方差分析20151017

1、首都医科大学公共卫生学院流行病与卫生统计学系高 琦Tel: 83911497方差分析方差分析回顾假设检验基本思想假设检验基本步骤t 检验单样本t检验配对样本t检验两独立样本t检验2例1 某医生为研究针刺疗法治疗单纯性肥胖的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了60名单纯性肥胖患者，按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床实验。其中电针组20人，单纯毫针组20人，对照组20人。对照组按平时习惯正常饮食，不采用任何减肥方式处理。治疗4周后测得其瘦素的下降值。 3表1 单纯性肥胖患者治疗4周后瘦素的下降值（ng/ml）电针组单纯毫针组对照组8.9212.5510.347.54-3.45-1.20

2、10.6511.346.895.56.842.7610.2410.879.256.47-.691.4011.7215.364.986.78-1.78.9810.1215.344.5610.82-2.361.3410.6412.785.788.47-.661.659.4512.727.7610.12.362.3416.2316.727.486.12.422.2014.5615.734.5611.26-2.452.2016.7810.129.247.93.563.504如果仍然采用两样本t 检验需要三次，每次不犯第一类错误的概率为 （1-0.05）=0.95，当这些检验独立进行时，则每次比较均不犯

3、错误的概率为0.953=0.8574， 相应犯第一类错误的概率为1-0.8574=0.1426，远大于设定的0.05组数越多，随着比较次数的增多，犯第一类错误的总概率将不断增大并趋向于1。比较多组均数不能用t 检验5方差分析Sir Ronald Aylmer FisherBorn: 17 Feb 1890 in London, EnglandDied: 29 July 1962 in Adelaide, AustraliaAnalysis of Variance, ANOVAF检验检验6目的：目的： 推断多个总体均数是否有差别（也可用于两个）方法：方法： 方差分析，即多个样本均数比较的F检验基

4、本思想：基本思想： 分析变异，也就是分解变异。即将数据总的变异分解为处理因素引起的变异和随机误差引起的变异，通过对两者进行比较作出处理因素有无作用的推断。离均差平方和方差分析7方差分析离均差平方和：离均差平方和：SS标准差：标准差：S自由度：自由度： 均方均方( (均方差均方差) )：MSMS = SS/ = N-x描述变异的一种指标描述变异的一种指标8方差分析基本思想根据资料的设计类型，即变异变异的不同来源，将全部观察值总的离均差平方和总的离均差平方和及自由度自由度分解为两个或多个部分，包括随机误差随机误差造成的变异其他因素其他因素造成的变异（一个因素一种变异）通过比较不同来源变异的均方（均

5、方（MS），借助F F分布分布做出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。其他因素其他因素导致的变异“=”或“”随机误差随机误差造成的变异推断多个总体均数是否有差别（也可用于两个）9方差分析前提条件各样本相互独立随机样本，均来自正态分布总体正态性检验D、W或 2 检验各样本总体方差相等，即方差齐性Bartlett 2，Levene检验10完全随机设计的方差分析单因素（单向）方差分析：同质的观察对象，不加任何条件限制，随机的分配到各处理组中去，每组接受一种处理方法只有一个处理因素，多个水平。11表1 单纯性肥胖患者治疗4周后瘦素的下降值（ng/ml）电针组单纯毫针组对照组8.9212.551

6、0.347.54-3.45-1.2010.6511.346.895.56.842.7610.2410.879.256.47-.691.4011.7215.364.986.78-1.78.9810.1215.344.5610.82-2.361.3410.6412.785.788.47-.661.659.4512.727.7610.12.362.3416.2316.727.486.12.422.2014.5615.734.5611.26-2.452.2016.7810.129.247.93.563.50完全随机设计的方差分析12完全随机设计的方差分析针刺法 治疗肥胖电针、单纯毫针、对照单向一个因素

7、三个水平仅横向比较13全部的60个实验数据之间大小不等，存在变异。各个组间存在变异：反映处理因素之间的作用，以及随机误差。各个组内个体间数据不同：反映了观察值的个体差异或随机误差。完全随机设计的方差分析变异总 变 异组间变异组内变异组间变异组间变异总变异总变异组内变异组内变异14表 2 g 个处理组的试验结果 处理分组 测量值 统计量 1 水平 X11 X12 X1j 1nX1 n1 1X S1 2 水平 X21 X22 X2j 2nX2 n2 2X S2 g 水平 Xg1 Xg2 Xgj ggnX ng gX Sg 合计合计 N S :第第i个处理组第个处理组第j个观察结果个观察结果XijX

