第五章非平稳时间序列模型教材

1、第五章第五章 非平稳时间序列模型非平稳时间序列模型5.15.1 ARIMAARIMA模型模型5.2 5.2 季节模型季节模型 5.35.3 残差自回归模型残差自回归模型 5.45.4 条件异方差模型条件异方差模型引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和预测方法，即所讨论的时间序列都建模和预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均均值和方差值和方差都是常数，并且它的都是常数，并且它的协方差有时协方差有时间上间上的不变性。的不变性。 但是许多经济领域产生的时间序列都是但是许多经济领域产生的时间序列都是非

2、平稳的，非平稳时间序列会出现各种情非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情形，如它们具有非常数的均值形，如它们具有非常数的均值t，或非常，或非常数的二阶矩，如非常数方差数的二阶矩，如非常数方差t2，或同时具，或同时具有这两种情形的非平稳序列。有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性长期趋势、季节性变化变化)例例1 1美国美国1961年年1月至月至1985年年12月月1619岁女性失业人数的月度序列如图所示：岁女性失业人数的月度序列如图所示：显然，均显然，均值水平是值水平是随时间改随时间改变的变的. .美国美国1871年至年至1979年的年度烟草生产年的年度烟草生产量序列如图所示：量序列如图所示

3、：均值水平均值水平是随时间是随时间改变的，改变的，同时方差同时方差也随均值也随均值水平的增水平的增长而增长长而增长. .某地某地1987年至年至1996年某商品月销售量年某商品月销售量序列如图所示：序列如图所示：该序列的该序列的季节特征季节特征是明显的，是明显的，季节周期季节周期为为12. . 非平稳过程非平稳过程 ARIMAARIMA模型模型5.1 5.1 ARIMAARIMA模型模型 ARIMAARIMA模型的建立模型的建立 疏系数模型疏系数模型 非平稳性的检验非平稳性的检验一一 非平稳过程非平稳过程（一）平稳过程与非平稳过程的差异（一）平稳过程与非平稳过程的差异1、从统计属性看、从统计属

4、性看平稳时间序列具有如下特性：平稳时间序列具有如下特性：（1）具有常定均值，序列围绕在均值周围）具有常定均值，序列围绕在均值周围波动；波动；（2）方差和自协方差具有时间不变性；）方差和自协方差具有时间不变性；（3）理论上，序列自相关函数随滞后阶数）理论上，序列自相关函数随滞后阶数的增加而衰减的增加而衰减. .非平稳时间序列不具有上述特性：非平稳时间序列不具有上述特性：（1）或者不具有常定的长期均值；）或者不具有常定的长期均值；（2）或者方差和自协方差不具有时间不变）或者方差和自协方差不具有时间不变 性；性；（3）理论上，序列自相关函数不随滞后阶）理论上，序列自相关函数不随滞后阶数的增加而衰减数

5、的增加而衰减. .考虑如下例子：考虑如下例子：当1时，序列ty平稳 如 果1， 则 序 列 的 方 差 为 ： )()()(121ttttttyVaryVaryVar2121)(tVartt当t时，序列的方差趋于无穷大，说明序列是非平稳的 ), 0(,0201WNyyytttt2、从图像特征看、从图像特征看（1）平稳过程的时序图没有明显的趋势性）平稳过程的时序图没有明显的趋势性与周期性：与周期性：序列的振动是短暂的序列的振动是短暂的，经过一，经过一段时间以后，段时间以后，振动的影响会消失振动的影响会消失，序列将，序列将会回到其长期均值水平；在不同时刻或时会回到其长期均值水平；在不同时刻或时段，

6、序列偏离均值的程度基本相同段，序列偏离均值的程度基本相同. .非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期性性. . - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 ), 0(,)(2WNyattt - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 - 4 - 2 0 2 4 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 ), 0(,7 . 0)(21WNyybtttt), 0(,

7、)(21WNyyctttt（2）平稳过程的）平稳过程的ACF与与PACF呈指数（或呈指数（或阻尼正弦波）衰减或截尾阻尼正弦波）衰减或截尾. .非平稳过程的非平稳过程的ACF一般呈线性缓慢衰减，一般呈线性缓慢衰减，PACF一般呈截尾一般呈截尾. .3、 从建模要求看从建模要求看平稳序列具有许多优良性质，一般可满足平稳序列具有许多优良性质，一般可满足建模的各种要求，建模的各种要求， 诸如参数估计、模型检诸如参数估计、模型检验等，传统方法均能获得良好效果验等，传统方法均能获得良好效果. .非平稳序列，因不满足若干统计分析方法非平稳序列，因不满足若干统计分析方法的基本假定，传统方法不再适用的基本假定，

