《数学方法论》数学中使用的一般科学方法

1、第一章 数学中使用的一般科学方法 （共 10 学时） 教学目的和要求 要求学生通过本章的学习， 掌握在数学研究及数学解题中如何使用观察与实验、比较与分类、归纳与类比这三类科学方法，并能独立运用这些方法解决数学问题。 教学内容 第一节 观察与实验（ 2 学时）1 观察与实验是收集科学事实，获取感性经验，形成、发展和检验科学理论的主要方法2观察与实验在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用第二节 比较与分类（ 2 学时）1. 比较与分类是分析、整理知识的主要方法2. 比较与分类在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用第三节 归纳与类比 （ 4 学时）1. 归纳与类比是提出数学猜想的主要方法2. 归

2、纳与类比在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用习题课（ 2 学时）通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 教学重点 观察与实验、比较与分类、归纳与类比方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。 教学难点根据已有的事实材料如何运用归纳与类比方法提出数学猜想。 教学建议 本章内容是课程的重点内容，建议通过“示例”教学使学生理解和掌握这三类科学方法在数学研究及数学解题中的功能、特点和作用。教学过程在科学的发展过程中，凡是对人类的认识产生过积极作用的思想家，不论是哲学家或是科学家，都对科学中的思想方法和研究方法进行过考察与分析，科学方法就是在他们

3、的研究和探索中诞生的。综观人类的科学认识史， 大凡以算法为主导的数学发展时期， 人们常常将数学归并到自然科学范畴之内，而在以演绎为主导的数学发展时期，人们则将数学独立于自然科学之外。在当代，由于计算机的出现以及由此引起一场迅猛的技术革命，数学中“构造性观念的抬头有了一些明显的趋势。 ” （吴文俊） ，而这种趋势致使数学及数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法不予重视。而包括20 世纪最伟大的数学家冯诺伊曼就曾指出：“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，

4、并分为数众多而无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童。 ” （引自数学家谈数学本质 ）菲尔兹奖获得者，日本数学家小平邦彦说过： “物理学可以说是研究自然现象在同样的意义上， 数学就是研究自然现象中数学现象的科学。由此可见，在数学研究和解题中广泛运用一般科学方法是不可避免的。因为数学 的研究对象是形式化的思想材料，尽管它起源于经验，有的直接依赖于经验，但毕竟舍弃了事物的具体内容。因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重， 具有自己的特点。§ 2.1 数学中的观察与实验一般的科学方法中，观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途经，是形成、发展和检验自然科学理论的

5、实践基础。观察与实验在数学研究中也是一种最基本的主要方法之一。观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获得信息，运用思维辨认其形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。尽管观察是最原始最基本的方法之一，但它是进行数学思维必须的和第一位的方法，在数学知识的发现和数学问题的解决过程中，观察也是常用的有效方法之一。在数学活动中，常常通过观察来收集新材料，发现新事实，并通过观察可以认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学方法。数学中的观察按观察的特征可分为定性观察（对对象的特征、性质、关系的观察）和定量观察（对对象间的数量关系的观察）两种。实验是根据研究问题的需要，按照研究对象的自然状态和客

6、观规律，人为地变革、控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取经验材料的研究方法。实验方法在数学活动中有助于数学理论的研究与发展；有助于启发数学解题思路；有助于在数学教学中创设思维情景。由于实验总是和观察相互联系， 观察常常可用实验作基础， 而实验又可使观察得到的性质或规律得以重现或验证。而实验比观察有更大的优越性，主要表现在以下两个方面：（ 1 ）实验方法具有简化和纯化数学对象的作用。因为实验可借助专门仪器工具，人为地变更、控制和模拟客观对象，因而能把握实验者的需要，突出某些主要因素，排除或减少其他次要的、偶然因素的干扰，使研究对象中为研究者所需要的某些属性或关系在简化、纯化的形态下暴露出来，从

7、而准确地认识它。（ 2 ） 实验方法可以重复进行或多次再现被研究的对象， 以便进行反复的观察。数学不是实验性的科学， 因此不能将观察到的结果、 实验性的验证作为判断数学命题的真假性的充分依据，但它们在数学发现及探求数学问题的解决思路的过程是起着重要作用的，欧拉曾经说过： “今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，并且早在用严格论证确认其真实性之前就被发现了。甚至到现在还有许多关于数的性质是我们所熟悉而不能证明的；只有观察才使我们知道这些性质。因此我们认识到，在仍然是很不完善的数论中，还得把最大的希望寄托在观察之中；这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质。”随后欧拉又指出

8、了观察的局限性，告诫人们要把“这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识，必须谨慎地与真理区别开来，”“不要轻易地把观察所发现的和仅从归纳为 旁证的关于数的那样一些性质信以为真。”欧拉还指出：“数学这门学科，需要观 察，也需要实验。”下面我们将通过一些例子来说明观察与实验在数学研究中的重要作用。【例1】兔子繁殖问题13世纪初，意大利数学家裴波那契（L.Fibonacci ）在他所着的算盘书中， 提出了一个十分有趣的题目：“有一个人把一对小兔子放在四面都围着的地方，他想知道一年以后总共有多少对兔子。假定一对小兔子经过一个月以后就长大成为一对大兔子。而一对大兔子经过一个月就不多不少恰好生一对小兔子（一雌

