任取体积元=Sx ，质量为_质元;当波动传播，质元具有动能和

14、弹性势能，设平面简谐波的表达式为： 质元的动能为： 质元的振动速度为： 代入得： 可以证明质元的动能和势能相等，有： (15-15)质元的总机械能_波能为： (15-16)讨论* 简谐振动谐振子动能最大时势能最小势能最大时动能最小相位相反（机械能守恒）。* 简谐波质元简谐振动动能和势能始终相等机械能不守恒。分析：谐振子孤立系统没有外力对它作功机械能守恒。波动质元不孤立外力作功机械能周期性变化不是守恒量。 （波形曲线）在P点：速度为零，动能为零；斜率也为零，即相对形变为零，弹性势能也为零。在Q处: 速度最大，动能最大，波形曲线较陡，有最大值，弹性势能也最大。可见：质元的动能和势能同相，不断地接受

15、和放出能量。* 波的能量密度：介质中单位体积的波动能量，用w表示，有： (15-17)（正弦函数的平方在一个周期内的平均值为1/2）* 波的平均能量密度： (15-18)（可以证明: 这个结论对于所有的简谐波都适用）二 质元的动能和势能相等的推导截面为S、密度为的细长棒，考察体积元ab，体积。当波动传播，质元具有动能和弹性势能，设平面简谐波的表达式为： 体积元的动能： 据柱体弹性势能的公式(15-2)式，体积元的弹性势能为：因，或，应变为，又按波动方程求得： 依次带入得： （与动能完全相同）三 波的强度1、 能流: 单位时间内通过介质中某面积的能量，表示为: 2、能流密度: 通过与波动传播方向

16、垂直的单位面积的能流，表示为: (15-19) (即单位时间通过单位垂面的波能) 介质中垂直于波速u取dS，沿波线取dl，体积，dV内波能为: 得能流密度为: 由于dl/dt=u，得:I = w u( 定义为矢量, 记作: I，方向为能量传播_波速u的方向 )于是:I = w u (15-20) _ 波的能流密度公式3、 平均能流密度(即波的强度, 简称波强)能流密度的时间平均值： (15-21)(其中为波的平均能量密度)对于简谐波 ，带入得： (15-22)4、 用能流密度计算波的能流通过面元的波的能流：dP = IdScos = IdS通过任意曲面的波的能流： 波的平均能流公式： 如果波的

17、能流密度与曲面垂直且大小不变，则: (15-23)* 讨论1)平面简谐波平面简谐波以波速u在均匀介质中传播，在垂直于传播方向上取两个平面，面积都等于S，且通过第一个平面的波线也通过第二个平面(见图)。 (设和分别表示平面波在这两平面处的振幅)由式(15-23)可知，通过这两个平面的平均能流分别为： 如果介质不吸收波的能量，应有： 因而有： 2）球面波球面波在均匀介质中传播（见图） 在距离波源为r处取球面，面积为。如果球面波传播是各向同性的，通过球面的平均能流等于： (15-24)在介质不吸收波能的条件下： (通过所有球面的平均能流应相等) 有： ( 即振幅和离开波源的距离成反比 )若距离波源为

18、r1和r2的两点波的振幅分别为和，则有： 如果球面波在距离球心r0处的振动为： 在任意r处的振幅为： 由于从r0处到r处的波程为 r - r0，振动的时间要落后,故 r处质点的振动方程为： _球面简谐波的波动方程-15-6 惠更斯原理 波的衍射、反射和折射一 惠更斯原理波传播_质点直接接触作用_介质后面波对其后各点作用_子波源。例如: 水面平行波_障碍物(小孔)_圆形的波 1、惠更斯(C. Hygens)原理:在波传播过程中，波阵面上的每一点都可看作是发射子波波源，在其后的任一时刻，这些子波包迹成为新的波阵面。(适用于任何波动_机械波或电磁波)2、惠更斯原理描绘球面波和平面波的传播过程的图 (

19、惠更斯原理可说明波在传播中发生衍射、反射和折射等现象)二 波的衍射波传播障碍物绕过障碍物传播方向偏转波的衍射1、衍射现象的定义：波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播，这种现象叫波的衍射。 (a) (b)图(a)表示平面波通过一狭缝发生衍射 图(b)水波模拟演示的图片 2、衍射显著发生的条件：当障碍物（小孔、缝、遮板等）的大小与波长相差不大时，衍射现象显著。3、 惠更斯原理定性解释衍射现象：波阵面到达狭缝，缝上各点为子波源，子波包迹在边缘处是半球面，波线沿半径方向，使传播方向偏离原方向而向外扩展。三 波的反射（当波从一种介质传向另一种介质时，在介质分界面上发

