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文档简介
1、第一章 曲线论§1.1 曲线方程的表示方法曲线的概念:曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。现实中的各种轨迹曲线图形。在空间直角坐标系中,点的坐标表示为,轴、轴、轴上的单位向量分别记为。向量,可简记为。对任意向量,成立三角形不等式, 。补充知识:(1) 向量的内积设,定义,称为向量与的内积;记为或,其中是向量与的夹角。可以证明: 。; 。(2) 向量的外积(或叉积)定义向量的大小为,且与垂直,方向为使,恰成右手坐标系,此向量称为与的外积,记为;在直角坐标系中,可以证明:设,则。外积的大小除了按上面的方法计算外,还有下面简便的计算。设, 。混合积 ,记,显然有 。几何意义二重外积展开
2、式, 。Lagrange恒等式 。定理 设为三阶正交矩阵,则有。证明,由外积的计算公式,并利用Lagrange恒等式,可得, 这是由于 构成右手系,或构成左手系。求的最小值.解 是点与点的距离,又是点与点的距离也是点与点的距离,由于,故的最小值为.注意点与点同在平面的一侧,在平面上寻找一点,使最小, 点是点关于平面的对称点, ,此题的几何意义是经典熟知的.一、 平面曲线的几种表示方法 1° 显表达:,函数的图象说成是一段曲线。是该曲线的表达式,如果某曲线是函数的图象,则称为该曲线的显表达式。2°隐表达式:如果曲线上的点是由方程的解所构成,则方程表示该曲线。例如:表示一个圆的
3、曲线, ,表示一个直线。3°曲线的参数表示:如果曲线上的点可由,的点来描绘, 则称它为曲线的参数方程。例如:单位圆有参数表达式,;或 .在 中,令,(即是万有代换),则有 , . 单位圆的参数方程的几何意义:过作斜率为的直线与单位圆的交点坐标。设斜率为,则过点的直线方程为 ,求它与圆的交点,联立得利用求根公式解得,从而 为单位圆的参数方程。例如:椭圆有参数表达式,。 例1、 由参数方程,所确定的曲线称为旋轮线(也称为摆线)。来源背景,它的几何意义是:当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时,圆上一个固定点所描绘出的路径(曲线)叫做旋轮线(也称为摆线)。方程建立的过程。手工操作运动法。课外搜
4、索阅读:摆线、最速降线的文献资料。 4°曲线的极坐标表示:. O 极坐标表示与直坐标表示可以互化, 。 几种表示的优缺点。二、空间曲线的表示方法 1°参数表示法: , 所形成的点描绘出空间中的一条曲线,称为曲线的参数表示。例如: 由于,它的几何意义:它的图形是圆柱螺线。圆柱螺线的产生方式:将平面上的矩形图形卷成圆柱,矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。 螺线的运动产生方式。列举常见的螺线。2° 曲线的向量表示法向量:既有大小又有方向的量称为向量。在选定坐标系下向量的表示:,或 。把参数曲线, 改写成向量形式 ,两者表示的是同样一条曲线, ,称为该曲线的向量方程。定义 1.1 如果都是区间上的连续函数,那么曲线, 称为连续曲线。 空间曲线的一般定义:设是一个区间,定义在上的向量值函数,在空间中构成的点集,称为一条曲线,称为曲线的向量方程。 多种多样的曲线已被人们所发现所认识,
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