8、ijX完全随机设计的方差分析公式15记总均数为 ，各处理组均数为 ，总例数为Nnl+n2+ng，g为处理组数。11/ingijijXXN1/iniijijXXn完全随机设计的方差分析16总变异（Total variation）：g个组内共有N个数据，N个数据大小不等。用SS总表示。全部测量值Xij与总均数 间的差别组间变异（ variation between groups ）： g个组的样本均数可能不相等，用SS组间表示。各组的均数 与总均数 间的差异组内变异（ variation within groups )：每组的数据大小不等，用SS组内表示。各组内的所有数据与该组均数 的差异 XiX

9、XiX完全随机设计的方差分析公式172212111,iinnggijijijNiji jijXCSSXXXC总2211,()()ingNijijiji jXXCNN其中：其中：1N总完全随机设计的方差分析公式1821211()()inijjggiiiiiXSSn XXCn组间1g组间完全随机设计的方差分析公式19完全随机设计的方差分析公式Ng组 内211()ingijiijSSXX组内20三种“变异”之间的关系组内组内组间组间总总SSSSSS+=， 且 总 =组间 +组内 组内变异组内变异 SS组内组内： 随机误差随机误差 组间变异组间变异 SS组间组间：处理因素处理因素 + 随机误差随机误差

10、 21完全随机设计的方差分析公式变异程度除与离均差平方和的大小有关外，变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其还与其自由度自由度有关，由于各部分自由度不相等，有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称称为均方差，简称均方均方(mean square，MS)。组。组 间均方和组内均方的计算公式为间均方和组内均方的计算公式为: SSMS组间组间组间 SSMS组内组内组内 22完全随机设计的方差分析统计量如果如果 ，则，则 都

11、为随都为随机误差机误差 的估计，的估计，F值应接近于值应接近于1 1。如果如果 不全相等，不全相等，F值将明显大于值将明显大于1 1。用用F界值（单侧界值）确定界值（单侧界值）确定P P值。值。12, , MSFMS组间组间组内组内12g,MSMS组间组内212,g 23完全随机设计的方差分析统计量.05. 0,;05. 0,),05. 0(),05. 0(),05. 0(PFFPFFF则若则若查表组内组间组内组间组内组间24F F 分布曲线分布曲线10,10215, 1215, 52125方差分析表26 例3 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用

12、完全随机设计方法将患者等分为4组（具体分组方法见例1），进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?27分 组 测量值 统计量 n iX X 2X 安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 3.59 3.13 2.64 2.56 3.50 3.25 30 3.43 102.91 367.85 3.30 4.04 3.53 3.56 3.85 4.07 3.52 3.93 4.19 2.96 1.37 3.93 2.33 2.98 4.00 3.55 2.96 4.3 4.16 2.59 降血脂新药 30 2.72 81.

13、46 233.00 2.4g 组 2.42 3.36 4.32 2.34 2.68 2.95 1.56 3.11 1.81 1.77 1.98 2.63 2.86 2.93 2.17 2.72 2.65 2.22 2.90 2.97 2.36 2.56 2.52 2.27 2.98 3.72 2.80 3.57 4.02 2.31 4.8g 组 2.86 2.28 2.39 2.28 2.48 2.28 3.21 2.23 2.32 2.68 30 2.70 80.94 225.54 2.66 2.32 2.61 3.64 2.58 3.65 2.66 3.68 2.65 3.02 3.48

14、2.42 2.41 2.66 3.29 2.70 3.04 2.81 1.97 1.68 7.2g 组 0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 30 1.97 58.99 132.13 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71 表328完全随机设计的方差分析步骤H0：1234，即4个试验组的总体均数相等 H1：4个试验组的总体均数不全相等 0. 05 按表4- 4中的公式计算各离