8、传统方法不再适用. .（二）（二） 均值非平稳过程均值非平稳过程1、均值非平稳的表现、均值非平稳的表现（1）均值非平稳是指序列均值随时间的变）均值非平稳是指序列均值随时间的变化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈现某种时间趋势现某种时间趋势. .（2）时间趋势依其内在属性，分为确定性）时间趋势依其内在属性，分为确定性时间趋势和随机性时间趋势时间趋势和随机性时间趋势. .（3）对均值非平稳进行分析的首要工作是：）对均值非平稳进行分析的首要工作是：由单个样本实现来构造均值函数，以刻画相由单个样本实现来构造均值函数，以刻画相应的时间依赖现象应的时间依赖现象. .

9、 2、均值非平稳过程的描述、均值非平稳过程的描述（1）确定性趋势模型）确定性趋势模型刻画确定性时刻画确定性时间趋势间趋势（2）随机趋势模型）随机趋势模型刻画随机性时间刻画随机性时间趋势趋势 确定性趋势模型确定性趋势模型 当非平稳过程均值函数可由一个当非平稳过程均值函数可由一个特定的时间趋势表示时，一个标准特定的时间趋势表示时，一个标准的回归模型曲线可用来描述这种现的回归模型曲线可用来描述这种现象。象。 思路思路 将非平稳过程的均值函数用一个时间的将非平稳过程的均值函数用一个时间的确定性函数来描述确定性函数来描述. . 模型表达式模型表达式02( )(1)( )( ),(0,)( )kjtttj

10、tjiidtatZtB aBBaWNB其中， 为平稳过程.数字特征数字特征0( )( )( ) ()0()().tttkjtttjjjEEB aB E aE ZEt 因为所以此时 系数恒定不变因此，称均值的这种趋势为确定性趋势因此，称均值的这种趋势为确定性趋势. . 为平稳过程为平稳过程 的方差。的方差。 综上，具有确定性趋势的其均值为确定综上，具有确定性趋势的其均值为确定性函数，方差为常数性函数，方差为常数. .为平稳过程的方差。为平稳过程的方差。2)()(ttttVarVarVarZ2tt.,:,1010模型来描述前面介绍的可以用程是一个零均值的平稳过其中趋势模型表示如下则原序列可用确定的

11、有服从线性趋势若均值例如ARMAyytxtttttttttyttxtt22102210:,原序列可用下式表示对二次均值函数 此外，均值函数还可能是指数此外，均值函数还可能是指数函数、正弦函数、正弦余弦波函数等，这些余弦波函数等，这些模型都可以通过标准的回归分析处模型都可以通过标准的回归分析处理。处理方法是先拟合出理。处理方法是先拟合出t的具体的具体形式，然后对残差序列形式，然后对残差序列yt=xt t按平稳过程进行分析和建模按平稳过程进行分析和建模。 趋势平稳过程趋势平稳过程若一均值非平稳过程可由模型（若一均值非平稳过程可由模型（1）刻画，）刻画，则称此过程为则称此过程为趋势趋势平稳过程平稳过

12、程. . 趋势趋势平稳过程由确定性时间趋势所主平稳过程由确定性时间趋势所主 导；导； 对于趋势对于趋势平稳过程，应选用退势的方平稳过程，应选用退势的方法获得平稳过程；法获得平稳过程； 趋势趋势平稳过程的差分过程是过度差分平稳过程的差分过程是过度差分过程过程；对于趋势对于趋势平稳过程，随机冲击只具平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的；暂时的；（旋转）（旋转）对于趋势对于趋势平稳过程，只要正确估计平稳过程，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波

