第9章 方差分析

1、2022年5月25日星期三12时49分35秒Jumping Rabbit Studio1Contents: 教材和参考书目：教材和参考书目：教育与心理统计学教育与心理统计学，张敏强主编，人教版，张敏强主编，人教版心理与教育统计学心理与教育统计学，张厚粲主编，北师大版，张厚粲主编，北师大版心理学研究方法心理学研究方法三编，黄希庭主编，高教版三编，黄希庭主编，高教版心理统计心理统计英文英文9版，版，R.P.Runyon，人民邮电，人民邮电 2022年5月25日星期三12时49分35秒Jumping Rabbit Studio2第第9章章 方差分析方差分析9.1 方差分析的基本原理及步骤方差分析的基

2、本原理及步骤9.2 完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析9.3 随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析9.4 事后检验事后检验2022年5月25日星期三12时49分35秒Jumping Rabbit Studio3方差分析（一）方差分析（一）Outline:1 Introduction2 The points of ANOVA3 Main conceptions4 The prerequisite of ANOVA2022年5月25日星期三12时49分35秒Jumping Rabbit Studio4专业专业A A专业专业B专业专业C C158158158158156156156

3、156160160162162165165160160163163162162156156163163162162155155168168165165160160163163160160157157164164155155178178163163156156168168166166160160170170158158某学院每年招收某学院每年招收三个专业的学生，三个专业的学生，每个专业随机抽每个专业随机抽取取9名同学，其身名同学，其身高如表所示，请高如表所示，请问三个专业学生问三个专业学生的身高是否有显的身高是否有显著差异？著差异？2022年5月25日星期三12时49分35秒Jumping Ra

4、bbit Studio51 Introduction:1 Introduction:若将显著性检验也视为两总体间若将显著性检验也视为两总体间“差异差异”检检验，则第六章所讲验，则第六章所讲t t检验法主要适用于两总体检验法主要适用于两总体间均值差异的显著性检验，但在实践中经常间均值差异的显著性检验，但在实践中经常会遇到要比较多个处理优劣的问题，即需进会遇到要比较多个处理优劣的问题，即需进行多个均值间的差异显著性检验。这时若仍行多个均值间的差异显著性检验。这时若仍采用采用t t检验法有下列问题：检验法有下列问题：Why can not use multiple T test to conduct

5、 Why can not use multiple T test to conduct multiple comparison among groups?multiple comparison among groups?为什么不能用t检验对多个平均数的差异进行比较？2022年5月25日星期三12时49分35秒Jumping Rabbit Studio6n比较组合次数多：比较组合次数多：Z、t 检验的局限性：检验的局限性：!mnmnCmnn可靠性降低可靠性降低n缺少综合信息；缺少综合信息；n缺乏整体信息。缺乏整体信息。2022年5月25日星期三12时49分35秒Jumping Rabbit St

6、udio7 1、检验次数增加、检验次数增加 例如，一实验包含5个处理，采用t检验法要进行 =10次两两均值的差异显著性检验；若有k个处理，则要作 k(k-1)/2次类似的检验。 2、无统一的实验误差，误差估计的精确性和检验的灵、无统一的实验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。敏性低。每次检验的标准误不同；自由度为充分利用。如5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用30个观测值估计误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。用t检法进行检验时，误差自由度小，容易掩盖差异的显著

7、性。 25C2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio8 3、推断可靠性低，检验的、推断可靠性低，检验的 I 型错误大型错误大 每次比较不会犯I型错误概率为1-，K次比较为（1-） ，则犯错误概率为1-（1-） 。 由于上述原因，多个平均数的差异显著性检由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用验不宜用 t 检验，须采用方差分析法。检验，须采用方差分析法。 kk2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio92 2 The points of ANOVAThe points of ANOVA方差分析方差分析

8、 (analysis of variance，ANOVA) 是由是由英国统计学家英国统计学家R.A.Fisher于于1923年首先提出的。年首先提出的。是目前应用最广泛的统计分析法之一。是目前应用最广泛的统计分析法之一。The lady taste tea!The principles of experiment design:RandomizationLocal controlRepetition2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio10方差分析又称为变异分析方差分析又称为变异分析(analysis of variance, ANOVA)，是由

