弹性力学第四章 (3)

1、弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法2022-5-261弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程4-9 4-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程4-2 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程4-5 4-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞4-7

2、 4-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲4-8 4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移圆盘在匀速转动中的应力及位移4-10 4-10 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力习题课习题课2022-5-262弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 图41 PACBrrrrKKrrrrdrrrrrdddrrdrrdrKrKyxoPABC2022-5-263弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 0, 0, 0MFFr 0M rr 0rF0)(22)()( drrdKdrd

3、rdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr 0F022)()()( drrdKddrddrdrdddrrdrrdrdrdrrrrrr2022-5-264弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法d22sindd12cosdrr 02101 KrrrKrrrrrrrrr。 rrr 2022-5-265弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-2 4-2 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程rrruu -图4-2drdrruo2022-5-266弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法PArudrudrruurrrrr )(PBrurdrddurrr )(PA0PB rrrrurr

4、duduu1)( rrur1drdrruo2022-5-267弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法drPP BB A Adruo图4-3PA0rPB urrduduu1)(PArudrudrruu )(PBru rurur 2022-5-268弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 ： ruruururrururrrrr11 rrrrrrEGEE)1(21)(1)(12022-5-269弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 rrrrrEEE)1(2)1(1)1(122 E21E 12022-5-2610弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力

5、函数与相容方程 sin,cosarctan,222ryrxxyyxr ：rrxyrryxryyrrxxr cos,sin,sin,cos22 rryyrryrrxxrrxcossinsincos2022-5-2611弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 yxxyxyyx 22222222222222222222222222222coscossin2coscossin2sinsincossin2sincossin2cos rrrrrrryrrrrrrrx（a）（b）222222222222cossinsincoscossinsincoscossin rrrrrrryx （c）2022-5-261

6、2弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法：)1()()()()(11)()(0202202202220220 rryxrxrrryyxryxr。22222222211 rrrryx0)(22222 yx：0)11(222222 rrrr2022-5-2613弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 ),( r2022-5-2614弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式 rrxyxyrryyxrrrrxyxcaboyxAB图4-4 Abcdsabacsindscosds2022-5-2615弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 A 0 xF0cos

7、sinsincossincos22 dsdsdsdsdsrrrxrr cossin2sincos22rrx 0yF)sin(coscossin)(22 rrxy 0yFB cossin2cossin22rry rryyxrrrrxyxcaboyxAB2022-5-2616弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 )sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222 rrxyrryrrx 2cos2sin22sin2cos222sin2cos22rrxyrrryrrrxrryyxrrrrxyxcaboyxAB2022-5-2617弹性力学与有限元法弹性力学

8、与有限元法4-5 4-5 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移 。 r)(r 0dd1dd222 rrr DCrrBrrA 22lnln 2022-5-2618弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法02)ln23(2)ln21(22 rrrCrBrACrBrA cossin4sincos)1(2)31()1(ln)1(2)1(1KIHrEBruKICrBrrBrrAEur 2022-5-2619弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 E21E12022-5-2620弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞 02)ln2

9、3(2)ln21(22 rrrCrBrACrBrA 图4-5bbrraarrbrrarrqq )(,)(0)(, 0)( 2022-5-2621弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 cossin4KIHrEBru baqCbAqCaA 2222baqCbBbAqCaBaA 2)ln1(2)ln1(222022-5-2622弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法babarqbaraqabrbqbaraqabrb222222222222222211111111 0bqaarqabrbqabrb11,1122222222 r图4-62022-5-2623弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法baarqr

10、aqra2222, （0aqbbrqbaraqbara2222222211,11 r图4-72022-5-2624弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法qo,E,Errr图4-8 q CrACrAr2,222 2022-5-2625弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法CrACrAr 2,222ACACqarr)(qCaA 220)( , 0)( rrr02 Cbrrbrr )()(（1）（2）2022-5-2626弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法CbACbA 2222 sincos)11(2)11(12KICrrAEur sincos)11(2)11(12KIrCrAEur sincos)2