13、动部分的分离势与平稳波动部分的分离。随机趋势模型随机趋势模型 随机趋势模型又称齐次非平随机趋势模型又称齐次非平ARMA模型。为理解齐次非平稳模型。为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对模型，可先对ARMA模型的模型的性质作一回顾。性质作一回顾。.1)(1)(:)()(:),(221221为白噪声序列其中模型如下假设有一个tqqpttaBBBBBBBBaBxBqpARMA.,0)(.0)(:,就是非平稳的么那的根不都在单位圆外如果根都在单位圆外的则必须有为满足平稳性txBBttddaBxBBBBBdB)()1)(:)1)()(:,0)(于是原模型可写为则可令而其它根都在单位圆外个根落在单位圆上恰有

14、现假设.)()()(:,)1 (.,运算后可变为平稳序列差分次程经过若干次可见一个齐次非平稳过则令称为齐次性的阶为齐次非平稳过程这时我们就称daBwBxBwdxtttdtt 可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的非平稳序列，即齐次非平稳序列。 思路思路从从ARMA 模型的参数不满足平稳性条模型的参数不满足平稳性条件入手件入手. .例例2 对于过程对于过程从其参数的不同取值范围讨论过程的属性从其参数的不同取值范围讨论过程的属性. .1.ttttZZaa为一白噪声过程 齐次非齐次非平稳过程（差分平稳过程）平稳过程（差分平稳过程） 通过一次或多次差分即可转化为平稳过程通过一次或多次差分即可转化为平稳过

15、程的序列，差分次数即为齐次的阶数的序列，差分次数即为齐次的阶数. .例例3 考察过程考察过程有漂移项的随机游走过程有漂移项的随机游走过程. .（随机游走）（随机游走）0100.ttttZZaa ， 为一白噪声过程（1） 对过程进行一阶差分后，为平稳序列对过程进行一阶差分后，为平稳序列称该过程为差分平稳过程；称该过程为差分平稳过程；（2）辅助方程辅助方程 ，令，令 ，得，得 ，有一单位根，该过程又称为单位根过，有一单位根，该过程又称为单位根过程程 . .（3）对对 不断向后迭代，可得不断向后迭代，可得( )1BB ( )0B1B tZ0102,()ttjjtttatZtaEZtDZttDZ 时，

16、2,cov,0k tktkaZZtkk（4）自相关函数自相关函数,k ttktktt tk20406080100400450500550600650700750800-80-60-40-20020100200300400500600700800随机趋势非平稳序列随机趋势非平稳序列 对于对于差分平稳过程，每个随机冲击都具差分平稳过程，每个随机冲击都具有长记忆性，方差趋于无穷，从而其均值有长记忆性，方差趋于无穷，从而其均值毫无意义毫无意义. . 服从趋势平稳的时间序列与服从差分平服从趋势平稳的时间序列与服从差分平稳的时间序列在图形上非常相似稳的时间序列在图形上非常相似. . 区分趋势平稳与差分平稳

17、的主要方法区分趋势平稳与差分平稳的主要方法单单位根检验法位根检验法. . - 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 00.70ttZtaZ - 2 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 100.70tttZZaZ051015202551015202530354045506080100120140160180400450500550600650700750800退势平稳序列退势平稳序列差分平稳序列差分平稳序列7.07.58

18、.08.59.09.510.05560657075808590Ln(Income)对数的中国国民收入序列，近似于随机趋对数的中国国民收入序列，近似于随机趋势非平稳序列和退势平稳序列势非平稳序列和退势平稳序列. 4681012145055606570758085909500Y中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳序列序列 . 平稳化方法 确定性趋势的消除，可采取退势方法获得平稳过程。 对于非确定趋势，由于它是一个慢慢的向上或向下漂移的过程，要判断这种序列的趋势是随机性还是确定性的十分困难，采取差分消除趋势，效果很好。（回忆查分运算、解释平稳化原因）二、二、 非平

19、稳性的检验非平稳性的检验（一）、通过时间序列的趋势图来判断（二）、通过自相关函数(ACF)判断（三）、单位根检验（一）通过时间序列的趋势图来判断（一）通过时间序列的趋势图来判断 这种方法通过观察时间序列的趋势图来判这种方法通过观察时间序列的趋势图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。断时间序列是否存在趋势性或周期性。 优点：简便、直观。对于那些明显为非平优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。稳的时间序列，可以采用这种方法。 缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。易用这种方法判断出来。（二）通过自相关函数（二）