9、一雄），并且这些生下的小兔子都不死。”这是一个算术问题，但是用普通的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，我们引进记号：1表示已长大成熟的一对大兔子；0 表示未成熟的一对小兔子；用Fn表示在n月1日总共有兔子的对数，用 Fn（大），Fn"）分别表示n月1日大 兔子的对数和小兔子的对数，则通过观察有：F11，F21，F32 F43,F55,F68,F713,.由此表可得:步考虑,(1)(2)经过进一步的观察,匚(大)F n 1Fn匚（大）F n又可得:(小)F n 11时,3时，由（用实箭头表示）（用虚箭头表示）匚 匚（大）匚（小）Fn，Fn ，Fn的定义，有1）得由以上观察和

10、归纳所得的结果，我们知道当 n时，通过F1F21和FnFn 1Fn 2便可计算出Fn的值。显然，上面的结果纯粹是建立在观察和实验的基础之上的，是否带有普遍意义, 亦即对一切n 3，n N结论是否成立，还需要进行严格论证。但是，这个结果的确 给我们带来了解决一般问题的曙光，我们有理由猜想兔子的繁殖规律可以用一个明确的递推关系来描述，即Fn Fn 1 Fn 2（ n 3, n N ）正如当代最着名的数学教育家波利亚（G.Polya）所说：“数学家好似自然科学家， 在他用一个新观察到的现象来检验一个所猜想的一般规律时，他向自然界提出问 题：我猜想这规律是真的，它真的成立吗？假如结果被实验明确证实，那

11、就有 某些迹象说明这个规律可能是真实的，自然界可以给你是或非的回答。”对于递推关系式，其正确性是肯定的，这可以用数学归纳法加以证明，后人为纪念兔子 繁殖问题的提出人，将数列Fn称为裴波那契数列，这个数列的每一项都叫做裴波那契数，裴波那契数列在数学、物理、化学、天文等学科中经常出现，并且有 许多有趣的性质。由于裴波那契数列可用于优选法，因而近年来有越来越多的人 去研究它。【例2】投针问题1777年，法国科学家蒲丰（C.de Buffon ）提出并解决了一个概率问题：投针 问题。这个问题给人们以巨大的启迪：数学与实验不仅有缘，而且有着十分密切 的关系。投针问题用数学语言表述如下：平面上画着一些间隔

12、为 2a的一组平行线，在平面上随机的投掷一枚长为21并且质量均匀白针，假定1>a,试求此针与平行线相交的概率。从几何概率来看，投针问题的解法是：用M表示针的中点，X表示M到与它最近的一条平行线的距离，表示针与这一平行线的交角）图计）。那么2a Mz图2.1决定了平面上一个矩形s；同时为了使2aML平行线相交，IXx l sin当且仅当X, 满足不等式a尸;一于是，我们的问题就等价于在s中随机地掷一点，一>求此点落在区域 A中的概率（图2.2）由积分的几何意义可知，区域A的面积是图2.2故所求的概率投针问题的结果，提供了用实验方法求值的理论依据。设n是投针的总次数，mm是针与平行线之

13、一相交的次数，由概率的统计定义，近似等于7 ,于是得21n am在历史上，有不少人利用上述结果做过实验。1850年，瑞士数学家沃尔夫（Wolfe）在苏黎世，用一根长36mm的针，平行线的距离为45mm投掷了 5000次，得到的近似值为3.1596。1855 年，英国人史密斯（Smith）投掷 了 3200次，得到 的近似值3.15531864 年，英国人福克斯（Fawkes）投关B了 1100次。得到 的近似值为3.14191901年，意大利拉泽里尼（Lazzerini） 投郑了 3480次，得到的 值准确到第 六位小数，但有人对些结果持怀疑态度蒲丰投针实验提示了数学方法的多样性和灵活性，投针

14、问题被认为是数学史上最早的几何概率的研究成果。由于几何概率的研究要以有关图形集合的测度为基础，因而自然要导致积分几何的建立。在现代，由于大型电子计算机的出现，一 种新型的数学实验近似计算方法一一蒙特卡罗(Monte-Carlo )方法迅速地发展起来。这种方法以概率和统计的理论、方法为基础，将所求的问题同一定的概率模 型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。多用于求 繁难的积分。解线性方程组、偏微分方程等问题。下面举例说明方法的基本思路。例如要计算积分 0 f (x)dx的值。由积分的几何意牛y f(x)知道这就是要求计算图 2.3中的区域A的面积。即 A 1 1由几何概率

