组合变形 梁的变形计算

1、二、组合变形的分类：二、组合变形的分类： 1 1、拉、拉( (压）压）-弯组合变形弯组合变形 2 2、斜弯曲、斜弯曲 3 3、弯、弯扭组合变形扭组合变形RAHATCABP24kN_NB2m1m1.5mPACTxTy12kNm_M三三、解决组合变形问题的基本步骤、解决组合变形问题的基本步骤： 1 1、外力分析：、外力分析： 将外载荷进行简化（平移、分解），得到与原载荷将外载荷进行简化（平移、分解），得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形，以判别组合变形的类型。生一种基本变形，以判别组合变形的类型。 2 2、内力分

2、析：、内力分析： 分别画出每一基本变形的内力图，以确定危险截面。分别画出每一基本变形的内力图，以确定危险截面。 3 3、应力分析：、应力分析： 分别画出每一种基本变形在危险截面的应力分布图，分别画出每一种基本变形在危险截面的应力分布图，以确定组合变形的危险点。以确定组合变形的危险点。 4 4、强度分析：、强度分析： 将危险点从构件中取出，根据其受力情况选择适当将危险点从构件中取出，根据其受力情况选择适当的强度理论，对构件进行强度计算。的强度理论，对构件进行强度计算。sinppcosppyxAPxyIMxlPMzy )(在在P Px x作用下：作用下：在在P Py y作用下：作用下：zTWMAN

3、maxmaxzCWMANmaxmaxyIMANz TzmaxmaxTWMANczmaxmaxCWMAN kN8 .20kN12kN8 .20577. 01230kN12202, 0 AABBBBAXYtgYXPYlPlYM得得m24000N44240004max PlM363242m10402cm402m105 .48cm5 .48 zWA60MPaPaWMzmaxmax6610601040224000故故BXS Pa.AXASBC6103400485020800MPa7 .55603 . 4maxMPa3 .64603 . 4maxmaxmax zTzCWMASWMAS MPa.maxC36

4、4 将立柱假想地截开，取上将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，段为研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为求出立柱的轴力和弯矩分别为mN.PeMNPS6000401500015000 632max1035326000415000 ddWPeASTzT 求解求解d d的三次方程的三次方程 MPaMPa.maxT354321043232125014360004125014315000632满足强度条件，最后选用立柱直满足强度条件，最后选用立柱直 d d = = 12.512.5cmcmm.d120631035326000dWMz因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，因为偏心距较大，

5、弯曲应力是主要的，优先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸。优先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸。 cm5 . 021222 rrbbemN400005. 08000080000kNkN80PeMPN一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度一带槽钢板受力如图，已知钢板宽度 b b=8=8cm, cm, 厚度厚度 =1cm, =1cm, 槽半径槽半径 r r=1cm, =1cm, P P=80kN, =80kN, 304304不锈钢板不锈钢板许用应力许用应力 =140MPa=140MPa。试对此钢板进行强度校核。试对此钢板进行强度校核。 163.3MPaPa103 .163)01. 008. 0(1 0 . 0

6、4006)01. 008. 0(01. 0800006)()(622maxrbPerbPT MPaMPa.).(.)rb(P1403133010208001080000220第第1010章章 组合变形组合变形10-1 10-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理10-2 10-2 拉（压）弯组合变形拉（压）弯组合变形10-3 10-3 斜弯曲斜弯曲10-4 10-4 弯扭组合变形弯扭组合变形压弯组合变形压弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例10-1 10-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理拉弯组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例弯扭组合变形弯扭组合变形组合变形工程

7、实例组合变形工程实例2 2、组合变形：、组合变形：构件上同时存在两种或两种以上基本变构件上同时存在两种或两种以上基本变 形的组合。形的组合。 一、基本概念一、基本概念1 1、基本变形：、基本变形： 拉（压）、剪切、扭转和弯曲拉（压）、剪切、扭转和弯曲3 3、叠加原理、叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原理成立。即所有载荷共同作用下的内力、应力、应变等原理成立。即所有载荷共同作用下的内力、应力、应变等是各个载荷单独作用下相应值的叠加。是各个载荷单独作用下相应值的叠加。上的应力分布特点上的应力分布特点二、组合变形强度计算的一般分析