20、通过自相关函数(ACF)判断判断 平稳时间序列的自相关函数平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性来判断时间序列是否为平稳序列。特性来判断时间序列是否为平稳序列。 若时间序列具有上升或下降的趋势若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对，那么对于所有短期的滞后来说，自相关系数大且为于所有短期的滞后来说，自相关系数大且为正，而且随着时滞正，而且随着时滞k的增加而缓慢地下降的增加而缓慢地下降。（三）单位根检验（三）单位根检验(Unit root test)单位根检验单位根检验 定义定义通过检验特征根是在单位圆

21、内还是通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外），来检验序列的平单位圆上（外），来检验序列的平稳性稳性 方法方法DF检验检验ADF检验检验PP检验检验DF检验DF检验是检验是Dickey和和Fuller（1976）提出的单位根检）提出的单位根检验方法。验方法。DF检验有三种形式检验有三种形式：1、2、3、), 0(WN,21ttttyy), 0(WN,21ttttyy), 0(WN,21ttttyty第一种形式第一种形式 或或 原假设相当于认为序列有一个单位根，备原假设相当于认为序列有一个单位根，备则假设认为序列是一个平稳的一阶自回归则假设认为序列是一个平稳的一阶自回归序列。序列。), 0(

22、WN,21ttttyy1:, 1:10HH0:,0:10HH), 0(WN,21ttttyy第二种形式第二种形式 或或 原假设相当于认为序列是一随机游走序列原假设相当于认为序列是一随机游走序列，而备则假设认为序列是一个带有漂移项，而备则假设认为序列是一个带有漂移项平稳序列。平稳序列。0, 1:,0, 1:10HH), 0(WN,21ttttyy), 0(WN,21ttttyy0,0:,0,0:10HH第三种形式第三种形式 或或 原假设相当于认为序列是一个带有漂移项原假设相当于认为序列是一个带有漂移项的随机游走序列，而备则假设认为序列是的随机游走序列，而备则假设认为序列是一个退势平稳序列。一个退

23、势平稳序列。0, 1:,0, 1:10HH), 0(WN,21ttttyy0,0:,0,0:10HH), 0(WN,21ttttytyADF检验ADF检验亦称增广（检验亦称增广（Augmented）DF检验，检验，是是Dickey和和Fuller提出的改进提出的改进DF检验方法。检验方法。DF检验有三种形式检验有三种形式：1、2、3、), 0(WN,2111ttpjjtjttyyy), 0(WN,2111ttpjjtjttyyy), 0(WN,2111ttpjjtjttyyty关于ADF（DF）检验的两点说明1、当被检验序列接近含有单位根但实为平稳、当被检验序列接近含有单位根但实为平稳过程时，

24、在有限样本，特别是小样本条件过程时，在有限样本，特别是小样本条件下的单位根检验结果容易接受原假设，识下的单位根检验结果容易接受原假设，识别为单位根过程，即检验功效降低。别为单位根过程，即检验功效降低。2、应当注意，当被检验过程含有未发现的突、应当注意，当被检验过程含有未发现的突变点时，常导致单位根检验易于接受原假变点时，常导致单位根检验易于接受原假设。设。三三 ARIMAARIMA模型模型（一）一般（一）一般ARIMAARIMA模型模型1、使用场合、使用场合 差分平稳序列拟合差分平稳序列拟合2、模型结构、模型结构2( )(1)( )()0(),()0,0,dptqtttatsstBBZB aE

25、 aVar aE a astEZ ast ， 在ARIMA(p,d q)模型中，若p=0，则该模型也称为求和阶数为(d,q)的滑动平均模型，简记为IMA(d,q)；若q=0，则该模型也称为求和阶数为(p,d)的自回归模型，简记为ARI(p,d)。 在ARIMA(p,d,q)模型的一般形式中，还包含了一个0项，它在当d=0和d0时所起的作用是非常不同的。 当d=0时，原过程是平稳的 当d1时， 0被称为确定趋势项。 在一般的讨论中，常将0项略去。3、ARIMA模型的性质模型的性质平稳性：平稳性：ARIMA(p,d,q)模型共有模型共有p+d个自回个自回归辅助方程的根，其中归辅助方程的根，其中p个