15、的定义，这就相当于“向正方形S中随相J图 1 x地掷一点”，求此点落在区域 A中的概率 ，又由概率凶2.3的统计定义，为求得的近似值，只要求得此点落在区域 A中的频率，即随机地掷一点于正方形的试验可以由计算机来做，并且可以由计算机来算出n1次试验中落在区域 A的频率一一概率的近似值， 也就是积分0f(X)dX的近似值。当 试验次数n充分大时，它与的误差可以很大的概率控制在所需要的精确度内。由于大型计算机的运算速度很快，所以可在很短的时间内求得所要求的结果。人们在学习数学或解决数学问题的过程中，也免不了观察和实验。而决定观 察与实验的质量的主要条件是目的性、计划性、全面性以及主体的良好知识结构。

16、深入的观察和良好的实验可引起广泛的联想和知识迁移，使我们不断地调整步骤，通过简单的情形，去理解和发现研究对象的性质和规律，还可使我们更快地产生顿悟，找到解决问题的关键。例如，为了得到“三角形内角之和等于 180°”这个定理，我们可通过下面的两 个实验：一是用量角器分别测量三个内角的大小，求和；二是在纸上裁下一个三 角形(记为 ABC)如图2.4所示，剪下/ A与/ B,把它彳门和/ C拼在一起。这时 可发现CD恰好为BC之延长线。通过实验，不仅帮助我们建立命题，而且实验二 还指出了这个命题证明方法的启示。【例3】如果正整数N(N> 1)的正约数的个数是奇数， 求证N是完全平方数

17、。此题的证明方法并不显然，我们做一个实验，观察n个特殊的正整数，其中包括一些非完全平方数和一些完全平方数，考虑它们的正约数的个数呈现什么规律，这些规律是怎样产生的？N正约数正约数的个数非兀全平方数21,2,231,3,251,5,261,2,3,6,471,7,2121,2,3,4,6,12,6301,2,3,5,6,10,15,30,8兀全平方数41,2,4,391,3,9,3161,2,4,8,16,5251,5,25,3361,2,3,4,6,9,12,18,36,91001,2,4 , 5,10,20,25 ,50,100,91961,2,4,7,14,28,49,98,196,9通过

18、上表，我们观察到：对非完全平方数来说，它们的正约数序列中，距首未两端等距离的两个正约数的乘积为N,如12=1X 12=2X6=3X4;对完全平方数来说，它们的正约数序列中，除了首未两端等距离的两个正约数的乘积为N之外，中间还剩一个正约数，如236=1 X 36=2 X 18=3 X 12=4 X 9=6以上实验，也使我们更加确信：正约数的个数是偶数的正整数必为非完全平方数；正约数的个数是奇数的正整数必为完全平方数。根据实验中我们所观察到的正整数的正约数的个数规律的启示，得到本例的证法如下：NdiN。若Y'N不是自然数,的正约数是成双出现的。N.d 设di是N的正约数则di必为N的正约数

19、，因为 N则dL di必有一个小于JN,另一个大于JN。因此, 即N的正约数的个数必为偶数， 这与已知条件相违。由此推出v'N是自然数，即N 为完全平方数。§ 2.2数学中的比较与分类比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法。比较的过程是先对有关事物进行分析，区别每个事物各方面的特征，再将有关事物按其特征进行对比， 得出哪些方面具有共同性，哪些方面又有区别性，从而鉴别这些事物间的异同， 比较是概括的基础，通过抽象得出的属性是在比较以后才能认识其共性的。通过 比较，可以从思想上把握现实世界对象的本质特征和非本质特征，反映客观事物 相互对立又相互联系而存在的实际情况，达到正确

20、认识事物的目的。正如俄国教 育家乌申斯基所说：“比较是一切理解和一切思维的基础，我们正是通过比较来了 解世界上的一切的”。在人们的社会实践，特别是在科学研究中，比较作为一种科 学方法普遍地被应用。在数学研究中通过比较方法确定研究对象的共同点和差异点，为开发新的研 究领域提供指导与线索。数学中的许多发现都是应用比较方法完成的。数学中的 比较是多方面的，有量的大小的比较，有形式结构关联的比较，也有实质方面的 比较。比较的目的是把握有关事物的区别和联系，达到正确认识事物。例如，数学家们发现，除欧几里得几何之外，还存在两种非欧几里得几何，即 罗巴切夫斯基几何和黎曼(B.Riemann)几何，对于欧几里

21、得原本第五公设来说， 这两种非欧几里得几何分别对应于下列两个公理。罗巴切夫斯基几何已知在一平面内有一条直线l和不在l上的一点P,则过点P至少存在两条平行于l的直线。黎曼几何 已知在一平面内有一条直线l和不在l上的一点P,则过点P不存在 任何平行于l的直线。数学家们在关于欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何的比较研究，给出了三套迥然相异的命题，为了弄清三者之间的基本差别，普伦诺威茨（Prenowitz ）和若尔当（C.Jordan）在几何学的基本概念一书中列出下面表格 加以比较。通过对下表所述的三种几何学的特征的差别的比较，就可以从思想上把三种几何区分开来，这将对进一步学习和研究提供“理解和

