第三节(2) 平面曲线积分与路径无关的条件

1、平面曲线积分平面曲线积分与路径无关的条件与路径无关的条件第三节第三节(2)第十一章第十一章G. , 21的的任任意意两两条条曲曲线线到到内内从从是是、内内任任意意两两点点为为为为一一平平面面区区域域设设BAGLLGBAG,d),(d),(d),(d),( 21 LLyyxQxyxPyyxQxyxPAB1L2L若若恒成立恒成立, ,dd内内与与路路径径无无关关在在则则称称曲曲线线积积分分GyQxPL 否则称与路径有关否则称与路径有关. .定义定义: :如果曲线积分与路径无关如果曲线积分与路径无关, , 则可则可把上式写成把上式写成0dddd21 LLyQxPyQxP 21ddddLLyQxPyQ

2、xP0dd 21 LLyQxPGAB1L2L结论结论: :. 0dd dd CLyQxPCGGyQxP的曲线积分的曲线积分内任意闭曲线内任意闭曲线沿沿内与路径无关内与路径无关在在曲线积分曲线积分证证: “充分充分性性”. ., GC 闭闭曲曲线线则则定理定理2.xQyP 内内在在则则连续偏导数连续偏导数内具有一阶内具有一阶在在函数函数是一个单连通域是一个单连通域区域区域设设 , ),(),( (2) , )1(: GGyxQyxPG dd与路径无关与路径无关LyQxP CyQxPdd DyxyPxQdd)(= 0.应用格林公式应用格林公式. .“必要性必要性”. . 利用反证法利用反证法. ,

3、 0 : 00 MyPxQGM假设假设 , 0 0 MyPxQ不妨设不妨设 , , 内连续内连续在在因为因为GyPxQ : ),(0GMBK G0M .),( ,2 KyxyPxQ l lyQxPdd22 . 0 KyxyPxQdd)(矛盾矛盾! !故假设不成立故假设不成立, ,即即.),( , GyxyPxQ 再看再看11.2 例例4：已求得沿三条路线都有已求得沿三条路线都有这里这里 P = 2xy, Q = x2. 在整个平面内恒有在整个平面内恒有所以在所以在整个平面内曲线积分与路径无关整个平面内曲线积分与路径无关. )3( ;)1 , 1()0 , 0( )2( ;)1 , 1()0 ,

4、 0( )1( ,dd2 222ABOA LBOyxBOxyLyxxxyL ：有向线段有向线段的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算. 1dd22 Lyxxxy,2xQxyP )1 , 1(Bxoy12xy 2yx A例例1., d)(d)( (2,3)(1,1)并并计计算算积积分分值值面面内内与与路路径径无无关关整整个个在在证证明明曲曲线线积积分分xoyyyxxyx 解解: :, , ) 2(yxQyxP 设设则则P, Q的偏导数在的偏导数在 xoy面内连续面内连续,1 yP.xQ 故由故由定理定理2 知曲线积分在整个知曲线积分在

5、整个 xoy 面内面内与路径无关与路径无关. .oxyA(1,1)1123B(2,3)C(2,1)yyxxyxyyxxyxCBACd)(d)( )( d)(d)( (2,3)(1,1) (1) xoy 面是单连通区域面是单连通区域;oxyA(1,1)1123B(2,3)C(2,1). 21 : , 1 : xyAC ACyyxxyxd)(d)( )1d()1(d)1( xxx.25 . 31 : , 2 : yxCB CByyxxyxd)(d)( yyyd)2(d(2)2( . 0 .25d)(d)(2,3)(1,1) yyxxyx 21d) 1(xx 31d)2(yy 21 31,)(),(

6、,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2xQyxyP . 与路径无关与路径无关在整个平面内曲线积分在整个平面内曲线积分.)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的有向折线段的有向折线段L.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(2222的一段有向弧的一段有向弧到到上从上从是是其中其中计算积分计算积分yyxLyyxxyxyL 例例2.解解: :xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L作作AB OByyxxyxyd)(d)21(22 BAyyxxyxyd)(d)21(22 10d1x.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1LAB 102d)1(yyOB(1, 1)L.2sin)1 , 1()0 , 0(,d)(d)2(422xyBOLyyxxxyxL 的曲线弧的曲线弧到到为从为从其中其中计算计算, ,2422yxQxyxP .,ABOA 选选取取折折线线段段积积分分积积分分与与路路径径无无关关练习练习:解解: :.2 xQxyP A(1, 0)