26、在单位圆外，个在单位圆外，d个在单位圆上个在单位圆上. .所以当所以当 时时ARIMA(p,d,q)模型非平稳模型非平稳. .0dARIMA模型的方差齐性 时，原序列方差非齐性 1阶差分后，差分后序列方差齐性0d2110)()()0 , 1 , 0(txVarxVarARIMAttt模型2)()()0 , 1 , 0(ttVarxVarARIMA模型（二）特殊（二）特殊ARIMAARIMA模型模型1、 ARIMA(0,1,1)模型模型3、 ARIMA (1,1,1)模型模型2、 ARIMA (1,1,0)模型模型4、 ARIMA (0,1,0)模型模型（三）（三） 单整序列单整序列 如果一个时

27、间序列经过一次差分变成平稳如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整（的，就称原序列是一阶单整（integrated of 1）序列，记为序列，记为I(1) ； 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分次差分后变成平稳序列，则称原序列是后变成平稳序列，则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列，记为）序列，记为I(d)； I(0)代表一平稳时间序列；代表一平稳时间序列； 无论经过多少次差分，都不能变为平稳无论经过多少次差分，都不能变为平稳的时间序列的时间序列. 称为非单整的（称为非单整的（non-integrated）；）； I

28、(0)过程与过程与I(1)过程的特性有本质差别过程的特性有本质差别.四四 ARIMA ARIMA 模型的建立模型的建立 ARIMAARIMA模型的建立模型的建立 判断序列的非平稳性；判断序列的非平稳性； 识别差分阶数；识别差分阶数； 对差分序列对差分序列建立建立ARMA ARMA 模型；模型； 对原序列建立对原序列建立ARIMA ARIMA 模型模型. .ARIMA模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型差分阶数的判定差分阶数的判定 数据背景数据背景 数据图数据图 ACFACF、PACFPA

29、CF识别法识别法 差分序列的平稳性检验法差分序列的平稳性检验法 注注 差分阶数不宜过高，否则会导致差分阶数不宜过高，否则会导致SACFSACF产产生明显的震荡起伏生明显的震荡起伏(差分后可考察数据动荡差分后可考察数据动荡范围范围)； 由低阶开始，初步估计出由低阶开始，初步估计出d d，拟合模型并，拟合模型并检验，接受模型，则检验，接受模型，则d d 适合；否则，用更适合；否则，用更高阶高阶d d 对原数据进行对原数据进行ARIMAARIMA拟合，直至确定拟合，直至确定出适当的出适当的d d； 现实中，各经济序列一般通过低阶差分现实中，各经济序列一般通过低阶差分(d d=1,2)即可达到平稳即可

30、达到平稳(B B-J J )； （李子奈）（李子奈）现实经济生活中现实经济生活中:1) 只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等如利率等;2) 大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些价格指数常常是价格指数常常是2阶单整的，以不变价格表阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为示的消费额、收入等常表现为1阶单整；阶单整；3) 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的多次差分的形式变为平稳的.五五 疏系数模型疏系数模型 ARIMA(p,d,q)模型

31、是指模型是指d 阶差分后自相阶差分后自相关最高阶数为关最高阶数为p，移动平均最高阶数为，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含的模型，通常它包含p+q个独立的未知个独立的未知系数：系数： 如果该模型中有部分自回归系数如果该模型中有部分自回归系数 或部分移动平均系数或部分移动平均系数 为零，即为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型型称为疏系数模型. .qp,11pjj1 ,qkk1 , 如果只是自回归部分有缺省系数，那么如果只是自回归部分有缺省系数，那么该疏系数模型可以简记为该疏系数模型可以简记为 为非零自回归系数的阶数为非零自回归系数的阶数

32、 如果只是移动平均部分有缺省系数，那如果只是移动平均部分有缺省系数，那么该疏系数模型可以简记为么该疏系数模型可以简记为 为非零移动平均系数的阶数为非零移动平均系数的阶数 如果自相关和移动平滑部分都有缺省，如果自相关和移动平滑部分都有缺省，可以简记为可以简记为),),(1qdppARIMAmmpp,1),( ,(1nqqdpARIMAnqq,1),( ,),(11nmqqdppARIMA5.2 5.2 季节季节模型模型 季节时间序列的特征季节时间序列的特征 季节时间序列模型季节时间序列模型 季节模型的建立季节模型的建立（一）（一） 季节时间序列季节时间序列1、一个时间序列，若经过、一个时间序列，

