第二章 态迭加原理与几率流密度

1、第二节第二节 态叠加原理态叠加原理 (State Superposition Principle)(State Superposition Principle)一、态的概念及态的描述一、态的概念及态的描述微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于射的本质在于波的叠加性波的叠加性，因此，同光学中波的叠加，因此，同光学中波的叠加原理一样，原理一样，量子力学中也存在波叠加原理量子力学中也存在波叠加原理。因为量子。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波

2、叠加原理称为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加态叠加原理原理。经典波的干涉作用经典波的干涉作用：机械波（振动位移）机械波（振动位移） 电磁波（电磁场量）电磁波（电磁场量）某物理量的叠加某物理量的叠加叠加性是一切类型的波动的共有特征叠加性是一切类型的波动的共有特征二、态叠加原理二、态叠加原理，则其在空，则其在空若空间存在概率波若空间存在概率波tr,1tr,2和和间相遇时产生叠加，叠加态为间相遇时产生叠加，叠加态为trctrctr,2211c1、c2可为复常数或包含时间的变量可为复常数或包含时间的变量tr,也是空间可能存在的概率波也是空间可能存在的概率波描述微观粒子运动状态的概率波也具

3、有叠加性。描述微观粒子运动状态的概率波也具有叠加性。 如有两相干波如有两相干波y1和和y2，当其发生干涉时，当其发生干涉时，干涉态干涉态（叠加态叠加态）可表示为可表示为y1和和y2的线性叠加的线性叠加：y=y1+y2数学表示：数学表示：粒子双缝衍射实验粒子双缝衍射实验2122212当双缝同时打开时，当双缝同时打开时，粒子处于粒子处于 1和和 2的的叠加态叠加态 c1 1 c2 2通过通过单缝单缝1的粒子处于的粒子处于 1态态通过通过单缝单缝2的粒子处于的粒子处于 2态态BS D12P2|W双缝同时打开时，电子出现在双缝同时打开时，电子出现在P点的几率密度为：点的几率密度为：电子通过单缝电子通过

4、单缝1出现在出现在P点的几率密度为：点的几率密度为：2111|CW 说明出现干涉现象说明出现干涉现象)()(1*22*1212222111*22*1212*2221*12122112211CCCCCCCCCCCCWtrctrctr,2211相干项相干项2222| CW 电子通过单缝电子通过单缝2出现在出现在P点的几率密度为：点的几率密度为：含义：当粒子处于态含义：当粒子处于态 1和态和态 2的线性叠加态的线性叠加态 时，时， 粒子既处在态粒子既处在态 1，又处在态，又处在态 2一般情况下，当一般情况下，当tr,1tr,2和和是微观体系可能是微观体系可能存在的两个状态时，则它们的线性叠加存在的两

5、个状态时，则它们的线性叠加tr,也也概率波的叠加原理（态叠加原理）概率波的叠加原理（态叠加原理）也是体系可能存在的状态也是体系可能存在的状态态叠加原理的更一般表述：态叠加原理的更一般表述：当当1,2, 3,n是体系的可能态时，它们的线性叠是体系的可能态时，它们的线性叠加加也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。或者或者当体系处于当体系处于1,2, 3,n的叠加态的叠加态时，体系既可时，体系既可能处于能处于1态，又可能处于态，又可能处于2, 3n态中，且处于态中，且处于各状态的概率是确定的。各状态的概率是确定的。数学形式为：数学形式为：nnnnnCCCCC332211量子力学的重要原理之

6、一量子力学的重要原理之一是是“波的叠加性波的叠加性”与与“波函数完波函数完全描述微观体系的统计状态全描述微观体系的统计状态”两两者的高度概括与综合。者的高度概括与综合。举例：电子衍射实验举例：电子衍射实验GU Ni晶体晶体电子枪电子枪9 ()3/21( , )(2)iP rEtPr te d P 电子从晶体表面出射后，既可能处在电子从晶体表面出射后，既可能处在 态，也态，也可能处在可能处在 、 等状态，按态迭加原等状态，按态迭加原理，理，在晶体表面反射后，电子的状态在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成可表示成 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即 P(r,t)

7、 (, ),Pr t ( , )Pr t P 电子沿垂直方向射到电子沿垂直方向射到单晶表面，出射后将以各单晶表面，出射后将以各种不同的动量运动，出射种不同的动量运动，出射后的电子为自由电子，其后的电子为自由电子，其状态波函数为平面波。状态波函数为平面波。10 PP) t , r()P(C) t , r(PdtrPCtrP3),()(),( ,)33/21( )(2)iP r EtC P ed P33/21( , )(2)iP rC P t ed P考虑到电子的动量可以连续变化考虑到电子的动量可以连续变化,33/21( , )( , )(2)iP rC P tr t ed r而而 （2 2）（1