15、均差平方和SS、自由度、均方MS和F值。 H0： 即即4个试验组个试验组总体均数总体均数相等相等 H1：4个试验组个试验组总体均数总体均数不全相等不全相等 12340.05计算检验统计量：计算检验统计量：建立检验假设，确定检验水准建立检验假设，确定检验水准:2930 表表4 方差分析表方差分析表变异来源变异来源 自由度自由度 离均差平方和离均差平方和 均方均方 F F0.01误差（组内）误差（组内）116 40.94 0.43 不同处理（组间）不同处理（组间） 3 32.16 10.72 24.93总总 变变 异异 119 82.1完全随机设计的方差分析步骤31完全随机设计的方差分析步骤确定确

16、定P值，做出统计推断值，做出统计推断查表按1 = 3，2 = 116查附表4（F 界值表，方差分析用）得， F0.05（3，116）=2.68F F0.05（3，116）, P0.05,差异有统计学意义。 可以认为4 4个试验组个试验组总体均数总体均数不全相不全相等等 32注意：注意： 方差分析的结果拒绝方差分析的结果拒绝H0，接受，接受H1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较。当个均数间的多重比较。当g=2时，完全随机时，完全随机设计方差分析与成组设计资料的设计方差

17、分析与成组设计资料的t 检验等价，检验等价，有有 。tF33例4 在肾缺血再灌流过程中的作用，将36只雄性大鼠随机等分为3组，给予不同处理后，测得NO数据如下。试问各组NO平均水平是否相同？ 34 表表4 大鼠肾组织液中大鼠肾组织液中NO水平（水平（ca/molL-1）正常对照组 肾缺血60min组 肾缺血60min再灌流组 437.98 322.75 284.04 285.75 464.51 194.90 369.93 322.34 197.53 344.53 282.52 227.57 378.96 278.47 184.42 300.92 348.47 223.17 271.70 354

18、.10 363.43 417.97 302.21 390.38 287.10 269.65 332.68 363.51 322.98 355.99 309.60 288.76 219.72 338.83 386.67 143.17 35 表表3 大鼠肾组织液中大鼠肾组织液中NO水平（水平（ca/molL-1）正常对照组正常对照组 肾缺血肾缺血60min组组 肾缺血肾缺血60min再灌流组再灌流组 合计合计 437.98 322.75 284.04 . . 338.83 386.67 143.17 12 12 12 36 342.23 328.62 259.75 310.20 4106.78 3

19、943.43 3117.00 11167.21 1436935.867 1329275.534 883943.8218 3650155.223X2XnX361. H0 各组大鼠NO含量总体均值相等 H1 各组大鼠NO含量总体均值不等或不全相等 2. 计算统计量F 值：444.345092536/)11146(/22nXC556.185666444.345092536365922CXSS总351361 n总05. 0372131 k组间2224098393731111212123450925.444SS组间389.4673238167.138934389.46732556.185666组间总组内

20、SSSSSS33235组间总组内195.233662/389.46732/组间组间组间SSMS126.421033/167.138934/组内组内组内SSMS550.5126.4210195.23366组内组间MSMSF33, 221组内组间39 表表4 方差分析表方差分析表变异来源变异来源 自由度自由度 离均差平方和离均差平方和 均方均方 F F0.01误差（组内）误差（组内） 33 139157.6290 4216.8978不不 同同 处处 理理 2 46925.9500 23462.9750 5.5640 5.32总总 变变 异异 35 186083.5790 403查表按1 = 2，2

21、 = 33查附表3（F界值表，方差分析用）得，F0.05 (2,33)= 3.29 结论则P 0.05。故按=0.05水准拒绝H0，接受H1，可以认为三组NO总体水平不同。方差分析结果见下表41例例2 2：三种饲料增重效果的比较：三种饲料增重效果的比较 研究者欲比较生物蛋白粉饲料、血浆蛋白粉饲料和普通饲料喂养断奶仔猪的增重效果。影响仔猪生长的因素很多，这些因素的效应与饲料的效应混杂在一起。为了消除和控制其它因素的影响，研究者将断奶仔猪配成若干区组（block），每个区组3只仔猪，并且满足同一区组的仔猪是同窝别、同性别、同日龄、体重最接近，共配成10个区组。然后在每个区组内随机将3只仔猪分配到各