33、若经过s个时间间隔后个时间间隔后呈现出相似的特征，称该序列为季节时呈现出相似的特征，称该序列为季节时间序列，周期为间序列，周期为s .一一 季节时间序列的特征季节时间序列的特征2、季节时间序列按周期的重新排列、季节时间序列按周期的重新排列列一个矩阵式二维表，将每一周期内相同列一个矩阵式二维表，将每一周期内相同周期点的值列在同一列上周期点的值列在同一列上. 周期点周期1234. s1X1X2X3X4Xs2Xs+1Xs+2Xs+3Xs+4X2s.nX(n-1)s+1X(n-1)s+2X(n-1)s+3X(n-1)s+4.Xns（二）季节时间序列的特征（二）季节时间序列的特征 重要特征表现为重要特征

34、表现为周期性周期性：在一：在一个序列中，如果经过个序列中，如果经过S个时间间隔个时间间隔后观测点呈现出相似性后观测点呈现出相似性该序列该序列具有以具有以S为周期的周期特性。为周期的周期特性。二二 季节时间序列模型季节时间序列模型（一）（一） 随机季节模型随机季节模型1、随机季节模型：对季节时间序列、随机季节模型：对季节时间序列中，不同周期的同一周期点之间的相中，不同周期的同一周期点之间的相关性的拟合关性的拟合。2、（1）设周期为）设周期为s. Xt、Xt-s、Xt-2s.等等可能适合三类模型中的任何一种可能适合三类模型中的任何一种.前前提条件是它们是平稳序列提条件是它们是平稳序列.若不平稳若不

35、平稳, 进行季节差分进行季节差分.（2）D阶季节差分阶季节差分 sXt=Xt-Xt-s=（1-Bs)Xt s D Xt=（1-Bs) dXt s 2 Xt =(1-Bs) 2Xt=(1-2 Bs+ B 2s)Xt Xt=Xt-Xt-1 sXt=Xt-Xt-s a D: a:相减的时期相减的时期 D:差分的阶数差分的阶数设设 s D Xt=Wt ，则，则 s D Xt-s=Wt-s 若若Wt适合适合AR(1)以以D=1为例，为例，若若Wt适合适合MA(1) 若若Wt适合适合ARMA(1,1) ttststtWWW)B1 (,11?ttssXB)1)(B1 (1?tstDsstttBXBW)1 (

36、)1 (,11tstDsststsBXBBBWB)1 ()1)(1 (,)1 ()1 (1111更一般的情形，季节性的更一般的情形，季节性的SARIMA为为其中其中分别称为：分别称为：k阶季节自回归多项式阶季节自回归多项式 m阶季节移动平均多项式阶季节移动平均多项式 tstDssBVXBBU)()1)(msmsskskssBBBVBBBU.1)(.1)(113、（1）模型将序列不同周期上的相同）模型将序列不同周期上的相同周期点之间的关系表示出来，但是周期点之间的关系表示出来，但是没有反映同一周期内不同周期点之没有反映同一周期内不同周期点之间的关系间的关系.（2）序列可能还存在长期趋势，相）序列

37、可能还存在长期趋势，相同周期的不同周期点之间可能也有同周期的不同周期点之间可能也有一定的相关性，所以，模型可能有一定的相关性，所以，模型可能有一定的拟合不足。一定的拟合不足。 使用场合使用场合 序列的季节效应、长期趋势效应和随机波序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系节模型不能充分地提取其中的相关关系 . . 构造原理构造原理 短期相关性用低阶短期相关性用低阶ARIMA(p,d,q)模型提取模型提取 季节相关性用以周期步长季节相关性用以周期步长S为单位的为单位的ARIMA(k,D,m)模型提

38、取模型提取 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系系（二）（二） 乘积季节模型乘积季节模型 1、 乘积季节模型的一般形式乘积季节模型的一般形式 可能是平稳的，也可能是非平稳的，不妨可能是平稳的，也可能是非平稳的，不妨设一般情况，设一般情况， 适合适合ARIMA（p，d，q）ttttdaBB)()(若若 适合适合 ， 而而 又适合又适合在前式两边同乘在前式两边同乘 得：得：tttdaBB)()(dB )(tstsBVWBU)()(tDstDstXBXW)1 ( tstDsdststdstdstdsaBBVXBUBaBBVWBUBBBVWBUB)()()()()