20、生反射）1、波的反射定律：1） 入射角等于反射角，2）入射线、反射线和分界面的法线均在同一平面内 2、惠更斯原理推导：设t=0时，入射波阵面到达AB， A、B点，波速u，以A、C为反射子波源，各点反射子波面均为半球面，其半径t0u、0的圆弧包迹为与圆弧相切直线CD反射波阵面。和两个直角三角形全等, 有： 即： 入射角等于反射角四 波的折射 （当波从一种介质进入另一种介质时，在分界面上发生折射现象） _波在介质1中的波速，_波在介质2中的波速。1、波的折射定律1）入射角与折射角的正弦之比等于波在两种介质中的波速之比，（-第二介质对于第一介质的相对折射率）2）入射线、折射线和分界面的法线均在同一平

21、面内。2、惠更斯原理推导：入射波到达分界面上的A、_折射子波源。各点折射子波面均为半球面与图面交线半径为、圆弧，其包迹是通过C点并与圆弧相切的直线CD折射波阵面，其垂直射线是折射线，与法线夹角g_折射角。有： 两式相除，得:-15-7 波的叠加原理 波的干涉 一 波的叠加* 波传播的独立性：几列波在空间相遇，每一列波将独立保持自己原有特性(频率、波长、振动方向、传播方向)，并不会因其它波存在而改变。* 波的叠加原理：介质中任一点的振动为各列波单独存在时在该点引起振动的合振动。（实际上是运动叠加原理在波动中的表现）* 例：几个人同时讲话，能听到每个人的声音声波独立性；天空中有许多无线电波传播，能

22、接收某一电台广播电磁波传播独立性。二 波的干涉1、 干涉现象波的叠加使空间某些点处振动始终加强，而另一些点处振动始终减弱，振幅形成一个稳定分布，不随时间变化的振动现象。* 相干波：能产生干涉现象的波。* 相干波源：能产生相干波的波源。* 相干条件：同频率、同振动方向、恒相差。2、相干加强、减弱的条件设相干波源S1、S2的振动为在空间某干涉点P相遇（见图） 两列波在该点的分振动为 若不考虑波的吸收对于平面波，波的振幅等于波源的振幅，对于球面波要考虑振幅随距离增加而减小的规律。（本节考虑平面波） * 干涉点的合振动和相干波源的初相位，(-)恒定，和波程，波长。根据叠加原理，干涉点的合振动为: 合振

23、动的振幅A为: (15-31)其中: (15-32)干涉引起振动的相位差初相位为: 讨论1）干涉极大点若 = 1 _ 合振幅极大2） 干涉极小点若 = -1 _ 合振幅极小3） 干涉静止点若两波的振幅相等 干涉极大点的振幅 A = 2A1干涉极小点的振幅 A = 0 _干涉静止点4） 干涉条件的简化 (用波源到干涉点的波程差表示)同一个振源驱动的两个相干源,波源相位，干涉条件简化为:* 当波程差 时， _合振幅极大 (15-33)* 当波程差时 _ 合振幅极小 (15-34)说明：若两相干波源为同相源，在波程差等于波长的整数倍的各点-振幅极大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点-振幅极小。5）波

24、的强度合振动振幅的平方； 由波的强度，得波叠加强度为: (15-35)可见：波干涉的强度随着两列相干波在空间各点相位差的不同而不同，有些地方加强 ()，有些地方减弱 。如果有(即)，那么叠加后波的强度: (15-36)当时，这些位置波的强度极大， 。当时，波的强度为零(I=0)。叠加后波的强度I随相位差变化的情况（如图） 6）水波的干涉现象（两个相干源由同一个振源驱动） (干涉现象是波动最重要的特征之一,光学、声学、电磁学及近代物理学等）-15-8 驻波一 驻波现象（一种特殊的干涉现象） 驻波：两列同振幅、反方向传播的相干波叠加的干涉结果。例如: 小提琴发出稳定音调时，琴弦上声音驻波在震荡；在