22、思维的基础”。事 项欧几里得几何罗巴切夫斯基几何黎曼几何两条不同直线相交在至多一个至多一个一个（单一椭圆）两个（二重椭圆）占上占上已知直线l,和 l外一点P,存 在有且仅有一条直线至少有两条直线无直线通过P且平行于l一条直线可以可以不可以被一点分为两部分平行直线是等距的是不等距的不存在如果一条直线 与两条平行直 线中的一条相 交必然可能或不可能与另一条直线相交正确的萨开里假设是直角锐角钝角假设两条垂直于同一直线的不同直线是平行的是平行的相交三角形的内角和等于小于大于1800一个三角形的面积与它的内角和无关的角胭成正比的角盈成正比对应角相等的两个三角形相似全等全等F面我们再就三种几何不中的两个着

23、名的命题，作出比较的结果 (1)勾股定理(毕达哥拉斯定理) 欧几里得几何c2 a2 b2c ca a b b罗巴切夫斯基几何2(ek ek) (ek e k)(ek ek);这里k是某个确定的常数，e=2.718 2.22黎曼几何 ds adx 2 dxdy dy这里是正定的。(2)半径为r的圆的周长C欧几里得几何C 2 rr r罗巴切夫斯基几何Ck(ek ek)黎曼几何 无法用简单的式子表示。在数学中，从概念的发展、命题的推演或证明，到数学问题的解决，都渗透着 比较方法的运用。在数学教学中，有经验的教师通过旧知识引进新知识，让学生在新旧知识的比较中，提出疑问，创设问题情境。比较在数学学习中不

24、仅是一种科学的认识方法， 而且已发展成为一种独立的数学解题方法。数学思维的基本形式是：概念、判断和推理，其中判断和推理是以概念为基本 要素。判断是在比较两个或两个以上概念的特性之后，对命题作出肯定或否定的 思维形式；数学中推理以归纳和演绎为主要推理形式，其中归纳推理以比较同类事物的特性为前提，演绎推理则需在比较一般原理与具体事物的性质的基础上进 行。所以在数学教学中对概念（包括相对概念，易混淆概念）或同类事物进行比 较；不仅有利于提高学生的认识能力，而且直接关系到解题能力的形成。不等式的证明方法，因题而异，但是比较法是一种普适性较大的方法。2 c【例1】 设a, b, c为三角形的三边，求证a

25、2 b2>万。2.c 1222、(2a 2b c )2222a b2abeosC代入上式得证一：作差法，因为a2 b2由于 a2 b2 2ab，又c2-1 vCosCv 11+cosC >0,而 a>0,b >0,这就证明了2,2a b2 >0,即 a2 b证二：作商法，因为 a、b、c为三角形的三边，这就证明了a2b22 c2【例2】>1, 已知求证:ABP BCP cot cot A cotB cotC即 a2 b2> 2P为 ABC内的分析：由图形的特征上可以联想有面积关系：比较题中待证式与上式的异同可知，由于两式结构相同,只需从面积关系入手进行

26、转化即可，于是思路打开同理有:S BPCS CPAo,22b z4 cotS ABCS APB2ab2BPC2 cS CPA4 cot(1)a2 sin Bsin Ca2S ABC 又2sin（B C） 2（cotB cotC）同理，应用等比定理有：2. 22ga b cS ABC4（cot A cot B cotC）（2）比较（1）、（2）两式，即得结论。分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归为一类， 不同性质的对象归入不同类别的思维方法。分类的目的在于使知识条理化，并进 而系统化，促进认识结构的发展，分类方法虽侧重于理性思维，但是条理化、系 统化的信息便于检索和储存，

27、对知识的巩固、理解的深化、后续学习的进行和问 题的解决都起着重要的指导作用。当面临较复杂的对象时，人们往往会考虑将对象按某种特征分成几个部分，逐一加以研究，再综合之，以达到认识对象全体的目的。这种分类方法在科学研究 中是广为运用的。生物学家通过直觉归纳、解剖等手段，运用分类方法，编排出 动植物的谱系；化学家在分类的基础上，根据元素的周期现象，预言新元素的存 在及其性状。在数学中则把分类作为一种揭示概念外延的逻辑方法， 当我们要弄清某个数学 概念是由哪几种子概念构成的时候，就提出了概念分类（或称为概念划分）的任 务。如关于数的概念可分类如下：上表采用了二分法，即把属概念（复数）连续地分为两个互相

28、矛盾的概念，直 到适当的情况为止，用二分法分类，条理清楚，对于从整体上认识种概念也属概 念之间的关系较为有利。如都是概念的二分法分类的例子。概念的分类必须遵守以下规则，只有这样，才能在分类过程中防止出现遗漏、 重复或者混淆不清的现象。1 .分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类的概念的外延相等。如三角形以角的大小为标准，可分为锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形（派）因为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外延的总和，恰好与三角形的外延 相等。而就不是正确的分类，这里，第一，二，三，四象限的角的外延的总和狭于被分类的概念的外延，遗漏了 “轴线角”这一子项。2 .分类所得的各子项，应当是互相排