11、1(21KIrACrEur sincos)21(21KIrArCEur（3）2022-5-2627弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法brrbrruu )()( sincos)21(21sincos)21(21KIbAbCEKIbACbE)21(21)21(21bAbCEbACbE 0)21(222 bAbACn)1()1( EEn（4）2022-5-2628弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法ACAC )1()21(1 )1(2)1()21(1 )1()21(1 )1()21(1 )1()21(1 222222222222nabnrbnqnabnnrbnqnabnnrbnqrr 1nqo,E

12、,Errr图4-82022-5-2629弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-7 4-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲ra，b02)ln23(2)ln21(22 rrrCrBrACrBrA0)( , 0)(0)( , 0)(0 rrbrrarr图4-92022-5-2630弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 0)(,0)( brrarr02)ln21(02)ln21(22 CbBbACaBaAMrrrbaba d0d 0dddd22 arrbrrbarbababaabrrrrr Marabrrrrrrrrrrrrbarbrrbabarbababababa 22222)()(dddddddddd

13、：2022-5-2631弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法MabCaabbBabA )()lnln(ln2222 0lnlnln14lnlnln4222222222222rrrabrbarrbababNaMabrbarrbabNaM：222222ln41 abababN DCrrBrrA 22lnln 2022-5-2632弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-8 4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移圆盘在匀速转动中的应力及位移 0,2 KrKr rr0rr 02102Krrrrrdrdrrrr22rdrd,rr (1)2022-5-2633弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 )(ruu

14、rr0u0 rrrr,ru,udrdru)r(drdr 322223r)(drdrdrdr rBArr 28332 2222222831283rBArrBArr(2)2022-5-2634弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法AB 0 arr)(a2243aA 0B )ar(a)ar(ar22222222331183183220083a)()()(rrrmax ar)(ar)(E)(a)(Errurr33321381 2022-5-2635弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法0r0ruar Eaur4)1()(32max )(rtt 0)(2 rtrtttdrdrr22,trdrdtrtr ：3

15、2222)3()1()1(trdrdttrdrdrdrdttrdrdr CrtC2022-5-2636弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 32222)3()1()1(Crdrdrdrdr 32)3(83rCBrArnmAB)1()2(22 nm 2211222211)3(8311)3(83rnrCBmrCArdrdtrrCBrCAtrnmnmr maCA32)3(830)(arr2022-5-2637弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法0r0B)(331)()3(83)()()3(8321222122ararmaararammr )(1()()(3()3(8)(3232ararmEaErru

16、mrr 2022-5-2638弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-9 4-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中孔边应力集中孔边应力集中。 应力集中的程度与孔应力集中的程度与孔rrAb图4-102022-5-2639弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为a的小圆孔，在左右两边的小圆孔，在左右两边受均布拉力，其集度为受均布拉力，其集度为q，如图，如图4-104-10。 22)(222)(sinq,cosqqbrrbrr 以远大于以远大于a的某一长度的某一长度b为半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐为半径，以小孔中

17、心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件：标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件：0)(,2)( brrbrrq 2sin2)(,2cos2)(qqbrrbrr2qqb0,112,11222222222 rrbaraqbaraq( ( ) )2022-5-2640弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法ab 0barr2cosrr2sin 2sin)(,2cos)(21rrrr)1(,11222 rrrrrrr 2cos)(rf0)(9)(9)(2)(2cos32223344 drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0),1(2),1(22222 rrraqraq2

18、022-5-2641弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法2cos224)(rDCBrArrf 2cos)(224rDCBrAr 2sin)6226(2cos)6212(2cos)642(4224242rDrCBArrDBArrDrCBrr0)(, 0)( arrarr264242qbDbCB 2sin2)(,2cos2)(qqbrrbrr2022-5-2642弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法0622606422622642242422 aDaCBAaaDaCBqbDbCBAb ABCD0ba4,4, 042qaDqaCqBA 2sin)31)(1(22cos)31(22cos)31)(1(

19、22222442222raraqraqraraqrrr2022-5-2643弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 2sin)31)(1 (22cos)31 (2)1 (22cos)31)(1 (2)1 (222224422222222raraqraqraqraraqraqrrr2022-5-2644弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 1q2qq1qq2q090 2sin)31)(1(22cos)31(2)1(22cos)31)(1(2)1(2222221442122212222212221raraqqraqqraqqraraqqraqqrr图4-111q1q2q2q2022-5-2645弹性