25、激光器发光时，光的驻波在震荡。 驻波演示实验* 干涉现象：音叉振动，绳上行波向右传播，到B点发生反射（反射率99%以上），反射波向左传播与入射波叠加,满足相干条件（同频率、同振动方向、恒相差）。* 驻波特点: 有的点振幅达到极大波腹(入射波振幅的两倍) 有的点振幅为零波节(干涉静止点) 波腹和波节等间距排列（按波节位置分成若干段） 每段内质点振幅不同，但相位相同 同段同相，邻段反相，没有相位传播，无行波相位传播特点驻波。二 驻波的产生 下面图形说明了驻波的产生 三 驻波方程（用波动方程定量解释驻波的特性）设：两列同振幅、反方向传播的相干波在x轴上传播。把两列波波形曲线正好重合时，位移极大的某点

26、取作坐标原点，并开始计时。于是两列波的原点初相均为零，波动方程为 和差化积公式计算： (15-37) 驻波方程讨论1) 简谐运动:合成各点都在作同频率简谐运动，振幅为，与位置有关。2) 波腹：振幅最大值发生在的点，由 得： () 波腹位置（干涉极大点，振幅为2A）相邻两波腹间距为： 3) 波节：振幅的最小值发生在的点，由 得： 波节位置（干涉极小点干涉静止点）相邻两波节间距为： 可见：- 在驻波中相邻的两个波腹或波节间距均为: (15-38)- 相邻波腹和波节间的距离为: 4) 驻波各点的相位关系驻波各点同频率振动，相位差不随时间改变，考察某一时刻t各点相位差，就代表任一瞬时的相位差。取t=0

27、时分析，此时 为最大，驻波方程(15-37)式化为: (驻波的波形方程_波形曲线见图) 可见此刻:* 在两波节间，各点振幅不同，都为正最大，振动相位相同。* 在两波节间，各点振幅都为负最大，振动相位与上面相反。(同段同相，邻段反相)* 在驻波中没有振动状态定向传播_特殊的干涉现象。5) 驻波的能量(以细绳上的驻波波形曲线为例)* 当质点位移达到最大值时：其速度为零-动能为零介质形变最大-质元能量都是势能。其中：在波节附近相对形变最大，势能最大,在波腹附近相对形变为零，势能为零。* 当质点到达平衡位置时：介质形变为零-势能为零全部能量都是动能。其中：在波腹处的质点速度最大，动能最大,在波节处质点

28、速度为零，动能为零。 * 其它各位置呢？可见：驻波的动能和势能不断转换，能量不断由波腹附近转移到波节附近，再由波节附近转移到波腹附近，来回震荡，没有能量定向传播。-四 半波损失(实际生成一个驻波通常都是通过反射来形成驻波)图中: 短虚线表示入射波，点虚线表示反射波，实线表示合成的驻波。（图右端点B，对于入射波叫入射点，对于反射波叫反射点）图(a): B点固定不动，形成波节。形成波节，反射点与入射点振动相位相反,反射波相位突变一个p_半波损失。图(b): 两个完全相同的振动叠加，形成波腹，相位差不改变，无半波损失。 1、概念：* 介质特性阻抗ru：密度r与波速u的乘积；* 波密介质：特性阻抗较大

29、的介质；* 波疏介质：特性阻抗较小的介质。2、半波损失的条件： 两介质分界面处出现波节还是波腹，取决于介质性质及入射角大小。在波垂直入射界面情况下：*从波疏介质入射波密介质时反射反射波有半波损失波节；从波密介质入射到波疏介质时反射反射波无半波损失波腹。（半波损失也存在于电磁波反射）*不论波从波疏介质入射波密介质时折射，还是波从波密介质入射到波疏介质时折射折射波均无半波损失。五 弦线上驻波的形成条件形成条件1）弦长与波长：形成两端为波节的驻波-弦长L与波长应为： 2）波长：弦长固定-波长只能等于： 3）频率：由，波的频率只能取： n = 1, 2, 3, (15-39)其中：n =1 基频，其他

30、频率依次称为二次、三次谐频(对声音驻波称为基音和泛音) 简正模式：各种允许频率所对应的驻波模式。简正频率：驻波模式相应频率，为驻波系统的结构决定固有频率。共振：外界驱使系统振动，当驱动频率接近系统某固有频率时，系统产生振幅很大的驻波现象。(一个驻波系统有多个固有频率，如：弦线、微波谐振、光学谐振腔等)例：弦振动的简正模式 两端固定的系统； 一端固定、一端自由系统（如：一端自由弦线）； 两端自由的系统（如：两端开放的管）。-例15.8 在x轴上两个波源，S1位置在x1=0处，S2位置在x2=5处，振幅均为a，S1的相位比S2超前/2。假设每个波源都向x轴的正方向和负方向发出简谐波，每列波都可传播