39、()()()()()()()(其中：其中：（1）式称为乘积季节模型，记为）式称为乘积季节模型，记为) 1 ()()()()(tstDsdsaBBVXBUBmsmsskskssBBBVBBBU.1)(.1)(11qqppBBBBBB.1)(.1)(11DsDsddBB)1 ()1 (smDkqdpARIMA),(),( 常见的乘积季节模型（常见的乘积季节模型（s=12）1、(1-B)(1-B12)Xt=(1- 1B)(1- 12B12)at它是由两个模型组成的。它是由两个模型组成的。（1） (1-B12)Xt= (1- 12B12)et（2） et-et-1=(1-B)et= at- 1at-1

40、=(1- 1B)at在（在（1）两端同乘（）两端同乘（1-B）得：）得：12) 1 , 1 , 0() 1 , 1 , 0(ARIMA (1-B)(1-B12)Xt= (1- 12B12)(1-B)et = (1- 12B12) (1- 1B)at(Xt-Xt-12) (Xt-1-Xt-13)=(at- 12at-12) - 1(at-1- 12at-13)2、 (1-B12)Xt= (1- 1B)(1- 12B12)at(1) (1-B12)Xt= (1- 12B12)et Xt、Xt-12、Xt-24.是非平稳的，有趋势，是非平稳的，有趋势，差分后平稳，适合差分后平稳，适合MA(1)模型模

41、型.(2)et是平稳序列，适合是平稳序列，适合MA(1)，12) 1 , 1 , 0() 1 , 0 , 0(ARIMAet=at- 1at-1=(1- 1 B)at代入（代入（1）得：）得：(1-B12)Xt= (1- 12B12)et = (1- 12B12) (1- 1 B)at =(at- 12at-12) - 1 (at-1- 12 at-12) 3、 (1- 1 B)(1-B12)Xt=(1- 12B12)at (1) (1-B12)Xt= (1- 12B12)et (2)et是平稳序列，适合是平稳序列，适合AR(1)，et= 1 et-1+at ，即即(1- 1 B)et=at(

42、1)两边同乘两边同乘(1- 1 B)得：得：(1- 1 B)(1-B12)Xt = (1- 1 B) (1- 12B12)et = (1- 12B12)at (Xt-Xt-12) - 1 (Xt-1-Xt-13)=at- 12at-1212) 1 , 1 , 0()0 , 0 , 1 (ARIMA 与与ARMAARMA模型类似，季节模型的识别、定阶、模型类似，季节模型的识别、定阶、参数估计、适应性检验基本上是以随机序参数估计、适应性检验基本上是以随机序列的样本自相关与偏自相关为依据的列的样本自相关与偏自相关为依据的. .三三 季节模型的建立季节模型的建立 季节季节模型的建立模型的建立判明序列的

43、周期性；判明序列的周期性；识别差分的阶数；识别差分的阶数；识别季节差分的阶数；识别季节差分的阶数；对差分序列对差分序列建立建立ARMAARMA模型；模型；对原序列对原序列建立季节模型建立季节模型. . 季节模型建模要点季节模型建模要点模型识别要点：模型识别要点：原始序列图是判定季节特征的有力工具；原始序列图是判定季节特征的有力工具；周期的确定更倾向于依赖数据的实际背景；周期的确定更倾向于依赖数据的实际背景；若若SACF与与SPACF既不拖尾也不截尾，且既不拖尾也不截尾，且不呈线性衰减；而是在相应于周期的整数不呈线性衰减；而是在相应于周期的整数倍点上，出现绝对值相当大的峰值并呈现倍点上，出现绝对

44、值相当大的峰值并呈现振荡变化，则可判定序列适合季节模型振荡变化，则可判定序列适合季节模型. .阶数判定要点阶数判定要点：差分与季节差分阶数差分与季节差分阶数d d、D D的选取，可采的选取，可采用试探的方法，一般宜较低阶（如用试探的方法，一般宜较低阶（如1 1、2 2、3 3阶）阶）. .对于某一组对于某一组d d、D D，计算差分后序列，计算差分后序列的的SACFSACF与与SPACFSPACF，若呈现较好的截尾或拖，若呈现较好的截尾或拖尾性，则尾性，则d d、D D适宜适宜. .此时若增大此时若增大d d、D D，相，相应应SACFSACF与与SPACFSPACF会呈现离散增大及不稳定会呈