22、实验组。比较喂养10天后各实验组仔猪的平均体重增加量(kg)，结果见表1。 42表2 生物蛋白粉、血浆蛋白粉和普通饲料饲养仔猪增重量（kg）区组号饲料种类普通饲料血浆蛋白生物蛋白 1 2.9 3.6 4.3 2 3.2 4.3 4.1 3 2.4 3.6 3.5 4 4.1 4.4 4.8 5 3.3 4.4 5.1 6 3.8 3.4 3.3 7 3.5 2.5 3.1 8 3.1 4.2 4.2 9 3.7 3.6 3.810 3.3 4.3 4.8此类资料与此类资料与完全随机设完全随机设计的方差分计的方差分析有何不同？析有何不同？43 设立区组的目的是控制混杂因素混杂因素。使混杂因素在各

23、处理水平间达到均衡，提高检验效率。44随机区组设计随机区组（配伍组）设计：将全部受试对象按某种或某些特性分为若干个区组，使每个区组内的观察对象与研究对象的水平尽可能相近，减少了个体间差异对研究结果的影响，比成组设计更容易检验出处理因素间的差别，提高了研究效率。配对资料的扩充。45先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程、动物窝别等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。以影响实验效应的主要非处理因素作为配对或配伍条件。随机区组设计方法46随机分组 随机分组 随机分组 随机分组 预 选 对 象 研 究 对 象 纳入 标准

24、区组 1 区组 2 区组 3 区组 n ? ? ? 按配伍 条件 g 个水平 g 个水平 g 个水平 g 个水平 随机区组设计方法47该类设计考虑了区组差异的影响，因而可分析处理因素和区组差异对实验效应的影响，所以又称两因素实验设计，比完全随机设计的检验效率高。双因素（双向）方差分析（two-way ANOVA）可以考察两个因素的作用。因素一称为处理因素，是试验观察的重点；因素二称为区组因素(个体差异)，是可能对试验效应产生作用的主要非处理因素，检验效率高随机区组设计的方差分析48随机区组设计变异分解nSS总n 总SS组内组内 组内组内MS组内组内SS组间组间 组间组间MS组间组间SS区组间区

25、组间 区组间区组间MS区间组区间组49(1) (1) 总总 变变 异异 ： 所有观察值之间的变异所有观察值之间的变异(2) (2) 处理间变异：处理间变异： 处理因素处理因素随机误差随机误差(3) (3) 区组间变异：区组间变异： 区组因素区组因素随机误差随机误差(4) (4) 误差变异误差变异 ： 随机误差随机误差SSSSSSSS处理区组总误差处理总区组误差随机区组设计变异分解50表3 随机区组设计的试验结果区组编号处理组12 i g1X11X21Xi1Xg12X12X22Xi2Xg2 jX1jX2jXijXgjnX1nX2nXinXgn51各部分变异计算方法)(ginjiji1nSX)XS

26、S2211总总总总=N-1522g1iiXXnSS）处理处理(1g处理处理2n1jjXXgSS ）（区区组组1n区区组组SS误差=SS总-SS处理-SS区组 误差=（g-1）(n-1)53为了消除样本量，区组数和处理数的影响，将上述离均差平方和除以相应的自由度，得到下列均方1gSS 处理处理处理处理MS1nSSMS 区组区组区组区组1)-1)(g(nSSMS 误差误差误差误差54变异来源变异来源平方和平方和SSSS总总自由度自由度均方均方MSMSF F值值总变异总变异N-1N-1处理组间处理组间变异变异g-1g-1MS处理处理=SS处理处理/（g-1） MS处理处理/MS误差误差区组间变区组间

27、变异异n-1n-1MS区组区组=SS区组区组/（n-1） MS区组区组/MS误差误差组内变异组内变异SSSS误差误差=SS=SS总总-SS-SS处理处理(g-1)(n-1)(g-1)(n-1)MS误差误差=SS误差误差/(g-1)(n-1)()(ginjij总i1nSXXSS22112g1iiXXnSS）(处理2n1jjXXgSS）（区组随机区组设计的方差分析表55随机区组设计的方差分析公式56 例例2 某厂10名氟作业工人24小时内不同时间尿氟排出如表6-6。试分析氟作业工人在工前、工中 (上班第4小时) 和工后 (下班后第4小时) 的尿氟排出量 (ml/L) 的差别有无统计学意义? 57