29、斥的。就是说，某一概念被分类后，其各子项每两项都应当是并列关系，而不是交叉 关系或从属关系。如把平行四边形分为矩形、 菱形和正方形，就不仅违反了规则1, 而且也犯了 “交叉”和“从属”的毛病。3 .分类应按同一标准进行。在分类前，应当从被分类的概念的属性中，取出一个属性作为依据。如三角形以“角的大小”为标准，得到的分类是（X）；如以“边的相等关系”为标准，得到的分类则是这里的不等边三角形是指任何两条边都不等的三角形；二等边三角形是指有且仅有两条边相等的三角形。如果二等边三角形是指通常的等腰三角形，那么这一分类就违反了规则 2。分类方法在数学中有广泛的运用，这是因为一切事物都必须分门别类加以研究

30、，才能条理清楚、泾渭分明，区别事物间的千差万别，明确事物间的联系，作为反映现实世界各种现象普遍联系和制约关系的数学，是以概念为支柱的，没有分类，数学概念就不复存在，也就无法建立和发展。分类往往可使复杂的问题化简单，使隐晦的条件变为明显，从而有助于我们分别思考，各个击破，大到一个数学分支学科，小到某个具体问题，几乎一切数学问题都与分类有关。学会在不同的场合把复杂的对象按我们的需要进行分类，是数学研究中一种很重要的基本功。【例3】试讨论三平面的一切可能的位置关系。分析： 空间三平面的位置关系是一个复杂的关系。 怎样分类才能做到既无重复又无遗漏呢？这应抓住分类各个阶段的分类标准。首先抓三个平面有无重

31、合，在有二个重合的条件下再按与第三个平面是相交还是平行进行分类；对三个平面都不重合的情况下再按有几个平面平行来分类；对三个平面都不平行的情况再按三条交线是否重合，平行、相交来分类。这样逐级进行分类，才可避免重复与遗漏。三个平面的一切可能的位置关系为：1 三个平面重合；1 与第三个平面相交2 二个平面重合2 与第三个平面平行3 三个平面平行4 两个平面平行1 三交线重合2 三交线平行5 三个平面两两相交 3 三交线相交【例 4 】 有标有 0、 1 、 2 、 3 、 4、 5 、 6、 7、 8 的卡片 9 张，从中选3 张，用其数字组成无重复的数字的三位数。如果卡片 6 也可以当 9 用，试

32、问：这样组成的三位数有多少个？解：由于卡片 6 的特殊性，按数字6 进行分类，分为三类：（ 1 ）不含6，这样的三位数由0 、 1、 2 、 3、 4、 5、 7 、 8、 9 中选三个数字组12成，共有P8 P8448 个。（ 2 ）含6 不含零，这样的三位数由 1 、 2 、 3、 4、 5 、 7 、 8 中选两个数字与 623组成，因而，共有C7 P3126个。（ 3 ）含6 又含零，这样的三位数由 1 、 2 、 3、 4、 5 、 7 、 8 中选一个数字与 6132和 0 组成，因而，共有C7 （ P3P2 ） 28个。综合（ 1 ） 、 （ 2） 、 （ 3）可知，这样的三位数

33、总共有【例5】试证不小于 5 的质数的平方与1 的差必为 24 的倍数。分析：如何表示不小于5的质数，是解决本题的关键，而质数又无简单的通项 公式。因而进一步去考虑将不小于 5的质数扩大为不小于 5的自然数，并分为如 下六类：6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n-2 , 6n-1。因为不小于 5的质数不可能为偶 数或3的倍数，所以不小于 5的质数只可能落在 6n 1之中，若我们能证明： 24(6n 1)2 1,则命题也自然得证。事实上，又n(n内必为偶数，所以，24(6n 1)2 10运用分类法解决数学问题的关键，就在于分类对象或范围要选得准，并找到适 当的分类标准。为此就必须运用

34、辩证的逻辑思维，具体事物具体分析，在表面上 极为相似的事物之间看出它们本质上的差异点，在表面上差异极大的事物之间看 出它们本质上的相同点，发现事物的本质特征。这样才能揭示数学对象之间的内 有联系，暴露所涉及范围的制约关系。【例6】 已知在20个城市之间共辟有172条航线，证明：利用这些航线，可 以从其中任何一个城市飞抵其余任何一个城市(包括中转后抵达)。证：假设其中存在某个城市 A,由它仅能飞抵n个城市，我们将所有的城市分 为两类：一是将A及由A可以飞抵的n个城市归入X类；二是将A不能飞抵的19 n 个城市归入Y类。于是在分属X类与Y类的任意两个城市之间都没有航线连能(否则由A即可以经过中转而

35、飞抵属于 Y类城市)。这样一来，航线的总数目就应超过 注意到0 n 18,对于这样的整数n,显然n 19 n 119。于是就有190 n 19 n 1171 条。这与已知的共有172条航线的事实相矛盾，可见不存在所述城市A,即是说，由这20个城市中的任一城市都可飞抵其余任何一个城市。§ 2.3提出数学猜想的一般方法：归纳与类比猜想是根据某些已知的事实材料和数学知识，通过理论思维的能动性，对未 知量及其关系所作出的一种猜测性的推断。恩格斯说过：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说。”数学猜想是数学研究的一个科学方法，也是数学发展的 一种重要形式。无论是数学家或是正在学习数学的学