9、斯内德克根，是由斯内德克根据费舍的早期工作发明的一种检验方法。据费舍的早期工作发明的一种检验方法。分析实验数据中不同来源的变异对总的分析实验数据中不同来源的变异对总的变异的贡献大小。变异的贡献大小。用于分析两种以上平均数的差异检验问用于分析两种以上平均数的差异检验问题。题。2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio11变异数分析的思路：变异变异数分析的思路：变异( (方差方差) )反映了数据的变化反映了数据的变化，若能将数据变化的原因加以分解，若能将数据变化的原因加以分解( (方差可加性方差可加性) )，一部分为由于施加了自变量的不同水平或处理而导一

10、部分为由于施加了自变量的不同水平或处理而导致的组间变异，另一部分为同一处理下各观测值间致的组间变异，另一部分为同一处理下各观测值间的变异的变异( (认为是误差认为是误差) )，则可以将两部分变异进行比，则可以将两部分变异进行比较较( (方差差异显著性检验，方差差异显著性检验，F F检验检验) )以判断组间变异以判断组间变异是否显著大于误差变异，从而判断组间因素的效应是否显著大于误差变异，从而判断组间因素的效应是否显著。是否显著。)( webtSSSSSSkinjkikinjiijiijxxxxnxx111112.2.2.)()()(（1）平方和分平方和分解解2022年5月25日星期三12时49

11、分36秒Jumping Rabbit Studio122022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio13 各部分平方和除以各自的自由度便得到总均各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，方、处理间均方和处理内均方， 分别记为分别记为 MSt（即（即 ）、）、MSb（即（即 ）和）和MSe（或（或 ）。）。 即即 2TS2bS2eS),(/22ebeeeebbbbdfdfFdfSSSMSdfSSSMSFttttdfSSSMS/2（2）构造构造方差比方差比（3）test IfF = 1处理效应显著1.:1210FHFk2022年5月2

12、5日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio14 1. 1.自变量和因变量：因素，性质变量或分类变量；因变自变量和因变量：因素，性质变量或分类变量；因变量，观测指标。量，观测指标。方差分析：自变量的不同水平或处理在因变量上的差异方差分析：自变量的不同水平或处理在因变量上的差异 2.2.变异源：组间因素变异源：组间因素( (自变量自变量) )、无关变量、无关变量( (系统误差来系统误差来源，需要控制源，需要控制) )、随机误差、随机误差( (组内变异，比较的基础，随机组内变异，比较的基础，随机化原则化原则) ) 3. 3.因素的水平和实验处理因素的水平和实验处理 ：方差

13、分析的特点三个水平以：方差分析的特点三个水平以上，处理即最小的实验条件，各变量水平的组合上，处理即最小的实验条件，各变量水平的组合(计算计算) 4.实验设计分类：不同的设计使用不同的方差分析实验设计分类：不同的设计使用不同的方差分析(主要主要是方差分解不同是方差分解不同)，单因素，单因素(单向单向)、二因素、多因素、二因素、多因素(析因析因)；从控制无关变量从控制无关变量(一般是机体变量一般是机体变量)多少分完全随机化、随多少分完全随机化、随机区组机区组(单个被试作为区组单个被试作为区组)、拉丁方；被试接受处理数分、拉丁方；被试接受处理数分被试间、被试内被试间、被试内(重复测量重复测量)和混合

14、设计。和混合设计。3 3 Main ConceptionsMain Conceptions2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio15假设某研究者要研究若干种心理治疗方法的效果，假设某研究者要研究若干种心理治疗方法的效果，考察的方法包括考察的方法包括:Reality Therapy, Behavior Therapy, Psychoanalysis, Gestalt Therapy.Q1:如何进行实验设计？设有如何进行实验设计？设有20名被试。名被试。Q2:实验包括几个处理？自变量有几个水平？指标是实验包括几个处理？自变量有几个水平？指标是什么？什

15、么？自我概念量表得分变化。自我概念量表得分变化。Q3:可能的变异源有哪些？可能的变异源有哪些？Q4:若增加对被试性别效应的考察，实验设计如何变若增加对被试性别效应的考察，实验设计如何变化？化？Q5:若考虑到自我概念的起始水平不同，如何变化？若考虑到自我概念的起始水平不同，如何变化？Example 1Example 12022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio16Do you know how arrange the subjects to all the treatment with those above design?完全随机化设计完全随机化设计

16、(上左上左)和随机和随机区组设计区组设计(上右上右)都试被试间设都试被试间设计，不节省被试，只有被试内计，不节省被试，只有被试内设计设计(下右下右)才节省被试。才节省被试。2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio171 正态总体：正态总体：2 Additivity of effects or variation(可加性可加性)3 homogeneity of variance within each treatmentLevenes test （同质性）同质性） 4 The prerequisite of ANOVA4 The prerequisi

