数学建模第三次作业

1、 雨中行走淋雨量问题分析芮雪（数科院数创2班）A班刘倩冰（数科院数创2班）姜勇（计科院软工1班）摘 要 人在雨中奔跑时的淋雨量与很多因素有关，主要分析人的跑步速度、降雨方向和雨速大小与淋雨量之间的关系。本文讨论了在给定降雨条件下，分别建立相应的数学模型，探究淋雨量与跑步速度、降雨方向和雨速大小之间的量化关系，分析总淋雨量最小时对应的跑步速度大小。针对问题一，在不考虑雨方向的条件下，淋雨总面积为人体前后左右及头顶面积之和，结合雨速大小与淋雨时间，进一步得到跑完全程的总淋雨量。针对问题二，根据雨线与跑步方向在同一平面内，可分析出雨速在某一方向上没有分量，又由雨迎面吹来，可知淋雨面积为人体前方和头顶

2、面积之和。进而借鉴数学分析中曲面积分的通量概念，建立雨从迎面吹来的淋雨量模型，运用图解法分析淋雨量最小时对应的跑步速度，有以下结论：当雨从迎面吹来，即雨在人跑步水平方向上的分速度与人跑步速度方向相反时，人跑得越快，总淋雨量越少。针对问题三，按照问题二的建模思想，建立雨从背面吹来的淋雨量模型，通过图解法探究淋雨量最小时对应的跑步速度。结果表明：雨速在人跑步方向上的分速度大于某一常量的情况下，人跑步速度等于雨速在跑步方向上的分速度时，总淋雨量最小；雨速在人跑步方向上的分速度小于这一常量的情况下，人跑的越快淋雨量越少；雨速在人跑步方向上的分速度等于这一常量的情况下，人跑步速度为这一常量的两倍时，总淋

3、雨量最小为零，在理论上即人的速度为合理值时，可以不淋雨，但是不具有实际的指导意义。 针对问题四，根据雨线方向与跑步方向不再同一平面内，分析出雨速在三个方向上都有分量，同样利用通量概念，建立此时跑步速度与总淋雨量之间的模型，探究模型的变化。通过综合对比各模型给出结论：当雨速在人跑步方向上的分速度大于某一正常数的情况下，只要人跑步速度等于雨速在人跑步方向上的分速度时，总淋雨量最小，其他情况下，人跑得越快，淋雨量越小，显然这符合人们的生活常识。关键词 降雨速度；总淋雨量；通量；图解法；代数模型一、问题重述人在雨中从一处沿直线跑到另一处，总淋雨量主要与降雨方向、雨速大小和跑步速度等因素有关。建立模型探

4、究是否跑得越快，淋雨量越少，并分析总淋雨量最小时跑步速度的大小。研究问题如下：问题一：不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，分析淋雨总面积，并估计跑完全程的总淋雨量。问题二：雨线与跑步方向在同一铅直平面内且雨从迎面吹来，描述出降雨速度，并进一步建立跑步速度与总淋雨量之间的代数模型，分析淋雨量最少时对应的跑步速度。问题三：雨线与跑步方向在同一铅直平面内且雨从背面吹来，描述出降雨速度，并进一步建立雨速与总淋雨量之间的代数模型，讨论淋雨量最少时对应的跑步速度。问题四：在问题二、三的基础上，讨论雨线方向与跑步方向不在同一平面内时模型的变化，建立总淋雨量与降雨方向、跑步速度的模型。 二、问题分析生活中人在雨中

5、从一处沿直线跑到另一处，总淋雨量主要与降雨方向、雨速和跑步速度等因素有关。将人体简化成一个长方体具体设出其高、宽、厚，进而讨论淋雨量与跑步速度的关系。针对问题一，在不考虑雨方向的条件下，淋雨总面积为前后左右及头顶面积之和，结合雨速大小与淋雨时间，进一步得到跑完全程的总淋雨量。针对问题二，根据雨线与跑步方向在同一平面内，可分析出雨速在某一方向上没有分量，又由雨迎面吹来，可知淋雨面积为前方和头顶面积之和。进而借鉴高等数学中曲面积分的通量概念，建立雨从迎面吹来的淋雨量模型，运用图解法分析淋雨量最小时对应的跑步速度。 针对问题三，按照问题二的建模思想，建立雨从背面吹来的淋雨量模型，通过图解法探究淋雨量

6、最小时对应的跑步速度。针对问题四，根据雨线方向与跑步方向不再同一平面内，分析出雨速在三个方向上都有分量，同样利用通量概念，建立此时跑步速度与总淋雨量之间的模型，探究模型的变化。三、模型假设 1. 为了使问题简化，将人视为一个高、宽、厚已知的长方体；2. 人的跑步速度是综合了各种外力之后的合速度；3. 降雨速度是是考虑了各种外力之后的速度；4. 人在奔跑中，速度大小与方向恒定，即所受合外力为零，做匀速直线运动；5. 降雨速度大小均匀不变，且雨的密度相同。四、符号约定符号含义人身体的高度人身体的宽度人身体的厚度人体侧面面积的比例系数人体上面面积的比例系数在雨中跑步的速度雨中跑步的距离雨线的速度雨速