28、表4 10名氟作业工尿氟排出量 (ml/L)工人编号 工前 工中 工后 1 1.72 2.70 1.66 2 1.68 3.16 1.26 3 1.42 3.21 1.30 4 2.35 2.17 3.00 5 1.95 2.75 3.72 6 0.87 2.39 1.23 7 1.41 2.63 3.85 8 2.03 2.40 1.93 9 1.67 2.30 2.07 10 1.14 1.47 1.14 58表表4 104 10名氟作业工作尿氟排出量名氟作业工作尿氟排出量 (ml/L)(ml/L) 工人编号 工前 工中 工后 合计 1 1.72 2.70 1.66 6.08 2 1.68

29、 3.16 1.26 6.10 3 1.42 3.21 1.30 5.93 4 2.35 2.17 3.00 7.52 5 1.95 2.75 3.72 8.42 6 0.87 2.39 1.23 4.49 7 1.41 2.63 3.85 7.89 8 2.03 2.40 1.93 6.36 9 1.67 2.30 2.07 6.04 10 1.14 1.47 1.14 3.75( X) 16.24 25.18 21.16 62.58( ) 1.62 2.52 2.12 2.086( X2) 28.08 65.69 54.52 148.29XkiXij1591. H0：不同时间的尿氟排出量的

30、均数相同。 H1：不同时间的尿氟排出量的均数不全相同。 2. 计算 F 值75.1754.13029.1483058.6229.1482总SS05. 054.1303058.622c60(.)(.)(.)16242518211610222130.54 = 134.55130.544.01130.54 = 6.19 SS处理 = SS区组 =( .)( .)( .)( .)60861060437532222SS误差 = SS总SS处理SS区组 = 17.754.016.19 = 7.55 61MS处理处理 =4.01/2=2.005MS区组区组 =6.19/9=0.688MS误差误差=7.55/

31、18=0.419785. 4419. 0/005. 21F642. 1419. 0/688. 02F623. 查表 F 0.05(2,18) = 3.55 F 0.01(2,18) = 6.01 F 0.05(9,18) = 2.46 F 0.01(9,18) = 3.604. 结论结论 可见处理组间的变异有统计学意义，而区组间可见处理组间的变异有统计学意义，而区组间的变异无统计学意义的变异无统计学意义表表5 区组设计方差分析表区组设计方差分析表63完全随机设计完全随机设计方差分析表方差分析表可见处理组间的变异有统计学意义可见处理组间的变异有统计学意义。当区组间差异无统计学意义时当区组间差异无

32、统计学意义时, ,可采用完全随机设计的可采用完全随机设计的方差分析方差分析。64多个组间多重比较当方差分析的推断结果为拒绝H0，接受H1 ，各总体均数不等或不全相等时，尚不能认为各总体均数间均不相等，需进一步作多个样本均数间的两两比较，也称多重比较（multiple comparisons）。多重比较的方法有多种:Student-Newman-Keuls检验、Dunnett-t法、Bonferroni法65多个组间多重比较在研究设计阶段未预先未预先考虑或预料到，经假设检验得出多个总体均数不全等的提示后才决定的多个均数的两两事后比较。往往涉及到每两个均数的比较。可采用SNK（Students-N

33、ewman-Keuls)法、bonfferoni t 检验在设计阶段就根据研究目的或专业知识而计划好的某些均数间某些均数间的两两比较。常用于事先有明确假设的证实性研究，如多个处理组与对照组的比较。可采用Dunnett-t检验、LSD- t检验，也可用bonfferoni t 检验66Student-Newman-Keuls检验多样本均数两两比较误差67SNK 检验686970SNK法两两比较71SNK法两两比较72SNK法两两比较（2）计算各对比组均数差值及均数差值标准误。（3）计算统计量 q 。（5）确定组数 a。组数 a是指两对比组间所包含的组数（包括两对比组本身）。（6）查 q界值。以组

34、数a和自由度v组内（或v误差 ）查附 q界值表。73SNK法两两比较四组家兔血清四组家兔血清ACE均数的两两比较（均数的两两比较（q检验）检验）7475注意：q检验与t检验的差别t检验的误差是单纯的两组合并误差；q检验基于多组共有的误差均方。t检验界值仅与自由度有关;q检验界值除自由度外，还与组数a有关，均数的秩次差别愈大则界值愈大。76Dunnett t 法误差Dunnett- t界值表77Bonferroni法= /mm 为两两比较的次数t 界值表误差78析因设计（析因设计（factorial design）ANOVAl析因设计析因设计(factorial design)是将多个因素的是将