36、生，在研究数学、学习数学时，令人最感 到困惑也是最引人入胜的环节之一，就是如何发现定理以及怎样才能证明定理。 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”波利亚也说过：“对于正积 极搞研究的数学家来说，数学也许往往像猜想游戏：在你证明一个数学定理之前， 你必须猜想到这个定理，在你搞清楚证明细节之前，你必须先猜想出证明的主导 思想。”由于猜想都是对事物的现象和规律的推测，尚未达到确切可靠的认识，因 而有待于进一步通过科学实验来检验或证实，作为数学猜想，则应通过严格的论 证以确认。从词义上来看，猜想与假说、合情推理视为同义。由于猜想都是对事物的现象和规律的推测，尚未达到确切可靠的认识， 因而

37、有待于进一步通过科学实验来检验或证实，作为数学猜想，则应通过严格的论证以确认。在数学发展的历史上，曾经有过许多着名的猜想，如哥德巴赫猜想、费马猜想（费马大定理） 、欧拉猜想（ 36 名军官问题） 、黎曼猜想、比勃巴赫猜想、希尔伯特猜想（希尔伯特23 个问题）和四色猜想等等，这些猜想，有的经过长期努力得到了证明，如哥德巴赫猜想、四色猜想和希尔伯特23 个问题中的第一、第三、第五、第九、第十七、第二十一问题等；有的则给出了否定的解决，如欧拉猜想、希尔伯特 23 个问题中的第十、 第十四问题等； 还有更多的猜想人们正在继续努力，或有所进展或突破，或接近于解决，或尚未取得重大的成果。众多的数学家在研究

38、和探索猜想的过程中，不仅极大地丰富了数学本身的内容，而且推动着数学向前发展。“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。 ”高斯也说过： “在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。 ”归纳法是从个别事实中概括出一般原理的科学方法， 归纳法有全归纳法和不完全归纳法之分。我们这里所论述的主要是不完全归纳法， 它是指由个别性前提推出一般性结论的推理。归纳法是由一定数量的单称陈述出发，通过思维的“顿悟”过渡到全称陈述，这就是猜想，由归纳法提出的猜想，虽然不具备演绎推理的那种必然性，但它是一种经过若干事例验证了的猜想，经过验证的事例越多，猜想的置信度就越高。在数学发展

39、史上，通过归纳法提出的猜想不计其数。着名的哥德巴赫猜想就是一例。1742 年 ， 德 国 的 一 位 中 学 数 学 教 师 哥 德 巴 赫 （ C.Goldbach ） 根 据 奇 数77=53+17+7， 461=449+7+5=257+199+5等个别例子看出，每次相加的三个数都是素数，于是他提出猜想，所有大于 5 的奇数都可以分解为三个素数之和，他将此猜想告诉欧拉，欧拉肯定了他的想法，并补充提出：所有大于 4 的偶数都可分解为两个素数之和，这二者后来即称为哥德巴赫猜想。这个猜想提出至今已有近260年的历史，在这漫长的岁月里，也有人对此提出过怀疑，于是不断有人进行过大量的验算，至今已验算

40、到 5X 108以内的偶数都是对的。虽然到目前，哥德巴赫猜想尚未被证明为正确，也没有人予以否定，但是围绕这个猜想所作的研究，却积累了相当多的资料与成果，特别近半个世纪以来，进展迅速，成绩显着，达到了非常精深的境界，在这些成绩中，包括陈景润，王元等在内的我国数论学派占世界领先地位。通过归纳方法提出猜想，尔后又被证明是正确的，这样的例子当然很多，如关于凸多面体的欧拉定理其中 F， V， E 分别表示凸多面体的面、顶点和棱，就是着名的一个。又如数论中的“四方定理” ，即方程对任何自然数n 都有 x ， y ， z ， “巴切特猜想。 ”后来，巴切特自己得到了证明，“猜想”才成为“定理” 。不过由于归

41、纳方法得到的结论并非必然，所以由归纳方法产生的猜想以后被否定的情况亦不鲜见。如法国数学家费马曾经认为：对于任何非负整数n ，形状如22n 1 的数都是素数。这样的数叫做“费马数”而用符号 ' 来表示，则费马根据对前五个数F0，F1，F2，F3，F4的观察，通过归纳，就认为他的结论是正确的，但欧拉在1732年发现F54294967297641 6700417这就是说，费马的这一猜想是错误的，要注意，在费马数Fn中间，当n>4时，目前人们还没有找到一个素数，而其中有些 ' 却已经被证明是合数，如 2238388608F23 21 21 F23的全部素因数，F23是一个2525

