平面向量的坐标运算及共线坐标表示非常整合

1、2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示复习引入复习引入 如果如果 是同一平面内的是同一平面内的两个不共线向量两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数 , 使使1 12 2aee12, 12,e e a对于确定的一组基底对于确定的一组基底, ,平面内的任一向量会和平面内的任一向量会和一对实数对应一对实数对应平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使使 成立成立

2、aaxiy j则称（则称（x，y）是向量）是向量 的坐标的坐标aji 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴、轴、y轴正方向轴正方向同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底.i j 、记作：记作：( , )ax yaaa(4)如图以原点如图以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置的位置 被被 唯一确定唯一确定.aOA a Oxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示aaji(x, y)A此时点此时点A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的,

3、但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)a注意：注意：（3）两个向量）两个向量 相等的充要条件：相等的充要条件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算解：解：两个向量的和（差）的坐标两个向量的和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐分别等于这两向量相应坐标的和（差）标的和（差）1.已知已知 ， ，求，求 ,11( , )ax y22( ,)bx yabab1122()()abx iy jx iy j1212()(

4、)xx iyyj1212(,)abxxyy 1212(,)abxxyy同理可得：例例已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB ),(11yxA),(22yxBxyO解：解：ABOBOA 2211(,)( ,)xyx y),(1212yyxx 一个向量的坐标等于一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标标减去起点坐标 实数与向量的积的坐标等于实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的这个实数乘以原来向量的相应坐标相应坐标(,)xya3( , ),.ax yRa、已知 =和求平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(2,1),( 3,4),

5、34abab abab 1.已知求的坐标。例（-1，5）平面向量坐标运算法则应用平面向量坐标运算法则应用（5，-3）（-6，19）思考思考1 1 已知已知 ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的的坐坐标分别为标分别为( (2 2，1)1)、( (1 1，3)3)、(3(3，4)4)，求顶点求顶点D D的坐标。的坐标。12345xy5012341122345C CA AB BD D66思考思考1 1 已知已知 ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的的坐标分别为坐标分别为( (2 2，1)1)、( (1 1，3)3)、( (3 3，4 4) )，求顶点求

6、顶点D D的坐标。的坐标。ABCDxyO解：解：设点设点D的坐标为（的坐标为（x,y）( 1,3)( 2,1)(1,2)(3,4)( , )(3,4) ABDCx yxyABDC 且且(1,2) (3,4)xy1324 xy解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）思考思考1 1 已知已知 ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的的坐坐标分别为标分别为( (2 2，1)1)、( (1 1，3)3)、(3(3，4)4)，求顶点求顶点D D的坐标。的坐标。思考思考1 1 已知已知 ABCDABCD的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的坐的坐标分

7、别为标分别为( (2 2，1)1)、( (1 1，3)3)、(3(3，4)4)，求顶点求顶点D D的坐标。的坐标。ABCDxyO另解：另解：由平行四边形法则可得由平行四边形法则可得( 2 ( 1),1 3)(3 ( 1),4 3)(3, 1) BDBABC 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) ODOBBD 所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？1.平面向量坐标的加.减运算法则 =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y

8、2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa b a b ( , )(,)ax yxy =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)a b a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)4、 其中其中 ,a0有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得ab=即：即：（x2 , y2) =(x1 , y1) =(x1 , y1)所以所以x2=x1y2=y1消去消去得：得： x1y2- x2 y1=0a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)其中其中x1

9、y2- x2 y1=0abab(0)a 平面向量平面向量共线共线的坐标表示的坐标表示向量共线的充要条件向量共线的充要条件的两种表示形式的两种表示形式:x1y2- x2 y1=0(2)a b(a0) a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)有且只有一个实数有且只有一个实数,使得使得ab=(1)a b(a0) 例例2 2 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y y） 且且a b b，求，求y y的值的值. .解：解： a b b 4y-24y-26=06=0 解得解得y=3y=3), 1(xa)2 ,( xb例例3 已知点已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28

10、) 求证：求证：A、B、C三点共线三点共线.证明：证明：AB=(3-1,13-3)=(2,10)AB=(3-1,13-3)=(2,10) BC=(6-3,28-13)=(3,15) BC=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 ABBC ABBC 又又 直线直线ABAB、直线、直线BCBC有公共点有公共点B B A A、B B、C C三点共线三点共线 例例4:设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P

11、2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1)M1212121()2(,)22 OPOPOPxxyy 解解: (1)所以，点所以，点P的坐标为的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P(2)(2)xyOP1P2P例例4:设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标的坐标。1122( ,),(,)

12、x yxyxyOP1P2PxyOP1P2P. 2212212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一个三等分点时，是线段）如图，当点（xyOP1P2P32,323132)(3131212121211212111121yyxxOPOPOPOPOPPPOPPPOPOPPPPP，那么如果），的坐标是（即点32322121yyxxP解法二解法二: xyOP1P2P 121121211211111111111221211221212121212121212121111112121212设设点点P P的的坐坐标标为为（x,yx,y）1111若若PP =PP ,PP =PP ,则则 PP =PP

13、PP =PP2323PP =(x,y)-(x ,y )=(x-x ,y-y )PP =(x,y)-(x ,y )=(x-x ,y-y )1111PP = (x -x ,y -y ) PP = (x -x ,y -y ) 3333x -xy -yx -xy -y =(,) =(,)3333x -xy -yx -xy -y即即 (x-x ,y-y )=(,) (x-x ,y-y )=(,)33332x +x2y +y2x +x2y +y解解得得 x =,y = x =,y =3333点点P P的的121212122x +x2y +y2x +x2y +y坐坐标标是是(,)(,)3333 则 有 ：

14、1 12 21 12 21 12 2p p p p= =2 2 p p p p, , x x + +2 2x x y y + +2 2y y点点 P P 的的 坐坐 标标 是是 ( (, ,) )3 33 3xyOP1P2P若点若点p靠近靠近P2点点 时时 直线直线l上两点上两点 p1 、 p2，在，在l上取不同于上取不同于 p1 、p 2的任一点的任一点P，则则P点与点与p1 p2的位置有哪几种情形？的位置有哪几种情形？ P在之在之 间间21PP1P2PPP在在 的延长线上，的延长线上，21PP1P2PPP在在 的延长线上的延长线上. . 12PP1P2PP0 1 01 存在一个实数存在一个

15、实数，使，使 ，叫做点叫做点P分有向线分有向线段段 所成的比所成的比21PPPP 21PP 设设 ， ，P分分 所成的比为所成的比为 ，如何，如何求求P点的坐标呢？点的坐标呢？ ),(111yxP),(222yxP 21PP),(111yyxxPP ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxPP 21PPPP )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 1212111121111212112112121212121212121212若若p p =p p = pp ,pp ,则则 OP = 0P +PP = 0P +P P OP = 0P +PP = 0P +P P1+1+ = 0P +(0P -0P ) = 0P +(0P -0P )1+1+1 1 =0P +OP =0P +OP1+1+1+1+x +x +xy +xy +y y =(,) =(,)1+1+1+1+x +x +xy +xy +y y点点P P的的坐坐标标是是(,)(,)1+1