20、力学与有限元法弹性力学与有限元法：a0=222022-5-2646弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法a+xy0Aqqqaxyqqrr0（ ）（ ）2022-5-2647弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法（ ）= ， = ， )sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222 xyxyrxyyxxyyxr， ，2022-5-2648弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法o 0)1()1(2222 rraqraqr2022-5-2649弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法qqqaxyqqrr0 2sincossin22cossincos22qqqqq

21、brrbrr )sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222 xyxyrxyyxxyyxr2022-5-2650弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法oqcos2-qsin2 r ：r, 2cos)(111222rfrrrr 2sin)()1(2rfrrr （c） 2cos)(rf2022-5-2651弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法02cos)(9)(9)(2)(32223344 drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfdttttDeCBeAetfpppppppptftftftfrterrfrrfrrfrrf2244321234 )4(

22、3 2)3()4()(4,2,2,0:01644:0)(16)(4)(4)(:ln,:0)(9)(9)(2)( 根根特特征征方方程程方方程程变变为为引引入入代代换换欧欧拉拉型型方方程程2022-5-2652弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 2cos)(.,)(:ln224224DrCBrArDCBADrCBrArrfrt为为任任意意常常数数通通解解还还原原用用 2sin)22(2cos)212(2cos)42(4224242rDrcBArrDBArrDrcBrr2022-5-2653弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 并并求求待待定定常常数数是是否否满满足足应应力力边边界界检检查查,).

23、 D 062260|06420|42242 aDacBAaaDacBararrarr内内边边界界 qbDbcbAbqbDbcBbrbrrbrr 262262sin2|26422cos2|042200420外外边边界界oqcos2-qsin2 2022-5-2654弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法8642446264222)()(4)(6)(41)(12)(1)(4)(312)(1)(:babababapbapqaDbapqaCbabapqBbabapbqA 其其中中解解此此代代数数方方程程2022-5-2655弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法2,2, 0:0,42qaDqaCqBAba

24、ab 得得出出时时当当)(3212sin)31)(1(2sin)(312cos)(3412cos)31)(1(2cos422222244222222baraqraraqraqbaraqraraqrrr （4-18）2022-5-2656弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法齐齐尔尔西西解解答答状状况况根根据据叠叠加加原原理理)194()31)(1(2sin2)31(2cos2)1(2)31)(1(2cos2)1(2)().(. 322224422222222 raraqraqraqraraqraqbaorroooor. 3,33|.|.)2cos21(|).1(090max0 应应力力集集中中系

25、系数数倍倍提提高高了了孔孔边边最最大大应应力力比比无无孔孔时时孔孔边边oarqq2022-5-2657弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法o3qoqoqo3qoqoqo-qo%16. 0625/1%425/1:5.,54)2(4422 raraarqyar时时轴轴上上应应力力就就接接近近于于均均布布在在时时当当孔孔边边应应力力分分布布如如图图简简化化为为)3(2sin2)2cos1(2)2cos1(2:)194(000 rr2022-5-2658弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法q2=q1+221qq 221qq 221qq 221qq 2022-5-2659弹性力学与有限元法弹性力学与有限

26、元法)()(有有圆圆孔孔远远离离边边界界问问题题应应变变任任意意的的平平面面应应力力12.,)(,:2211321问题解决回到上述令总可求出主应力qq2022-5-2660弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法4-10 4-10 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力rrrP图4-12 楔形体的中心角为楔形体的中心角为 ，下端为无限长。，下端为无限长。 设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体的中心线成角的中心线成角 。取单位宽度的部分来考虑，。取单位宽度的部分来考虑，并令单位宽度上所受的力为并令单位宽度上所受的力为P。 楔形体内一点的应力分量决定于楔形体内一点