17、te of ANOVAijjijx2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio189.1 方差分析的基本原理方差分析的基本原理（一）综合的虚无假设与部分虚无假设（一）综合的虚无假设与部分虚无假设综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等。数都相等。H0：1= 2=3部分虚无假设：部分样本对应的总体的平均数部分虚无假设：部分样本对应的总体的平均数相等。相等。H0： 1= 2 2=3 1= 32022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio19（二）方差的可分解性（二）方差

18、的可分解性方差分析依据的基本原理是方差（或变异）方差分析依据的基本原理是方差（或变异）的可加性原则，将总的平方和分解为几个不的可加性原则，将总的平方和分解为几个不同来源的平方和。同来源的平方和。平方和指观测数据与平均数离差的平方总和。平方和指观测数据与平均数离差的平方总和。求求5，6，10，13，7，9，4的平方和的平方和714. 7NXXi43.59)714. 74()714. 75()(222XXSSi2022年5月25日星期三12时49分36秒Jumping Rabbit Studio20方差的可分解性方差的可分解性kinjtijTXXSS112)(21)(tkjjBXXnSS211)(

19、jkjniijWXXSSWBTSSSSSS总平方和总平方和组间平方和组间平方和组内平方和组内平方和2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio21F检验检验BBBdfSSMS WWWdfSSMS组间方差组间方差组内方差组内方差WBSSSSF 1 kdfB) 1( nkdfW1 nkdfTF单侧检验单侧检验2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio22方差分析的基本过程提出假设提出假设选择检验统计量并计算选择检验统计量并计算 分解平方和分解平方和SS 分解自由度分解自由度df 计算方差计算方差MS 计算计算F值

20、值作出统计结论并列方差分析表作出统计结论并列方差分析表2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio232min2maxssF 1.总体正态分布总体正态分布2.变异的相互独立变异的相互独立3.各个实验处理内的方差一致各个实验处理内的方差一致1 ndf方差分析的基本假定：方差分析的基本假定：方差齐性检验：方差齐性检验：2/FF 若若说明方差不齐性说明方差不齐性2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio24实验设计与方差分析实验设计与方差分析T检验用于只有两种实验处理的实验设检验用于只有两种实验处理的实验设计。计。

21、方差分析适用于三种及其以上实验处方差分析适用于三种及其以上实验处理的情况，可以分为组间设计、组内理的情况，可以分为组间设计、组内设计和混合设计。设计和混合设计。组间设计，也称为被试间设计、完全组间设计，也称为被试间设计、完全随机设计，将被试随机分为若干组，随机设计，将被试随机分为若干组，每组被试分别接受一种实验处理。每组被试分别接受一种实验处理。2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio25组内设计，又称为被试内设计、重组内设计，又称为被试内设计、重复测量设计，每个被试接受所有自复测量设计，每个被试接受所有自变量的实验处理。变量的实验处理。混合设计一

22、般涉及两个以上的自变混合设计一般涉及两个以上的自变量，其中既有被试内变量也有被试量，其中既有被试内变量也有被试间变量。间变量。2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio269.2 完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析完全随机设计的方差分析，是对单完全随机设计的方差分析，是对单因素的组间设计的方差分析，实验因素的组间设计的方差分析，实验安排被试如下：安排被试如下：处理处理1 1处理处理2 2处理处理k k被试被试1111被试被试2121被试被试k1k1被试被试1212被试被试2222被试被试k2k2被试被试1313被试被试2323被试被试k3k

23、32022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio27分析步骤分析步骤1. 提出虚无假设提出虚无假设H0：1=2=3H1： 123H0：各班的平均身高是相等的：各班的平均身高是相等的H1：各班的平均身高是不相等的：各班的平均身高是不相等的2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio282. 求平方和求平方和WBTSSSSSSkinjtijTXXSS112)(21)(tkjjBXXnSS211)(jkjniijWXXSSnXX22)(nkXX22)(nkXnX)()(组内求和组内求和组间求和组间求和2022年5月25

24、日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio293. 计算自由度计算自由度总的自由度：组间自由度：组内自由度：1 nkdfT1 kdfB) 1( nkdfW2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio304. 计算均方计算均方组间方差：组间方差：组内方差：组内方差：BBBdfSSMSWWWdfSSMSWBMSMSF 5. 计算计算F值值2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio31检验统计决断规则检验统计决断规则F与临界值比较与临界值比较 P值值 显著性显著性 检验结果检验结果 FF