8、方法二、组合变形强度计算的一般分析方法 外力分析（分解，向轴线平移）外力分析（分解，向轴线平移） 分组分组分别进行内力分析分别进行内力分析危险截面危险截面危险点危险点根据各种变形横截面根据各种变形横截面应力叠加并计算主应力应力叠加并计算主应力计算相当应力计算相当应力选择相应的选择相应的 强度理论强度理论强度计算强度校核、确定强度计算强度校核、确定许可载荷、截面设计等许可载荷、截面设计等 分组原则分组原则：使每组载荷对应一种基本变形：使每组载荷对应一种基本变形外力分析外力分析内力分析内力分析应力分析应力分析强度计算强度计算u在组合变形强度计算中，剪力引起的切应力在组合变形强度计算中，剪力引起的切

9、应力( (对细长杆件对细长杆件) )忽略不计；忽略不计； u在线弹性、小变形范围的条件下，原始尺寸在线弹性、小变形范围的条件下，原始尺寸原理适用。原理适用。注：注：+=10-2 10-2 拉（压）弯组合变形拉（压）弯组合变形1 1、外力分析、外力分析+=+=NFA max, tmax, cmaxFlFWAmaxFlFWA max, tmax, cmaxMFlWmaxMFlW 2、内力分析、内力分析:确定危险截面位置确定危险截面位置3、应力分析、应力分析:确定危险点确定危险点MxFl(-)NxF讨论讨论：1. 1. 在拉弯、压弯组合变形中，危险点处属在拉弯、压弯组合变形中，危险点处属单向应力状态

10、。单向应力状态。2. 2. 中性轴与弯曲时的中性轴不重合。中性轴与弯曲时的中性轴不重合。3. 3. 若为拉弯组合，对塑性材料和脆性材料若为拉弯组合，对塑性材料和脆性材料的梁如何建立强度条件？的梁如何建立强度条件？选择：选择：当杆件处于拉当杆件处于拉弯组合变形时，对横截面上弯组合变形时，对横截面上 的中性轴有这样的结论。（的中性轴有这样的结论。（ ）（1 1）一定在横截面区域内。）一定在横截面区域内。（2 2）不一定在横截面区域内。）不一定在横截面区域内。（3 3）一定不在横截面区域内。）一定不在横截面区域内。2例例10-1. 已知已知P=20KN, =15，l=1.2m，A=9.2 103mm

11、2，Iz=26.1 106mm4， +=20MPa ， -=80MPa 。试校核其正应力强度试校核其正应力强度？1.2mABP15YZO14248解：解： 1 1）外力分析）外力分析PyPxPy = Psin =5.18(kN) Px= Pcos =19.3(kN)PxMzMz= 48 Px =926(N.m)分组分组: 属压弯组合变形。属压弯组合变形。Px= Px=19.3(kN)1.2mABPyMzPxPy = 5.18(kN) Px= 19.3(kN) Mz= 926(N.m)ABPx+ABPyMz2）内力分析）内力分析:(FN，M图）图）FNx19.3kNMx(kN.m)0.9265.

12、3可能的危险截面在可能的危险截面在A或或B处处3） 应力分析及强度计算应力分析及强度计算FNx19.3kNMx(kN.m)0.9265.3YZO14248A截面截面N NFA2.1MPaM AmaxzMyI AB9.7MPaM AmaxzMyI 28.7MPamax MN =7.6MPa7.6MPa +max MN 30.8MPa=30.8MPa 0Oxw讨论2ddwx与 M(x) 正、负关系： Oxw22d0dwxM 0结论：2ddwx与 M(x) 总是相反关系！ 梁的挠曲线近似微分方程为：第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程为：思考近似的原因 ？1. 略去了剪力的影

13、响 ; 2. 略去了 项。2ddwx求解上述微分方程,即可得出挠曲线方程,从而求得挠度和转角。第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分二、挠曲线近似微分方程的积分若为等截面直梁, 其抗弯刚度 EI 为一常量。上式积分一次得转角方程: d1ddwM xxCxEI 再积分一次，得挠度方程: 1ddwM xxxCxDEI 重积分法求得挠度方程式中: C、D 是积分常数，由梁挠曲线上的已知变形条件确定。梁挠曲线的边界条件和连续条件第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分1.挠曲线的边界条件ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度 wA 和 wB 都应等于零。wA= 0wB = 0在悬臂梁中，固定端处的挠度

