现代资产组合理论 马科维茨 山东大学

1、现现代证券组合理论代证券组合理论 一、现代证券组合理论的产生和发展一、现代证券组合理论的产生和发展 现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory)的创始者是美国经济学家哈里M马柯威茨(Harry M. Markowiz)。他于1952年在美国的金融杂志上发表的具有历史意义的论文证券组合选择，以及1959年出版的同名专著，阐述了证券收益和风险分析的主要原理和方法，奠定了对证券选择的牢固理论基础。马柯威茨有关证券组合理论的中心观点是，在既定的风险水平下，如何使证券组合的期望收益率最大，或在既定的预期收益率下，如何使风险最小。其方法就是投资者通过具有较小甚至为负的相关系数的资产组

2、合能够在降低非系统风险的同时维持组合的期望收益率不变;或者在一个证券投资组合中，当各证券的标准差及每两种资产的相关系数一定时，减少投资组合风险的唯一办法就是 纳入另一资产，扩大投资组合规模。 二、资产组合理论的假设：二、资产组合理论的假设： A：影响投资者决策有两个参数：期望收益率和方差；B：投资者都是风险厌恶者； C：所有的投资者都力图在风险既定的水平上取得最大收益； D：假设所有的投资者对全部风险资产的期望收益率和方差都有相同的预期，即一致性预期； E：所有的投资者具有共同的单期投资区间。 F:风险与收益相伴而生。投资者在选择收益最高的证券时，可能会面临最大的风险。投资者大多把资金分散在几

3、种证券上，建立一个证券组合以降低风险。分散话投资在降低风险的同时也可能降低收益。三、若干概念三、若干概念1、可行组合：可行组合指在给定可用的资产组合后，投资者能构造出的投资组合。2、有效组合：在构造投资组合时，投资者在他们可以接受的既定风险水平上，使他们投资的期望收益率最大化，或者在某一特定期望收益率,其风险比其他具有同等期望收益率的组合的风险更低（这两条件为优控条件，Dominance Principles）,不存在其它的比其预期收益率更高和风险更小的证券组合。这种投资组合称为有效组合（efficient portfolios）有效组合只含有系统风险，非系统风险已被完全消除。3、有效边界：在

4、坐标轴上将有效组合的预期收益和风险连接而成的轨迹。 )(2pp或)(pRE图7-1 有效边界4、规避风险型：投资者在面临具有相同的期望收益率但风险不同的两种投资时，倾向选择较低风险的投资。5、最优组合：假定存在许多有效组合可供选择，最优组合就是投资者最愿意选择的组合。 6、风险资产和无风险资产 风险资产是指未来要实现的收益是不确定的资产。无风险资产是将来可实现的收益在当前是确定的资产，通常指短期政府债券。 四、投资组合的期望收益率 1、单一期间投资组合的收益 2、风险资产组合的期望收益率P1122nnRWRW RW RP1122nnE(R )WE(R )W E(R )W E(R ) 五、投资组

5、合的风险 1、单一资产风险度量的方差 2、两项资产的投资组合的风险21()niijijijpRE R2()pppE RE R211221122()jjjjE w Rw RE w Rw R222121222pwww w22212122pwww w 3、两项资产以上的投资组合的风险222111nnnpiiijijjiiijwww 为证明简单,假设22222111111222221111-11112112=111,N-1N2=2NN-1=nnnnnnpiiijijiijjiiiij iijnnnniiiiiiiiinnnnijijijij iij ipwwwNNNwNNNNN 则为所有证券收益率风险

6、的平均值。（）共有项，所以斜方差的平均值为。（）222211112122112212N-1N+=+NN-121N-1=+N1N-1N01Nnnnniiijijiij iiniijiniijpiNNNNNNNNNN （）（）。当 趋向无穷大时，所以1iWN六、投资组合的分散化原理 分散原理说明了建立证券组合可以降低风险的原因主要包括资产之间的相关系数和资产数量对组合风险的影响。1、资产之间的相关系数对投资组合风险的影响。例如：当证券组合中只有两只证券时，证券组合的风险 当 证券组合的风险分别为：22212122pwww w 1,210 ， ，-12p112211222222p11222p1122

7、1122(ww)wwww(ww)ww 由此可知，除非相关系数为1，二元投资组合的风险始终小于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，既通过投资组合可以降低风险。而且两种资产收益率之间的相关系数越小投资组合的风险越小。 例题1：某资产A的期望收益率E(RA)=10%，风险A2=20% ；某资产B的期望收益率E(RB)=10%，风险B2=20% 。资产A 和B的相关系数AB=0.6 表面看起来将A和B按不同投资比例合成一投资组合好象不能降低风险。但其实不然。现假设由资产A和B构成一投资组合，其期望收益率为：E(RP)=wE（RA）+（1-w）E（RB）=w（0.1）+(1-w)(0.1)=10% 。