31、到无穷远处，波长为=4。求: (1) x5 区间合成波的振幅；(3) 0x5 区间形成的驻波的波腹和波节的位置。解 (1) 在x5区间，干涉点的相位差： 该区间的合振幅为极大 （ A=2a ）(3)在0x5区间，考察点R的波程差： 相位差：（与R点的位置有关）对于波腹，应有： 故波腹位置为： 在 0x5 区间取x = 1，3 （两点）对于波节，应有： 即波节位置为： 在0x5 区间取x = 2，4 （两点）例 15.9 在x轴原点处有一波源，振动方程，发出的波沿x轴正方向传播，波长为，波在x = x0(正值)被一刚性壁反射，求: (1) 入射波方程； (2) 入射点振动方程；(3) 反射点振动

32、方程； (4) 反射波方程；(5) 驻波方程； (6) 所有的波腹和波节的位置。解 (1)入射波的波动方程为: (2)入射点振动方程为: (3)反射点有相位突变，反射点振动为: (4)反射波的波动方程为: (反射波方程也可以直接从波源振动方程从总相位差得到)波程为，考虑反射点半波损失，波程修正为，所以反射波方程为： (5) 驻波方程(由入射波方程与反射波方程叠加而来)：(6) 波腹和波节的位置(从驻波方程的振幅因子求出)由于反射点x0是波节，又相邻波节距离为，得全部波节的位置是: ( k=0、1、2、3)由于相邻的波腹与波节距离为/4，得全部波腹的位置是: ( k=0、1、2、3 )-15-8

33、 多普勒效应一 多普勒效应 （例如：火车鸣汽笛经过，听到汽笛音调，接近时的频率要高，远离时要低）多普勒效应（J. C. Doppler，1842年）因波源或观察者相对介质运动，而接收到的波频率与波源振动频率不同现象。（下面分析纵向多普勒效应，波源和观察者的运动在二者的连线上)设: 介质中传播波速u ， 传播波的频率 ；波源运动速度 ， 波源的振动频率 ；观察者运动速度， 观察者接收的频率。波源的振动频率：波源在单位时间内发出的完全波的数目。观察者接收的频率：观察者在单位时间内接收到的完全波的数目。介质中波的频率：单位时间内通过介质中某点的完全波的数目。介质中波的波长：三者满足： （15-40）

34、讨论： 1、 波源不动，观察者以速度运动* 当观察者以速度迎着波源运动由相对运动速度叠加法，波相对于观察者速度为： 按（15-40）式，接收频率为： 由于波源相对介质静止， (可见：接收频率大于波源频率，单位时间内接收完整波数目比不动时多)* 当观察者以速度背离波源运动按类似的分析，可得： （即: 接收到的频率低于波源的频率）* 综合两式： (15-41)（以为代数值，观察者向着波源运动为正值，背离为负值）2、 观察者不动，波源以速度运动。波源相对于介质运动，波的波形将发生改变，见图。 * 波源以速度向着观察者运动完整波（周期）前端向右传播距离，波源位置由移到，移过距离，介质中的完整波变短波长

35、变小，变为： 波的频率为： 观察者相对介质静止， （观察者接收频率大于波源频率）* 当波源背离观察者运动按类似分析，介质中的完整波变长波长变大，变为： 可得观察者接收到的频率为： （观察者接收频率低于波源频率）综合两式 (15-42)(以为代数值,波源向着观察者运动为正值，背离为负值）3、 观察者以运动，同时波源以运动 由于波源的运动，介质中波的波长变为： 波阵面相对于观察者速度为： 观察者接收的频率为： (15-43)（该式为前述两个结论的综合，和为代数值）-例15.12 一警报器发射频率为1000Hz的声波，远离观察者向一固定的目的物运动，其速度为5m/s，试问：(1) 观察者直接听到从警报器传来声音的频率为多少？(2) 观察者听到从目的物反射回来的声音频率为多少？(3) 听到的拍频是多少？(空气中的声速为330m/s)。解 ： 已知 ，(1) 由式(15-41)得观察者直接听到从警报器传来声音的频率，注意此时