14、 w和转角 A 都应等于零。wA= 0A= 0第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分2.挠曲线的连续条件AB在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。(错)AB(错)ABFCwC左= wC右C左= C右挠曲线的连续条件第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分补充例题1:边界条件:wA= 0A= 0连续条件:wB左= wB右B左= B右补充例题2: B 处的连续条件？BwB左= wB右B左 B右qlAB第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度 为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。解:FABF2BAqlFF1.确定梁的约束力2.建立

15、梁的弯矩方程21( ) 22qlMxxqx3.建立梁的挠曲线近似微分方程222d( )111 d22wMxqlxqxxEIEI 4.对微分方程一次积分，得转角方程:x32d111d64wqxqlxCxEI5.再对转角方程一次积分，得挠度方程:431112412wqxqlxCxDEIqlAB第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度 为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。解:FABFx6. 利用边界条件确定积分常数当 x =0 时，wA= 0当 x =l 时，wB= 03234624qxlxlEI433224qwxlxl xEI分

16、别代入转角与挠度方程，得积分常数：3241, 0qlCD7. 给出转角方程和挠度方程：qlAB第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-2 一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度 为 EI,求梁的最大挠度及 B 截面的转角。解:FABFx3234624qxlxlEI433224qwxlxl xEI7. 给出转角方程和挠度方程：8. 求最大挠度和截面 B 转角：EIqlwwl.max3845450在跨中 x = l/2 时，有最大挠度： x = l 时，截面 B 转角：324BqlEI BwmaxxFlAB第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-3 图示简支梁,受集中荷

17、载 F 作用，梁的弯曲刚度为 EI, 试求C 截面的挠度和 A 截面的转角。解:FABFx1xCwAB,baFF FFll1.确定梁的约束力2.分段建立梁的弯矩方程：AC 段：ab111()(0)FbM xxxalCB 段：2222()() ()FbM xxF xaaxllx23.建立梁的挠曲线近似微分方程:21121d1 dwFbxxEIl AC 段：222222d1 dwFbFxaxxEIlCB 段：FlAB第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-3 图示简支梁,受集中荷载 F 作用，梁的弯曲刚度为 EI, 试求C 截面的挠度和 A 截面的转角。解:FABFx1xCwabx24.分

18、别积分，得转角与挠度方程:21111 2FbxCEIl AC 段：2222221 22FFbxaxCEIlCB 段：3111111 6FbwxC xDEIl 332222221 66FFbwxaxC xDEIlFlAB第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-3 图示简支梁,受集中荷载 F 作用，梁的弯曲刚度为 EI, 试求C 截面的挠度和 A 截面的转角。解:FABFx1xCwabx25.利用边界条件和连续条件确定积分常数:(1) 边界条件在在 x = 0 处，处，0Aw 在在 x = l 处，处，0Bw (2) D 点的连续条件在在 x1 =x2 =a 处，处，1221ww (3)

19、代入方程，解得积分常数：021DD)(62221bllFbCCFlAB第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分例题11-3 图示简支梁,受集中荷载 F 作用，梁的弯曲刚度为 EI, 试求C 截面的挠度和 A 截面的转角。解:FABFx1xCwabx22221136FblbxlEI2221116FbxwlbxlEI6. 给出转角方程和挠度方程：AC 段：22222221362FxaFblbxEIl32222222166FxaFbxwlbxEIlCB 段：FlAB例题11-3 图示简支梁,受集中荷载 F 作用，梁的弯曲刚度为 EI, 试求C 截面的挠度和 A 截面的转角。解:FABFx1xCwabx

20、27. 求指定截面转角和挠度值：C 截面挠度：2226CFabwlbalEI226AFblblEIA 截面转角：x1 =a ，或 x2 =ax1 =0 ,思考：最大挠度发生在哪里?结论：在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的。答: C 处。第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分第三节 叠加法叠加原理：梁的变形微小， 且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力, 集中力偶或分布力） 同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独 作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一项荷载所 引起的同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面( 如均在 xy 平面内 ) 时, 则叠加就是代数和 这就是叠加原理。需要求出梁指定截面的位移时,采用叠加法是方便的。第三节 叠加法表11 - 1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移第三节 叠加法表11 - 1 几种常用梁在简单荷载作用下的位移第三节 叠加法表11 - 1 几种常