8、 此处，X代表将资金投资于A的百分比。 投资组合的风险为：22222pABABAB222w(1w)2w(1w)w (0.2)(1w) (0.2)2w(1w) 0.2 0.2(.6)(0.16)w(0.16)w(0.2) 对组合风险的X 进行微分可得： 所以当w=0.5时,投资组合的将会风险最低p2=0.16 。这个投资组合不但与原来资产A和B 的期望收益率相同，而且风险也比A和B更低。原因在于A和B的相关系数小于1，两者的相关系数愈小，所组成的投资组合的风险愈小。2p22p2d0.32x0.160 x0.5dwd0.320dw 2、投资组合中证券的数量对风险的影响。组合中证券种类N大于2时,假

9、设: （1）：该组合中每种证券所占的比例都是1/N； （2）这N种证券各自的风险 （3）N种证券的收益彼此之间完全不相关，即相关系数等于0。 在上述假定情况下，证券投资组合的风险为：1,2,N, 都小于一个常数22211122221111()()nnnpiiijijjiii kNNiiiwwwNN 因为： 对上式求极限 即222221111()NiNNNN2N1lim0N22p10N 在一投资组合中，当各证券的标准察及每两个证券的相关系数一定时，减少投资风险的唯一办法就是加入另一种证券，扩大投资组合规模。刚开始加入的证券可以使风险减少的多些，以后随着政权的数目增加，风险减少的程度递减。 例如：

10、假设投资组合中各资产的相关系数为0，每个证券的投资比例相同，且他们的标准差均为10，则2种证券的投资组合的风险为：2222222p111( )10( )102 ( )10222 3种证券投资组合的风险为 以此类推，n中证券的风险为 从上面的公式中可以看出，随着证券数目n的增加，投资组合的风险减少。当n为1时，风险为100；当n为2时，风险水平为50；当n为3时，风险水平为33.33；当n为4时，风险为25；当n趋向无穷大时,风险趋向于0。这说明随着投资组合中资产数目的增加，投资组合的风险减少，但风险下降的幅度越来越小。222222222p1111( )10( )10( )103 ( )1033

11、33 222p1n( )10n 所以，当N趋于无穷大时，即随着证券组合中证券种类无限增加时，证券组合的非系统风险趋于0，但系统风险无法分散掉。证券组合的风险取决于三个因数：各种证券所占的比例；各种证券的风险；各种证券收益之间的相关系数。 对投资者来说，由于他无法改变某种证券的风险，所以投资者能够主动降低风险的有效途径就是改变上述三因素中的第一项和第三项。就第三项而言，最理想的方法莫过于选择相关系数等于-1的证券来建立组合，可以最大限度的降低风险。但是，实际上绝大多数证券之间的收益往往呈正相关，所以，选择相关系数等于0的证券来建立组合是比较现实的方法。七、选择风险资产组合 1、有效边界 2、无差

12、异曲线与最佳投资组合的选择 投资者如何在有效的投资组合中选择呢?这取决于投资者对投资收益与风险的偏好.所谓无差异是指一个相对较高的收益必然伴随着较高的风险，一个相对较低的收益只承受较低的风险，这对投资者的效用是相等的。 无差异曲线与有效边界的切点即为投资者的最佳组合。 3、不同类型的投资者选择的最佳组合。 （1）喜欢冒险的投资者选择有效边界上端部分的有效组合。（2）保守的投资者选择有效边界下端部分的有效组合；（3）风险中度的投资者选择有效边界中端部分的有效组合。 以上分析仅就资本市场中风险资产而论。)(2pp或 E(Rp) I1 C B A 最佳证券组合选择 I2 I3七、有效边界的求解法七、

13、有效边界的求解法 马柯威茨投资组合模型中有三种方法求有效边界的（1）图解法； （2）线形规划法；（3）微分法。三种方法求出的有效边界是一样的。 1、图解法：它的优点是能够用图形直观清晰地表示出来，缺点是无法处理多种证券的投资组合分析。 2、线形规划法：该方法主要利用电脑技术来分析大型投资组合问题，它能够处理含不等式的限制条件问题，但所花成本较高。 3、微分法：该方法能够运用数学的计算方程式求解多种证券的投资组合，缺点是无法处理含有不等式的限制条件问题。 微分法：在确定预期的收益率目标后，要求资产组合风险最小的有效组合，用数学语言表达为求投资组合收益率方差的最小值，可利用拉格朗日乘数法求解。 目标函数为资产组合的方差最小，限制条件有两个：一是投资收益率达到预期水平；二是各种资产的投资比例之和等于1，数学表达式如下：nn2pijiji 1j 1minX