42、223位数字，如果用本书中的字体印出来，就要有 5km的长度。在费马数中，是否有无穷多个素数？或者是否有无穷多个合数？都是没有解决的问题。当然，通过归纳得到的猜想的过程也并不是一蹴而就的，因为手头上的经验材料大多是支离破碎的，不经过一番仔细的分析、研究，将很难发现蕴涵在其中的关系，而这些关系正是归纳赖以进行的依据。下面我们来看一例。【例1】 证明数列12, 1122, 111222,每项都是相邻的两整数之积。分析：下面我们对数列的前几项进行考察(对含“1”的个数)当n=1时，12=3X4,命题成立。当n=2时，要把 1122分解就不容易了，这时我们设定命题成立，即设1122=n(n+1),贝U

43、Vn2 v 而22='n(n 1) <，(n 1)2即 n v J1122 v n 1这个信息很重要，它表明 n和n+1可以用开方运算迅速地猜到：1122 33.猜想n 33,于是1122 33 34经验证果然成立，同法可以分解出：当 n=3 时，111222=333 X 334X 3334;继而归纳得出：11 122 2 33 3 (33 3 1)n nnn 1这纯粹是猜测，不能算作证明，但猜测到了积的结构，寻找证明就容易多了。首先想办法变出第一个因子 333,有利的条件是已经出现了 111,相差不远！11 122 2 11 100 0 22 2nrnr11 1 10n 2 1

44、1 111 1 (10n 2)11333 10n 2310n 2（为了出现33 3）3333310n 1399 931)1)（为了出现1）33n个(33 3n个1)从例1看出，某些数学问题，其结论未直接给出，这就需要我们去探求，恰当地通过归纳，根据一定数量的事实建立猜想，就能较快地找到结论。当面临一个生疏的或者是非常规的数学问题时，我们适当运用归纳法，建立猜想，也常是探索解决问题的方法的一个好途径。【例2】 试把1991表成若干正整数之和，使这些数的积最大。分析：把1991表成若干正整数的和的情形很多，直接一一列举是很困难的。也是不可能的，那我们还是回到最简单的情形进行考查，探求分解的规律，再

45、推 广到一般情形。数2:只能表为1+1,但1 1V2,这说明不如不变，看来从原数中分出1是不合算的，这种分解情况不再予以考虑；数3:不如不变；数4:表为2+2,因2X2=4,故变与不变无区别；数5:表为2+3,因2X3=6,故积的最大值为 6;数6:表为3+3,则3X3=9;表为 2+4,贝2X4=8;表为 2+2+2,则 2X2X 2=8;后两种情况可归结为一种情况，因为4=2+2,故变与不变无区别，所以积的最大值为9,可见，表成3个2的和不如表为2个3的和；数7:表为2+5, 5应继续表为2+3,可见积最大为 3X2X2=12;数8:表为2+6, 3+5,应把6, 5继续表为若干个 2的和

46、。此外8表为4+4也 可继续表为若干个2的和。可见积最大为 3X3X2=18;数9:表为2+7, 3+6, 4+5,同样7、6、5也应继续表为若干个 2和3的和， 这时也发现积最大为 3 X 3X 3=27。经过上述枚举，可以猜想到：欲得所求，应该把数表为若干个2或3的和。现在我们来证明这个猜想，首先把1991表成若干个正整数的和，欲使其积最,那么，X可表x 4大，这些加数均不超过 4,否则不妨假设存在某一加数为为 2+( x-2 ) ，但2(x-2)=2 x-4= x+( x-4) > x这就使得其积增大。其次，我们可把4 表成两个 2 的积，且应把3 个 2 的和表为 2 个 3 的

47、和，即加数中 2 的个数不宜超过2 个。因此，应把1991 表为 663 个 3 与 1 个 2 的积，因此所求积的最大值为 2 3663 。上述的结论可推广到任意大于 1的自然数N ,即当N 3k (k N)时，n可表示 为 k 个 3 的和，其所有加数的积最大，此积为3k ；当 N =3k+1 时， N 可表为 k-1个 3与 2 个 2 的和，其所有加数的积最大，此积为 22 3k 1 ；当 N =3k+2 时， N 可 表为 k 个 3 与 1 个 2 的积，其所有加数的积最大，所求的积的最大值为 2 3k在数学教学中，我们也可以像数学研究一样，引导学生运用归纳等方法，通过猜想去发现新

48、的命题，当然这个命题是有待于证明。【例 3】 试由下面一组等式出发，推测并证明一个定理：32+42=52；102+112+122=132+142 ；212+222+232+242=252+262+272 ；362+372+382+392+402=412+422+432+442；分析： 通过观察所给等式结构上的特点， 欲要找出奇数个连续自然数平方和的性质，其关键就在于找到各等式左端的首项构成的数列的性质。我们不难发现：这些等式左端的首项构成一个二阶等差数列：即其中a13， a210， a321， a436，, n 1,2,2且容易求得：an2n n根据所给的一组等式(不妨再可验证n=5 时的等式