8、 1） 33/21( , )( , )(2)iPrr tC P t ed P即即 衍射图样正是这些平衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果面波叠加干涉的结果 显然显然, ,二式互为二式互为FourerFourer变换式变换式, ,所以所以 与与 一一一对应一对应, ,是同一量子态的两种不同描述方式。是同一量子态的两种不同描述方式。),( tr),(tPC11 ( , )( )( , )( )ppr tr drr tr dr dp 若若 归一化，则归一化，则 也是归一化的也是归一化的 , r t,C r t2| ( , )|( , ) ( , )C p tdpCp t C p t dpProve:

9、Prove:( , )( ) ( , )PC p trr t dr ( , ) ( , )( )( )pPr tr trr dp drdr r r ),(tPC),(tr以坐标以坐标 为自变量的波函数，为自变量的波函数，坐标空间（坐标表象）波函坐标空间（坐标表象）波函数数r以动量以动量 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间（动量表象）波函数动量空间（动量表象）波函数P二者描写同一量子状态二者描写同一量子状态 给出给出t t 时刻粒子动量时刻粒子动量 为为 的几率的几率 P2,C P t 给出给出t t 时刻粒子处在时刻粒子处在 位置位置 处的几率处的几率 r 2, r t12 ( ,

10、 ) ( , ) ()r tr trr drdr ( , ) ( , )1r tr t dr此显示出把平面波归一化为此显示出把平面波归一化为 函数的目的函数的目的一维情况下，一维情况下， 与与 的的FourerFourer变换变换关系：关系：( , )x t(, )xC P t1/21( , )( , )(2)iPxx tC P t edP1/21( , )( , )(2)iPxC P tx t edx 如果仅考虑某一给定时刻粒子的两表象波函数的关如果仅考虑某一给定时刻粒子的两表象波函数的关系，可取系，可取t t = =0 0,33/21( )( )(2)iP rrC Ped P,33/21(

11、 )( )(2)iP rC Pr ed r第三节第三节 薛定谔方程薛定谔方程(Schrodinger Equation)(Schrodinger Equation)微观粒子在时刻微观粒子在时刻t的状态由波函数的状态由波函数(r,t)来描述。来描述。问题？问题？当当t变化时，粒子运动状态将怎样随之变化，变化时，粒子运动状态将怎样随之变化，并随时间变化其遵从怎样的规律？并随时间变化其遵从怎样的规律？ 薛定谔方程薛定谔方程 Erwin Schrdinger 该方程必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。该方程必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。满足一些物理条件：满足一些物理条件：1）

12、方程应是一个线性方程：在方程中只能包含）方程应是一个线性方程：在方程中只能包含xtt,22等项，而不能包含等项，而不能包含,22x等项。当等项。当1和和2为为方程的解时，方程的解时，C1 1+C2 2也为方程的解；也为方程的解；一、薛定谔方程的物理条件：一、薛定谔方程的物理条件：2）方程应该具有粒子各种状态都能得到满足的普遍性质，方）方程应该具有粒子各种状态都能得到满足的普遍性质，方 程中各系数只能为程中各系数只能为普适恒量普适恒量（如（如h等）和表示粒子等）和表示粒子一般属性一般属性 的量的量（如质量等），不能包含只表征某特殊状态的量（如（如质量等），不能包含只表征某特殊状态的量（如 能量、

13、动量等）；能量、动量等）；3）波函数）波函数的变量为的变量为r和和t，方程是关于，方程是关于r 和和t的偏微分方程的偏微分方程，规定此微分方程不高于二阶；规定此微分方程不高于二阶；4）对于）对于自由粒子自由粒子，方程的解应是，方程的解应是平面波平面波；思路：自由粒子得出方程思路：自由粒子得出方程推广推广任意波函数满足的方程任意波函数满足的方程二、自由粒子的薛定谔方程二、自由粒子的薛定谔方程ppk 1),(EtrpiAetr一个能量为一个能量为E、动量为、动量为 ，即，即波矢为波矢为平面波函数：平面波函数：的自由粒子，的自由粒子，(1)对对t求求偏微商：偏微商： 2EiEiAetEtrPi不是所

14、求方程！不是所求方程！Eti将将(1)对坐标求二次偏微商：对坐标求二次偏微商：EtzPyPxPizyxAetzyx,(1)式改写为：式改写为：将将(3)(4)(5)式相加：式相加：222222222222ppppzyxzyxzkyjxi定义算符定义算符(劈形算符劈形算符)： 6222p则得：则得：ypiyzpiz 42222ypy 52222zpz同理：同理：xpix 32222xpx 722pE 自由粒子的能量：自由粒子的能量：为粒子质量为粒子质量 2Eit 6222p 722pE 自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程222ti 2Eit 8tiE 6222p 9iippzkyjxi劈形

