曲线方程的表示方法

1、第一章 曲线论§1.1 曲线方程的表示方法曲线的概念：曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。现实中的各种轨迹曲线图形。在空间直角坐标系中，点的坐标表示为，轴、轴、轴上的单位向量分别记为。向量，可简记为。对任意向量，成立三角形不等式， 。补充知识：（1） 向量的内积设，定义，称为向量与的内积；记为或，其中是向量与的夹角。可以证明： 。； 。（2） 向量的外积（或叉积）定义向量的大小为，且与垂直，方向为使，恰成右手坐标系，此向量称为与的外积，记为；在直角坐标系中，可以证明：设，则。外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算。设， 。混合积 ，记，显然有 。几何意义二重外积展开

2、式， 。Lagrange恒等式 。定理 设为三阶正交矩阵，则有。证明，由外积的计算公式，并利用Lagrange恒等式，可得， 这是由于 构成右手系，或构成左手系。求的最小值.解 是点与点的距离，又是点与点的距离也是点与点的距离，由于,故的最小值为.注意点与点同在平面的一侧,在平面上寻找一点,使最小, 点是点关于平面的对称点, ,此题的几何意义是经典熟知的.一、 平面曲线的几种表示方法 1° 显表达：，函数的图象说成是一段曲线。是该曲线的表达式，如果某曲线是函数的图象，则称为该曲线的显表达式。2°隐表达式：如果曲线上的点是由方程的解所构成，则方程表示该曲线。例如：表示一个圆的

3、曲线， ，表示一个直线。3°曲线的参数表示：如果曲线上的点可由,的点来描绘， 则称它为曲线的参数方程。例如:单位圆有参数表达式,；或 .在 中,令,(即是万有代换),则有 , . 单位圆的参数方程的几何意义：过作斜率为的直线与单位圆的交点坐标。设斜率为，则过点的直线方程为 ，求它与圆的交点，联立得利用求根公式解得，从而 为单位圆的参数方程。例如：椭圆有参数表达式,。 例1、 由参数方程,所确定的曲线称为旋轮线（也称为摆线）。来源背景，它的几何意义是：当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆上一个固定点所描绘出的路径（曲线）叫做旋轮线（也称为摆线）。方程建立的过程。手工操作运动法。课外搜

4、索阅读：摆线、最速降线的文献资料。 4°曲线的极坐标表示：. O 极坐标表示与直坐标表示可以互化， 。 几种表示的优缺点。二、空间曲线的表示方法 1°参数表示法： ， 所形成的点描绘出空间中的一条曲线，称为曲线的参数表示。例如： 由于，它的几何意义：它的图形是圆柱螺线。圆柱螺线的产生方式：将平面上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。 螺线的运动产生方式。列举常见的螺线。2° 曲线的向量表示法向量：既有大小又有方向的量称为向量。在选定坐标系下向量的表示：，或 。把参数曲线， 改写成向量形式 ，两者表示的是同样一条曲线， ，称为该曲线的向量方程。定义 1.1 如果都是区间上的连续函数，那么曲线， 称为连续曲线。 空间曲线的一般定义:设是一个区间，定义在上的向量值函数，在空间中构成的点集，称为一条曲线，称为曲线的向量方程。 多种多样的曲线已被人们所发现所认识，