7、在坐标系中轴方向上的分速度雨速在坐标系中轴方向上的分速度雨速在坐标系中轴方向上的分速度雨从迎面吹来与人体的夹角雨从背面吹来与人体的夹角雨从迎面吹来的淋雨量雨从背面吹来的淋雨量人体的淋雨量淋雨量函数参数五、模型建立人身体的表面非常复杂，为了使问题简化，视人体为一个长方体,其身高为（米）,身宽为（米）,厚度为（米），其前侧，顶的面积之比为，设人跑步的速度为，跑步的距离为，雨速为。5.1不考虑雨方向的淋雨量模型根据题目假设，雨的方向不确定，并且降雨淋遍全身，则淋雨面积为淋雨时间为人跑步时间 从而跑完全程的总淋雨量为5.2雨从迎面吹来的淋雨量模型选择适当的直角坐标系使人行走速度为，雨线与跑步方向在同一

8、平面内，且与人体的角度为，如图1所示图1 雨从迎面吹来的坐标系可设雨的速度为，并且有，由数学分析中曲面积分的通量概念，显然单位时间内的淋雨量正比于从而总的淋雨量正比于 其中于是问题抽象成如下数学问题：在已知条件下，求的最小值。5.3 雨从背面吹来的淋雨量模型选择适当的直角坐标系使人行走速度为，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为，如图2所示图2 雨从背面吹来的坐标系可设雨的速度为，并且有，由数学分析中曲面积分的通量概念，显然单位时间内的淋雨量正比于从而总的淋雨量正比于，其中于是问题抽象成如下数学问题：在已知条件下，求的最小值。5.4雨线方向不限的淋雨量模型在5.3中的模型下，由于雨线方

9、向与跑步方向不在同一平面内，可设雨速为特别的，当时，雨线的方向和人跑步的方向不在同一个铅直水平面内。单位时间内的淋雨量正比于从而总的淋雨量正比于其中于是问题抽象成如下数学问题：在已知条件下，求的最小值。六、模型求解6.1不考虑雨方向的淋雨量模型的求解根据正常人的身高和体型,取身高为,身宽为,厚,人跑步的速度为，跑步的距离为，雨速为，可以估算出跑完全程的总淋雨量。6.2雨从迎面吹来的淋雨量模型的求解已知求的最小值，其中，的图形如图3所示图3 函数图像可知无论为何值，都无最小值，尽可能大时，尽可能小。结论：当，越大，越小。即当雨在人跑步水平方向上的分速度与人跑步速度方向相反时，人跑得越快，淋雨量越

10、少。6.3雨从背面吹来的淋雨量模型的求解已知求的最小值，其中，首先去掉绝对值，（1） 当时，的图像，如图4所示图4 函数图像 （）可知，时，可导，最小值为（2） 当时，的图像如图5所示图5 函数图像 （）可知，尽可能大时，才会尽可能的小。（3） 当时，的图像如图6所示图6 函数图像 （）由图可知时，的最小值为零。综上可知：当时，其中，可取得最小值，即跑步速度大于雨速在人跑步方向上的分速度时，总淋雨量最小；当时，其中，越大，越小，即人跑的越快淋雨量越少。当时，其中，时，淋雨量最小为零，在理论上即人的速度为合理值时，可以不淋雨，但是不具有实际的指导意义。6.4雨线方向不限的淋雨量模型的求解已知求的

11、最小值，其中由于雨从迎面吹来的淋雨量模型和雨从背面吹来的淋雨量模型是雨线方向不限的淋雨量模型的特殊情况，因此可以分下列的几种情况讨论。（1）当时，此时模型可以简化为5.2雨从迎面吹来的淋雨量模型，其 中（2）当时，此时模型可以简化为5.3雨从背面吹来的淋雨量模型，其中 七、模型评价优势：（1） 问题3的求解中，运用了反函数图像的性质，比MATLAB编程求解迅速方便；（2） 模型假设中假设人的跑步速度与降雨速度是是考虑了各种外力之后的速度，不仅考虑到了风力对速度的影响，也对模型的建立及求解带来了便利；（3） 问题一的建模过程中，考虑到总淋雨面积是前后左右及头顶的面积之和，而不仅仅是头顶面积之和。 不足：（1）忽略了降雨密度等对总淋雨量的影响，与实际问题不符；（2）没有考虑到人跑步过程中，身体震荡对总淋雨量的影响。八、模型推广1. 此模型讨论了人在雨中沿直线从一处跑到另一处的总淋雨量与运动速度的关系,生活中类似于物体在雨中运动的问题，例如货车雨天运货需要减少淋雨量的实际题都可以应用本模型的结论,给出理论上的科学指导；2. 建立模型中，假设了人在奔跑时，所受合外力为零做匀速直线运动。