35、多个因素的各个水平进行排列组合，在每一种可能的各个水平进行排列组合，在每一种可能的水平组合下进行试验，以探讨各因素的效水平组合下进行试验，以探讨各因素的效应以及各因素之间的交互效应，而且通过应以及各因素之间的交互效应，而且通过比较各种组合效应，找出最佳组合。比较各种组合效应，找出最佳组合。79析因设计析因设计1. 1. 两个或以上两个或以上处理因素因素 的各处理水平水平间的均数有无差异？即主效应主效应有无统计学意义？2. 2. 两个或以上两个或以上处理因素因素之间有无交互作用交互作用？80因素与水平一个养蟹户要遇到许多影响生产的因素或因子，比如水温如何控制，饲料如何选择，如何防治病害，以及水质

36、如何掌握等各种问题。要想得到稳定的高产，就要达到各种因素的不同水平（level）的组合试验。这里的“水平”就是一个因素可能取的值。饲料这个因素，每个水平就是一种饲料；如果有三种饲料，该因素就有三个水平81 析因设计的实例析因设计的实例82甲甲药药用用不不用用用用6 64 45 56 67 78 84 44 48 80 04 42 2不不用用2 28 81 16 63 31 12 25 52 23 31 18 8 缓缓解解程程度度化化疗疗期期化化疗疗间间隙隙完完全全缓缓解解4 46 6 5 51 1 4 41 15 56 6 3 36 6 4 46 63 32 2 4 45 5 5 52 24

37、47 7 6 63 3 5 56 64 41 1 3 34 4 5 54 4 3 39 9 未未缓缓解解3 39 9 2 28 8 2 26 65 53 3 5 58 8 6 66 63 33 3 3 31 1 3 35 55 51 1 5 57 7 6 64 43 37 7 5 50 0 4 45 5 4 45 5 时时期期83 种种别别A A体体重重（g g）雄雄性性雌雌性性昆昆明明种种2 24 42 25 50 0. .7 70 06 69 90 0. .1 18 88 85 50 0. .7 78 85 54 40 0. .3 34 40 03 30 0. .3 35 58 81 10

38、 0. .2 25 50 03 31 13 31 15 51 1. .0 08 83 38 80 0. .9 95 55 50 00 0. .9 94 42 25 50 0. .9 92 21 15 50 0. .3 33 33 35 50 0. .8 85 51 14 4泸泸白白种种2 24 42 25 50 0. .0 06 62 28 80 0. .4 47 71 12 20 0. .0 09 94 42 20 0. .0 08 88 80 00 0. .0 04 47 71 10 0. .1 17 75 59 91 13 31 15 50 0. .0 01 12 26 60 0. .2

39、 25 51 13 30 0. .0 00 09 94 40 0. .3 36 67 76 60 0. .0 01 12 25 50 0. .1 13 32 27 7性性别别84 配配伍伍组组编编号号日日注注射射量量A AB B1 1（少少）B B2 2（多多）1 1A A1 13 33 3. .6 63 33 3. .0 02 23 37 7. .1 13 30 0. .5 53 33 34 4. .1 13 33 3. .3 34 43 34 4. .6 63 34 4. .4 41 1A A2 23 33 3. .0 02 28 8. .5 52 22 29 9. .5 53 31 1.

40、 .8 83 32 29 9. .2 22 29 9. .9 94 43 30 0. .7 72 28 8. .3 31 1A A3 33 31 1. .4 43 30 0. .7 72 22 28 8. .3 32 28 8. .2 23 32 28 8. .9 92 28 8. .4 44 42 28 8. .6 63 30 0. .6 6注注射射次次数数B B85析因设计 是将两个或多个实验因素的各水平进行全面组合的实验，能够分析各实验因素的单独效应（simple effect）、主效应（main effect）和因素间的交互效应（interaction）。86(1) 总变异：总变异：