45、现离散增大及不稳定状态；状态；通常通常D不会超过不会超过1阶，特别对阶，特别对S=12的月的月份数据（份数据（B-J）；）；季节模型应慎重使用，特别序列长度不季节模型应慎重使用，特别序列长度不够理想时（够理想时（B-J）. 季节差分后序列季节差分后序列ACFACF、PACFPACF特征特征（1）若季节差分后序列适合）若季节差分后序列适合MA模型模型:S=12Xt-Xt-12=(1- 12B12)et=(1- 1B)(1- 12B12)at =at- 1at-1- 12at-12+ 1 12at-12-1季节差分后，适应季节差分后，适应MA(13)，其中，其中 i=0（i=2,3,11）,ACF

46、截尾（截尾（k=1,11,12,13不为零不为零，其余显著为零），其余显著为零），PACF拖尾拖尾.1121113111200 （2）季节差分后适应）季节差分后适应AR模型模型: (1- 1 B)(1-B12)Xt=at (1- 1 B)(Xt Xt-12)=at Xt-Xt-12= 1Xt-1- 1Xt-13+at ACF拖尾，拖尾，PACF截尾截尾.例例1 19621975年年 奶牛月产奶量（奶牛月产奶量（P244）例例2 1997.12003.8 到北京海外旅游人到北京海外旅游人 数数5.3 5.3 残差自回归模型残差自回归模型 模型结构模型结构 残差自相关检验残差自相关检验一一 模型结

47、构模型结构1、构造思想、构造思想 首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息 然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息 ttttSTxtptptta.112、Auto-Regressive模型结构模型结构1, 0),(,)(, 0)(211iaaCovaVaraEaSTxitttttptptttttt3、对趋势效应的常用拟合方法、对趋势效应的常用拟合方法 自变量为时间t的幂函数 自变量为历史观察值tkktttT10tktkttxxT1104、对季节效应的常用拟合方法、对季节效应的常用拟合方法 给定季节指数 建立季节自回归模型ttSSlmtlmttxxT10例1 使用Auto

48、-Regressive模型分析1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列。 时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型 1, 0),(,)(, 0)(, 3 , 2 , 1,211iaaCovaVaraEatTxitttttptpttttt趋势拟合 方法一：变量为时间t的幂函数 方法二：变量为一阶延迟序列值 1tx, 3 , 2 , 1,5158. 41491.66ttTt, 3 , 2 , 1,0365. 11txxtt趋势拟合效果图二、残差自相关检验二、残差自相关检验1、检验原理、检验原理 回归模型拟合充分，残差的性

49、质 回归模型拟合得不充分，残差的性质1,0),(jEjtt1,0),(jEjtt2、Durbin-Waston检验（检验（DW检验）检验） 假设条件假设条件 原假设：残差序列不存在原假设：残差序列不存在一阶自相关性一阶自相关性 备择假设：残差序列存在备择假设：残差序列存在一阶自相关性一阶自相关性 0:0),(:010HEHtt0:0),(:010HEHttDW统计量 构造统计量 DW统计量和自相关系数的关系(大样本下)nttntttDW12221)(12DWDW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关04LdUd2Ld4Ud4例1 续 检验第一个确定性趋势模型 残差序列的自相关性

50、。, 3 , 2 , 1,5158. 41491.66ttxtt例1 续 检验第二个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。L, 3 , 2 , 1,0364. 11txxtttDurbin h检验检验 DW统计量的缺陷统计量的缺陷 当回归因子包含延迟因变量时，当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判不显著的误判 Durbin h检验检验21nnDWDh残差序列拟合残差序列拟合 确定自回归模型的阶数确定自回归模型的阶数 参数估计参数估计 模型检验模型检验例1 续拟合三个模型拟合三个模型1、ARIMA(0,1,1)模型模型2、ARIMA(1,1,0)模型模型3、确定性趋势模型、确定性趋势模型残差序列自相关图残差序列偏自相关图模型拟合模型拟合 定阶 AR(2) 参数估计方法 极大似然估计 最终拟合模型口径ttttttatx216159. 05070. 15158. 4149