27、的应力分量决定于 、 、P、r、，因此，应力分量的表达式中只包含因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。其中这几个量。其中 、 、 是无量纲的量，是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取式应取PN/r的形式，其中的形式，其中N是是 、 、 组成组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中出应力函数中r 的幂次应当比各应力分量的的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设：幂次高出两次，因此可设： 2022-5-2661弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法)( rf0)(d)(d2d)(d1

28、22443 fffr)sincos(sincos)sincos(sincos)( DCrBrArDCBAfByAxBrArsincos)sincos( DCr： 0)1(0)sincos(21122222rrrCDrrrrrrr2022-5-2662弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法0)(,0)(2/2/ ara 0sinsind:00coscosd:02/2/2/2/ PrFPrFryrxC、Dr 00)sincossinsincoscos(2rrrrP 2022-5-2663弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法rrr图4-13 M ， MN/r2r。)( 0dd4dd122444 rDC

29、BA 2sin2cos A=D=0,2022-5-2664弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法22222222cos2)1(02sin411rCBrrrrBrrrrrr 0)( ,0)(2/2/ ara cos2BC：22)cos2(cos202sin4rBrBrrr 2022-5-2665弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法Mab，M cossin20d:022/2/MBMrMro 22)cos(sin)cos2(cos0)cos(sin2sin2rMrMrrr 2022-5-2666弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法r图4-14 设楔形体在一面受有均布压力设楔形体在一面受有均布压力q,

30、,如图如图4-144-14。 应力分量应为应力分量应为qN的形式，而应力函数应的形式，而应力函数应为为qNr2的形式：的形式：)(2 fr0d)(d4d)(d122442 ffr)2sin2cos(2DCBAr CBADCBADCBArrr2cos22sin2222sin22cos2222sin22cos22022-5-2667弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法0)(, 0)(0)(,)(00 rrq qqqqqrrr)(tg22sintg)2cos1()(tg2)2sin2()2cos1(tg)(tg2)2sin2()2cos1(tg2022-5-2668弹性力学与有限元法弹性力学与有限元

31、法4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力xyPro 00cos2rrrrP（1） rPrPrPxyyx223cossin2cossin2cos2（2） 。0P 图4-152022-5-2669弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 222222222223)(2)(2)(2yxyxPyxxyPyxxPxyyx 0,cos2,cos2 rrrEPrEP2022-5-2670弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法01cos21cos2 ruruurrEPurrurEPrurrrHIK 0)(0u0, 0 KH cossincos)1 (sin)1 (lnsin2s

32、incossin)1 (lncos2KIHrEPEPrEPuKIEPrEPur（3）2022-5-2671弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 sinsin)1(cos)1(lnsin2cossin)1(lncos2IEPEPrEPuIEPrEPur （4） MMIEPrEPu )1(ln2)(2 POsyxBMr2022-5-2672弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法)1 (ln2)1 (ln2IEPsEPIEPrEP rsEPln2 POsyxBMr图4-16 BsMBM2022-5-2673弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 p0cp21 21pqbbcacra ,000)(1202

33、02020101 cbcbEpc（1）（2）平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答习题课习题课0a0c0b图12022-5-2674弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法)(220202020202 acacEpc（3） )()(2202020202012020202010acacEpccbcbEpc2121,EEE)(2)(20203020202020abcaccbEp )1()(),1()(220202020220202020rbcbpcraacpc 内外pqcbaacrb,0002022-5-2675弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法oyxPrrr)(rf)(f)sincos(sinc

34、os DCBAr ByAxBrArsincos0),sincos(2)sincos( rrCDrDCr（1）（2）（3）（4）图22022-5-2676弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法0)(,0)( arar aaroaaraaryaaaarrxdrMPrdrdFPrdrdF0:00sincossin:00cossincos:02 2sin2cos,2sin2sinPDPC0,)2sin2(sinsin2)2sin2(coscos2 rrrPrPoyxPrr2022-5-2677弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 x mnxPPaM oxymnxyPoxac2（a）（b）图32022-5-2678弹性力学与有限元法弹性力学与有限元法 2cos22sin2cos2cos, 02cos22sin2sin22sin2sin222rParParPrr)(2cos)()(32cos22sin2)(2sin22cossin2sincos22232233223222222yxxyyxxyyxyxPayxyxPrrx 20