41、(2) 处理因素处理因素A的变异：的变异：(3) 处理因素处理因素B的变异：的变异：(4) A与与B交互作用的变异：交互作用的变异：(5) 误差变异：误差变异： 变异分解变异分解87 BABSSSSSSSSSSSSSS处理总误差A误差变异和自由度分解变异和自由度分解BABA总误差88变异来源 自由度 SS MS F P 总变异 1gn 2XC A主效应 1I 21AiSSACnJ AMS AAEMSFMS B主效应 1J 21BiSSBCnI BMS BBEMSFMS AB (1)(1)IJ 21ABiABSSTCSSSSn ABMS ABABEMSFMS 误差 (1)g n 221EiSSX

42、Tn EMS 表6-9 两因素析因设计方差分析表 89例 研究者欲研究煤焦油（因素A）以及作用时间（因素B）对细胞毒性的作用，煤焦油含量分为3ug/ml(a1)和75ug/ml(a2)两个水平，作用时间分别为6小时（b1）和8小时(b2)。将统一制备的16盒已培养好的细胞随机分为四组，分别接受A、B不同组合情况下的四种处理（a1b1、a1b2、a2b1、a2b2）,测得处理液吸光度的值（%）,结果如表1。试对该资料进行分析。90煤焦油（3ug/ml）a1煤焦油（75ug/ml）a2合计时间（6h）b1时间（8h）b2时间（6h）b1时间（8h）b2Xijm0.1630.1270.1240.10

43、10.1990.1680.1510.1920.1840.1520.1270.0790.1980.1500.1010.086nij4444N=16Xij0.1860.1490.1260.115X=0.144Sxj20.00030.00030.00040.00280.001591单独效应其他因素水平固定时，同一因素不同水平的效应差。B因素A因素平均a1-a23ug/ml （ a1 ）75ug/ml （ a2 ）6h（b1）0.1860.1260.1568h（b2）0.1490.1150.132平均0.1680.1200.1440.047b1- b20.0240.0600.0340.0370.011

44、92B因素A因素平均a1-a23ug/ml （ a1 ）75ug/ml （ a2 ）6h（b1）0.1860.1260.1560.0608h（b2）0.1490.1150.1320.034平均0.1680.1200.144b1- b20.0370.011 主效应某一因素单独效应的平均值0.0470.02493交互效应如果一个处理因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅度超出抽样误差可解释的程度，则称两个因素间存在交互效应或交互作用。B因素A因素平均a1-a23ug/ml （ a1 ）75ug/ml （ a2 ）6h（b1）0.1860.1260.1560.0608h（b2）0

45、.1490.1150.1320.034平均0.1680.1200.1440.047b1- b20.0370.0110.02494AB交互效应=BA交互效应 =1/2（a1时B的单独效应-a2时B的单独效应） =1/2（b1时A的单独效应-b2时A的单独效应） =1/2（0.037-0.011） =1/2（0.060-0.034）951）若两线近乎平行，提示无交互效应；反之，两线相交的锐角越大，交互效应越强962）若两线近乎水平，提示B因素的两水平相差不显著；反之，相差显著。973）若两线近乎重合，提示A因素的两个水平相差不显著；反之，相差显著。98析因设计的特点析因设计的特点因素之间在专业上地

46、位平等因素之间在专业上地位平等 。观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、等观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、等方差的方差的ANOVAANOVA条件）条件）做实验时，每次都涉及到全部因素，即因素做实验时，每次都涉及到全部因素，即因素是同时施加的；是同时施加的； 在每个实验条件下至少要做在每个实验条件下至少要做2 2次独立重复实次独立重复实验；验； 因素的交互作用比较复杂且必须考虑；因素的交互作用比较复杂且必须考虑； 实验中涉及到实验中涉及到2-42-4个实验因素；个实验因素； 99优点：可以用来分析全部主效应和因素之优点：可以用来分析全部主效应和因素之间的各级交互作用的大小；间的各级

47、交互作用的大小； 析因设计的优点和缺点析因设计的优点和缺点 缺点：所需要的实验次数很多，研究者常缺点：所需要的实验次数很多，研究者常无法承受。无法承受。 100例1 为了研究药物治疗附加磁场对人体内磁性物质分布的影响，安排两个药物组：实验组为“丝裂霉素+高分子物质+磁性物质+磁场”，对照组为“丝裂霉素+高分子物质+磁性物质”。每组分别于给药后15分钟和60分钟处死实验小鼠，检测小鼠肝脏组织的磁性物质浓度，即铁浓度（mg/g)。采用2*2析因设计，一个因素为药物，有两个水平，即实验组（A1）和对照组（A2）；另一个因素为给药时间，亦有两个水平，即15分钟（B1）和60分钟（B2）。两个因素有4种