25、(dfB,dfW)0.05P0.05不显著不显著保留保留H0，拒绝，拒绝H1F (dfB,dfW)0.05 F F (dfB,dfW)0.010.05P0.01显著显著在在0.05显著性显著性水平拒绝水平拒绝H0，接受接受H1F F (dfB,dfW)0.01P0.01极其显著极其显著在在0.01显著性显著性水平拒绝水平拒绝H0，接受接受H16. 作出决断作出决断2022年5月25日星期三12时49分37秒Jumping Rabbit Studio327 7列出完全随机设计的方差分析表列出完全随机设计的方差分析表变异来源变异来源 平方和平方和 自由度自由度方差方差F F 值值概率概率组间变异组

26、间变异SSBdfBMSBP组内变异组内变异SSwdfwMSw总变异总变异SSTdfTWBMSMSF 完全随机设计方差分析表2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio33某学院每年招收三个专业的学生，每个专业随机抽取某学院每年招收三个专业的学生，每个专业随机抽取9名同学，名同学，其身高如表所示，请问三个专业学生的身高是否有显著差异？其身高如表所示，请问三个专业学生的身高是否有显著差异？专业专业A A专业专业B B专业专业C CX XX2X2X XX2X2X XX2X21581582496424964158158249642496415615624336

27、243361561562433624336160160256002560016216226244262441651652722527225160160256002560016316326569265691621622624426244156156243362433616316326569265691621622624426244155155240252402516816828224282241651652722527225160160256002560016316326569265691601602560025600157157246492464916416426896268961551552

28、402524025178178316843168416316326569265691561562433624336168168282242822416616627556275561601602560025600170170289002890015815824964249641599159925579916221622 26358216261626264496(X)22556801255680126308842630884264387626438762022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio34设虚无假设和备择假设分别如下：H0：1=2=3H1： 12

29、37838772644962635822557992X4847162616221599X78311330484722nkX783156102643876263088425568012nX2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio35计算平方和计算平方和76478311378387722nkXXSST43783113783156)(22nkXnXSSB721783156783877)(22nXXSSW2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio363. 计算自由度计算自由度总的自由度：组间自由度：组内自由度：2

30、913101 nkdfT2131 kdfB27) 110(3) 1(nkdfW2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio374. 计算均方计算均方组间方差：组间方差：组内方差：组内方差：5 .21243BBBdfSSMS7 .2627721WWWdfSSMS805. 07 .265 .21WBMSMSF5. 计算计算F值值32. 4)27, 2(05. 0F由于由于所以三个专业的身高没有显著差异所以三个专业的身高没有显著差异2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio38变异来源变异来源平方和平方和自由度自由

31、度方差方差F F 值值概率概率组间变异组间变异43221.50.8050.05组内变异组内变异7212726.7总变异总变异76429三专业身高的方差分析表三专业身高的方差分析表2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio399.3 随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析随机区组设计的方差分析，就是重复测随机区组设计的方差分析，就是重复测量设计的方差分析（量设计的方差分析（repeated measures analysis of varicace），），或称为组内设计的方差分析。或称为组内设计的方差分析。随机区组设计的方差分析，随机区组设计的方

32、差分析，是对多个相是对多个相关样本平均数的差异进行显著性检验。关样本平均数的差异进行显著性检验。2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio40在检验某一因素多种不同水平（即不同在检验某一因素多种不同水平（即不同实验处理）之间差异的显著性时，为了实验处理）之间差异的显著性时，为了减少被试间个别差异对结果的影响，把减少被试间个别差异对结果的影响，把从同一个总体中抽取的被试按条件相同从同一个总体中抽取的被试按条件相同的原则分成各个组（称为区组），使每的原则分成各个组（称为区组），使每个区组内的被试尽量保持同质。个区组内的被试尽量保持同质。2022年5月25

33、日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio41在对各区组施以多种实验处理之后，用在对各区组施以多种实验处理之后，用方差分析法对这多个相关样本平均数差方差分析法对这多个相关样本平均数差异所进行的显著性检验，称为随机区组异所进行的显著性检验，称为随机区组设计的方差分析。设计的方差分析。2022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio42随机区组设计的原则是同一区组内的被试随机区组设计的原则是同一区组内的被试应尽量应尽量“同质同质”，每一区组内被试的人数，每一区组内被试的人数分配有以下三种方式：分配有以下三种方式：每一个被试作为一个区组