15、算符劈形算符tiE 10 ip设粒子在力场中的设粒子在力场中的势能为势能为U(r),则粒子能量与动量满足：则粒子能量与动量满足： 1122rUpE注意注意：1 1）此方程不是从理论上推出，它的正确性来自实践）此方程不是从理论上推出，它的正确性来自实践。2 2）此方程只对）此方程只对 的粒子成立的粒子成立c将将(11)式两边同乘以波函数式两边同乘以波函数(r,t): rUpE22 rUti222薛定谔波动方程薛定谔波动方程tiE ipEtrpiAetr),(建立建立复数表示式复数表示式薛定谔方程薛定谔方程实数表示式实数表示式trkAcos薛定谔方程薛定谔方程也不是也不是 的解的解222ti结论结

16、论自由粒子的波函数必须用复数形式！自由粒子的波函数必须用复数形式！体系包含体系包含N(N1)个粒子个粒子,多粒子体系的薛定谔方程多粒子体系的薛定谔方程r1,r2,rn表示表示N个粒子的坐标，描述体系状态的波函数为个粒子的坐标，描述体系状态的波函数为i第第i个粒子的质量个粒子的质量pi第第i个粒子的动量个粒子的动量i ir ri ixyz0体系的能量体系的能量12,22112NNiiirrrUpE将将(12)两边同乘波函数两边同乘波函数Nrrr21,并用并用tiEiiip)(iiiizkyjxi代换：代换：UtiiNii2122多粒子体系的薛定谔波动方程多粒子体系的薛定谔波动方程NrrrU,21

17、体系势能：在外场中的能量和粒子间相互作用能量体系势能：在外场中的能量和粒子间相互作用能量第四节第四节 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 (Particle Current Density &Conservation of Particle Number) rUti222反映波函数的时空变化规律反映波函数的时空变化规律tr,描述微观粒子状态的波函数描述微观粒子状态的波函数 trtrtr,2粒子在粒子在t时刻、空间某点时刻、空间某点r处出现的概率密度：处出现的概率密度：存在一个方程存在一个方程给出概率密度的时空变化规律给出概率密度的时空变化规律推断推断设描述粒子状态的波函数为设

18、描述粒子状态的波函数为tr,在时刻在时刻t在空间在空间r点周围单位点周围单位体积内粒子出现的几率密度体积内粒子出现的几率密度 trtrtr,2几率密度随时间的变化率几率密度随时间的变化率 1ttt由薛定谔方程可得：由薛定谔方程可得： rUiit122 rUiit122将上两式代入将上两式代入(1)中：中： rUti222薛定谔方程：薛定谔方程： 22222iit令令 32iJ(2)式写为：式写为： 40Jt将将(4)对空间任对空间任一体积一体积V积分：积分： 5VVVdJdtdt将将(5)式右方变为面积分：式右方变为面积分： 6dsJSdJdtSSnVSVds单位时间内体积单位时间内体积V中增

19、加的几率中增加的几率 在体积在体积V的边界面的边界面S上法向分量的面积分上法向分量的面积分J 6dsJSdJdtSSnVJ几率流密度矢量几率流密度矢量单位时间内流过单位时间内流过S面上单位面积的几率面上单位面积的几率nJSVds(6)式含义：单位时间内体积式含义：单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积中增加的几率，等于从体积V 的边界面的边界面S流进流进V内的几率。内的几率。 40Jt粒子数守恒的微分形式粒子数守恒的微分形式 6dsJSdJdtSSnV粒子数守恒的积分形式粒子数守恒的积分形式表明：伴随几率分布随时间的变化，有几率在空间表明：伴随几率分布随时间的变化，有几率在空间 流动，一处几率减小时，另一处几率必然增流动，一处几率减小时，另一处几率必然增 加，总的几率不变。几率的流动是粒子运动加，总的几率不变。几率的流动是粒子运动 所引起的，几率守恒的物理本质是物质守恒。所引起的，几率守恒的物理本质是物质守恒。以粒子质量以粒子质量乘乘和和J处的质量密度时刻在点是在zyxttzyx,2为质量流密度2iJJ 70JtJ满足的方程为和单位时间内体积单位时间内体积V内质量的改变，等于内质量的改变，等于穿过穿过V的边界面的边界面S流进或流出的质量。流进或流出的质量。量子力学