48、组合，每种组合重复例数为6。将24只小鼠随机分配到4个组合组，实验结果见表，试分析之。101实验组（A1）对照组（A2）15min（B1）60min(B2)15min(B1)60min(B2)0.5541.0150.3370.5030.5501.0050.2760.6120.5781.0710.3130.5930.7061.1060.3870.6040.6861.1550.4310.6400.6511.1450.3620.560表18-1 小鼠肝脏组织的铁浓度(mg/g)检测结果102A1A2合计B13.725（0.621）2.106（0.351）5.831（0.486）B26.497（1.0

49、83）3.512（0.585）10.009（0.834）合计10.222（0.852） 5.618（0.468）15.840（0.660）表2 例1资料各因素和水平之和的合计和均数103检验假设：分为主效应和交互效应的检验假设对于因素A H0：磁场对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度无影响 H1：磁场对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度有影响对于因素B H0: 给药时间对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度无影响 H1: 给药时间对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度有影响对于交互作用AB H0: 因素A和B无交互作用 H1: 因素A和B有交互作用 104计算统计量变异的分解总变异 231N7590. 124/840.15213

50、4.12SS2134.12X840.15X)(1,)(T2T2222，由原始数据求得NXCNCXXXSSTijijT105处理因素的变异688316600585066600083166600351066600621062222.).().().().(njij2iji)X-X(ss处处理理88320MS112XXSSAA.).().()(n. ii. iA883206600468012660085201222272730MS112XXSSB.).().()(nBjj .j .B7273066008340126600486012222A因素的变异B因素的变异106AB交互效应的变异 SSA*B=

51、SS处理-SSA-SSB0778007780727308832068831.*.B*AB*AB*ABAMS111SS107误差项的变异 SSE=SST-SSA-SSB-SSA*B =1.7590-0.8832-0.7273-0.0778 =0.0707 0035. 020/0707. 0/2011123*EEEBABATESSMS108统计量FFA=MSA/MSE=0.8832/0.0035=252.34FB=MSB/MSE=0.7273/0.0035=207.80FA*B=MSA*B/MSE=0.0707/0.0035=22.23109表3 例1的方差分析表变异来源SSdfMSFPA0.88

52、3210.8832252.340.01B0.727310.7273207.800.01A*B0.077810.077822.231.0 时 ， 取=1.0。 122调整规则对 具 有 重 复 测 定 性 质 的对 具 有 重 复 测 定 性 质 的时 间时 间效 应效 应 和和处 理处 理*时 间时 间的 交 互 作 用的 交 互 作 用 的的F 值 的 自 由 度 进 行 调 整 。值 的 自 由 度 进 行 调 整 。 即即11,22。 其 中。 其 中 为为 或或。 由由21,aF确 定 调 整 的确 定 调 整 的F 临 界 值 。临 界 值 。 调 整 后 的调 整 后 的F 临 界

53、 值 较 原 先 大 ， 提 高 了 拒 绝临 界 值 较 原 先 大 ， 提 高 了 拒 绝 H0的 门 槛 。 减 少 了 犯的 门 槛 。 减 少 了 犯I 类 错 误 的 概 率 。类 错 误 的 概 率 。 123表表 4 某 药 两 种 不 同 剂 型 在 血 中 的 浓 度 （某 药 两 种 不 同 剂 型 在 血 中 的 浓 度 （mlg /） 剂 型剂 型 受 试 者受 试 者 服 药 后 测 定 时 间 （服 药 后 测 定 时 间 （ j） (i) k 1(1h) 2(2h) 3(4h) 4(6h) 5(8h) Ti k 1 9.73 54.61 55.91 46.81 47.56 214.62 2 5.50 50.87 79.90 62.37 55.03 253.67 3 7.96 23.43 64.10 56.00 45.15 196.64 4 2.37 18.65 73.10 76.05 60.80 230.97 5 2.37 55.24 93.35 65.47 62.37 278.80 6 6.50 32.08 73.45 76.27 60.23 248.53 7 8.34 132.1 102.0 97.83 92.83 433.10 胶胶 囊囊