34、，所有的被每一个被试作为一个区组，所有的被试都要分别接受各种实验处理；试都要分别接受各种实验处理；处理处理1处理处理2处理处理32022年5月25日星期三12时49分38秒Jumping Rabbit Studio43每一区组内的被试人数是实验处理数的每一区组内的被试人数是实验处理数的整倍数。同一区组内的每几个被试可以随机整倍数。同一区组内的每几个被试可以随机接受同一种实验处理；接受同一种实验处理；111222333区组区组1区组区组2区组区组3处理处理1处理处理2处理处理33332221112022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio44（3） 区组

35、内的基本单位不是个别被试，区组内的基本单位不是个别被试，而是一个团队为单位而是一个团队为单位学校学校A学校学校B学校学校Ca班班b班班c班班a班班b班班c班班a班班b班班c班班处理处理1处理处理2处理处理32022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio45随机区组设计的方差分析中，接受各种随机区组设计的方差分析中，接受各种实验处理的是同一区组，故个别差异可实验处理的是同一区组，故个别差异可以从组内差异中分离出来，从而减少由以从组内差异中分离出来，从而减少由个别差异造成的误差，增加实验的信息，个别差异造成的误差，增加实验的信息，提高实验的效率。提高实验的效

36、率。2022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio46随机区组设计的方差分析将变异来随机区组设计的方差分析将变异来源分解为组间变异、区组变异和误源分解为组间变异、区组变异和误差变异三部分：差变异三部分：ERBTSSSSSSSSWSS2022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio473随机区组设计方差分析的计算公式分解平方和分解平方和 nkXXSST22nkXnXSSB222022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio48区组平方和 公式中：公式中：R表示某一区组在某种处理的分

37、数表示某一区组在某种处理的分数 n表示区组数，表示区组数，K表示处理数表示处理数nkRkRSSR22RBTESSSSSSSS误差平方和 2022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio49分解自由度分解自由度总自由度可以分解为组间、区组和误差自总自由度可以分解为组间、区组和误差自由度：由度：ERBTdfdfdfdf1 nkdfT1 kdfB1 ndfRRBTEdfdfdfdf2022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio50计算方差计算方差BBBdfSSMSRRRdfSSMSEEEdfSSMS 区组方差 误差方差 2

38、022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio51计算值计算值组间方差与误差方差的比值组间方差与误差方差的比值EBMSMSF ERMSMSF 区组方差与误差方差的比值区组方差与误差方差的比值2022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio52 随机区组设计的方差分析表随机区组设计的方差分析表变异来源变异来源 平方和平方和 自由度自由度方差方差F F 值值概率概率组间变异组间变异SSBdfBMSBPP区组变异区组变异SSRdfRMSR误差变异误差变异SSEdfEMSE总变异总变异SSTdfTEBMSMSF 表141 随机

39、区组设计方差分析表ERMSMSF 2022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio53 5名被试在名被试在4种不同的环境条件下种不同的环境条件下参加某一心理测验，结果如下。问不参加某一心理测验，结果如下。问不同测验环境是否对这一测试成绩有显同测验环境是否对这一测试成绩有显著影响。著影响。被试测试环境IIIIIIIV1302816162141810103242018184383420205262814142022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio54解题过程1.提出假设提出假设H0:1=2=3 =4 H1:至少有两

40、组平均数不等至少有两组平均数不等2.选择检验统计量并计算选择检验统计量并计算 5名学生是从同一个总体中抽出的名学生是从同一个总体中抽出的4个区组个区组,他们在他们在三个测验上的得分是三组相关样本，因此可选用三个测验上的得分是三组相关样本，因此可选用随机区组设计的方差分析对三组测验结果平均数随机区组设计的方差分析对三组测验结果平均数差异进行检验。差异进行检验。2022年5月25日星期三12时49分39秒Jumping Rabbit Studio555名被试在名被试在4种环境中的测试成绩种环境中的测试成绩被试被试测试环境测试环境RIIIIIIIV130281616108214181010643242018189243834202013652628141498X13212878160498X23792344812765376138922X498X2022年5月25日星期三12时49分40秒Jumping Rabbit Studio56计 算.分解平方和NXXSST22nXnXSSB2280.14912049813892220.69820)498(5)160(5)78(5)128(5)132(222222022年5月25日星期三12时49分40秒J