49、) ，猜想：an 2n2 n (n 1,2, )命题：若 ，则有证明：往证，等价命题：类比是指在两类不同的对象之间， 由它们的某些相似的属性推出另外的属性也相似的推理，类比方法是由此及彼的过程，是由个别到个别的逻辑推理。由类比方法提出猜想，虽然也不具备演绎推理的那种必然性，但是它是以两类对象之间的相似的属性愈多，其所推出的另外的属性也相似的结论的置信度就愈高。在数学发展史上，通过类比方法提出的猜想也不少。例如，§ 1.3 的“自然数平方的倒数和”问题，就是欧拉运用类比方法获得猜想及精彩的结论的一个范例，又如“自然数的方幂和”问题，即对于任意自然数m，1m 2m nm是否都存在一个求和

50、的方法？自古希腊以来，欧洲人一直对这个问题怀有兴趣，但到了 17 世纪，他们所知道的也仅限于m=1， 2， 3 这三种情形，阿拉伯人知道得稍多一些，他们得到了，1c142434n430 ns1)(2n 1)(3n23n 1)那么，进一步如何求自然数的五次方募和、六次方募和？更一般地，自然数的m次方募和又怎样来求呢？1638年，费马注意到公式：他作了一个类比，得到在证明了上式的正确性之后，费马进一步通过类比方法获得n k(k 1) (k p 1)k1 P(P 1) 3 2 1n(n 1) (n p-1)(n p)(p 1) p(p 1) 3 2 1此式可以通过数学归纳法加以证明。由此式费马得到了

51、求自然数的方募和的公式,如取p=3,则式可化为n(n 1)(n 2)(n 3)24式。n(n 1)2 及nk3k 1依此类推，利用求nk21131 n(n 1)(2n 1)623n3k2k 1 及这样，费马就获得了根据前代入式就可求得n(n 1) 2k3k1的公式，根据式可得出求nk4k 1 的公(n-1)个自然数方募和公式导出第n个自然数方募和公式的递推方法，解决了求“自然数方募和”的问题。再如，我们知道，一个三角形任意两边之和必大于第三边，后来，人们在反复 验算的基础上，受到上述三角形不等式的启迪， 通过类比提出猜想：对于自然数x >1, y >1 ,总有其中(x),(v),

52、(x 丫)分别表示不超过x,y,x y的素数的个数，这个猜想是否正确，至今尚未得出结论。类比法是提出新问题和作出新发现的一种重要方法，是扩大知识范围，获得 新知识的重要手段。天文学家开普勒 (Kepler)曾经说过：“我珍惜类比胜于任何别 的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密”。波利亚也曾说过：“类 比是一个伟大的引路人”“每当理智缺乏可靠的思路时，类比这个方法往往 能指引我们前进。”类比法在求解问题中也有广泛的应用。波利亚指出：“选出一个类似的，较易的问题，去解决它，改造它的解法，以使它可以用作一个模式。然后，利用刚刚 建立的模式，以达到原来问题的解决。”“这种方法在外人看来似

53、乎是迂回绕圈子， 但在数学上或数学以外的科学研究中是常用的。”【例4】 空间中没有任何二个平行，没有任何三个共线，没有任何四个共点 的n个平面可把空间分成多少区域？分析：这个问题使我们容易联想到类似的一个平面问题：“平面中没有任何二条平行，没有任何三条共点的 n条直线可把平面分为多少个区域？”对于这个“平面问题”运用归纳法，考查 n=1,2,3,4,的个别情形可得：f 12; f 2 f 12 2 2 4.;f 3 f 2 3 4 3 7; f 4 f 3 474 11L. ;可以推测：当n k时，f k f k 1 k（）这里f n表示n条处于一般位置的直线将平面分成的区域数。由递推关系（派

54、）我们可以得到将“立体问题”转化为“平面问题”，并在“立体问题”与“平面问题”的类 比中得到启发，可利用“平面问题”的结论来解决“立体问题” 。设平面k 1与平面1，2， k的交线依次为l1，l2， lk。由题设可知，这k条直线无任何两条平行，无任何三条共点，于是由上述“平面问题”知 k1被k条直线 r1f（k） 1 -k（k 1）l1，l2， lk分成2个区域。又设k个平面1，2，k将空间分为F k个区域，若增加一个平面 ，则k 1被k条交线八人，lk分成f k个区域，这时空间被分成的区域就增加了f k个即：于是：上面诸式相加，得：【例5】 设r、$ 3 x、y、z都是正实数，且满足条件：求

55、x y z的最小值。分析：这个问题条件很复杂，直接从给出条件求出x y z的表达式是很困难的，因此我们想到用类比法，从条件（1）的结构形式容易联想到三角形内角正切 的恒等式这个恒等式可作为条件（1）的类比对象，于是我们可令r tanA，s tanB,t tanC因 r、s、t、都是正实数，故 A B、C都是锐角，而且 A+B+C=180o由此我们又有且2A+2B+2c=360o于是条件（2）、（3）、（4）又可化为从（5）、（6）、（7）的结构形式可以联想到平面几何中一个相似的问题：在边长为1的正三角形中，求到三个顶点距离之和为最小的点及这个最小值。这个问题的结论是：到边长为1的正三角形三个顶点距离的和为最小的点是它的重心，其最小 值为国。用这个问题与原问题类比，可令 x、y、z分别表示边长为1的三国形内一点到 三个顶点的距离