第三节空间点线面的位置关系

1、一、平面的基本性质一、平面的基本性质名称名称图示图示文字表示文字表示符号表示符号表示公理公理1如果一条直线如果一条直线上的两点在一上的两点在一个平面内，那个平面内，那么这条直线在么这条直线在此平面内此平面内Al，Bl，且且A，B_l知识能否忆起知识能否忆起名称名称图示图示文字表示文字表示符号表示符号表示公理公理2过不在一条直线上过不在一条直线上的三点，有且只有的三点，有且只有一个平面一个平面公理公理3如果两个不重合的如果两个不重合的平面有一个公共点，平面有一个公共点，那么它们有且只有那么它们有且只有一条过该点的公共一条过该点的公共直线直线P，且且P_ l且且Pl二、空间直线的位置关系二、空间直

2、线的位置关系1位置关系的分类位置关系的分类相交相交一个一个平行平行没有没有任何任何没有没有2平行公理平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行于同一条直线的两条直线互相 平行平行3等角定理等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角角 4异面直线所成的角异面直线所成的角(或夹角或夹角)(1)定义：设定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线作直线aa，bb，把，把a与与b所成的所成的 叫做叫做异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角(2)范围：范围：_.相等或互补相等或互补锐角锐角(或直角或直

3、角)三、直线与平面的位置关系三、直线与平面的位置关系位置关系位置关系图示图示符号表示符号表示公共点个公共点个数数直线直线l在平在平面面内内_直线直线l与平与平面面相交相交_直线直线l与平与平面面平行平行_l无数个无数个lA一个一个l0个个四、平面与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系位置关系位置关系图示图示符号表示符号表示公共点个数公共点个数两个平面两个平面平行平行_两个平面两个平面相交相交_l_个个(这些公这些公共点均在交线共点均在交线l上上)0个个无数无数小题能否全取小题能否全取1(教材习题改编教材习题改编)已知已知a，b是异面直线，直线是异面直线，直线c平行于平行于直线直线a，那么，那

4、么c与与b()A异面异面B相交相交C不可能平行不可能平行 D不可能相交不可能相交解析：由已知直线解析：由已知直线c与与b可能为异面直线也可能为相交可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若直线，但不可能为平行直线，若bc，则，则ab.与与a，b是异面直线相矛盾是异面直线相矛盾答案：答案：C2(2013东北三校联考东北三校联考)下列命题正确的个数为下列命题正确的个数为 ()经过三点确定一个平面；经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合如果

5、两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1C2 D3解析：解析：错误，错误，正确正确答案：答案：C3已知空间中有三条线段已知空间中有三条线段AB，BC和和CD，且，且ABCBCD，那么直线，那么直线AB与与CD的位置关系是的位置关系是 ()AABCDBAB与与CD异面异面CAB与与CD相交相交DABCD或或AB与与CD异面或异面或AB与与CD相交相交解析：若三条线段共面，如果解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰构成等腰三角形，则直线三角形，则直线AB与与CD相交，否则直线相交，否则直线AB与与CD平平行；若不共面，则直线行；若不共面，则直线AB与与CD是异面直线是异面直线答

6、案：答案：D5(教材习题改编教材习题改编)平行六面体平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与中既与AB共面又与共面又与CC1共面的棱的条数为共面的棱的条数为_解析：如图，与解析：如图，与AB和和CC1都相交的都相交的棱有棱有BC；与；与AB相交且与相交且与CC1平行平行的棱有的棱有AA1，BB1；与；与AB平行且与平行且与CC1相交的棱有相交的棱有CD，C1D1，故符合，故符合条件的棱共有条件的棱共有5条条答案：答案：5Pl1.三个公理的作用三个公理的作用(1)公理公理1的作用：的作用：检验平面；检验平面；判断直线在平面判断直线在平面内；内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内由直线在平面内判

7、断直线上的点在平面内(2)公理公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件间问题转化为平面问题的条件(3)公理公理3的作用：的作用：判定两平面相交；判定两平面相交；作两相交作两相交平面的交线；平面的交线；证明多点共线证明多点共线 2异面直线的有关问题异面直线的有关问题 (1)判定方法：判定方法：反证法；反证法；利利用结论即过平面外一点与平面内一用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图是异面直线，如图 (2)所成的角的求法：平移法所成的角的求法：平移法 平面的基本性质及应

8、用平面的基本性质及应用 例例1如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为AB的中点，的中点，F为为A1A的中点，的中点，求证：求证：CE，D1F，DA三线共点三线共点1证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上直线交于一点，再证交点在第三条直线上 2证明点或线共面问题一般有以下两种途径：证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线首先由所给条件中的部分线(或点或点)确定一个平面，然后确定一个平面，然后再证其余线再证其余线(或点或点)均在这个平面内；均在这个平面内；将所有条

9、件分为将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合两部分，然后分别确定平面，再证平面重合1(1)在空间中，下列命题正确的是在空间中，下列命题正确的是 ()A对边相等的四边形一定是平面图形对边相等的四边形一定是平面图形B四边相等的四边形一定是平面图形四边相等的四边形一定是平面图形C有一组对边平行的四边形一定是平面图形有一组对边平行的四边形一定是平面图形D有一组对角相等的四边形一定是平面图形有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体对于四面体ABCD，下列命题正确的是，下列命题正确的是_(写出编号写出编号)相对棱相对棱AB与与CD所在直线异面；所在直线异面；由顶点由顶点A作四面体

10、的高，其垂足是作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；三条高线的交点；若分别作若分别作ABC和和ABD的边的边AB上的高，则这两条高所在的直上的高，则这两条高所在的直线异面；线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：解析：(1)由由“两平行直线确定一个平面两平行直线确定一个平面”知知C正确正确(2)由四面体的概念可知，由四面体的概念可知，AB与与CD所在的所在的直线为异面直线，故直线为异面直线，故正确；正确；由顶点由顶点A作四面体的高，只有当四面体作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相的对棱互相垂直时，其垂足

11、是垂直时，其垂足是BCD的三条高线的交点，故的三条高线的交点，故错误；错误；当当DADB，CACB时，这两条高线共面，故时，这两条高线共面，故错误；错误；设设AB，BC，CD，DA的中点依次为的中点依次为E，F，M，N，易证，易证四边形四边形EFMN为平行四边形，所以为平行四边形，所以EM与与FN相交于一点，相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故易证另一组对棱也过它们的交点，故正确正确答案：答案：(1)C(2)异面直线的判定异面直线的判定 例例2(2013金华模拟金华模拟)在图中，在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示

12、直线线GH，MN是异面直线的图形有是异面直线的图形有_(填上所填上所有正确答案的序号有正确答案的序号)自主解答自主解答图图中，直线中，直线GHMN；图图中，中，G，H，N三点共面，但三点共面，但M 面面GHN，因此直线因此直线GH与与MN异面；异面；图图中，连接中，连接MG，GMHN，因此因此GH与与MN共面；共面；图图中，中，G，M，N共面，但共面，但H 面面GMN，因此因此GH与与MN异面异面所以图所以图中中GH与与MN异面异面答案答案1异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设直线不是异面直线，即两条直线

13、平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到常用到2客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线直线2已知已知m,n,l为不同的直线为不同的直线,为不同的平面为不同的平面,有下面四个命有下面四个命题：题： m,n为异面直线为异面直线,过空间任一点过空间任一点P,一定能作一条直线一定能作一条直线l与与m,n都

14、相交都相交 m,n为异面直线为异面直线,过空间任一点过空间任一点P,一定存在一个与直线一定存在一个与直线m,n都平行的平面都平行的平面 ,l,m,n,m、n与与l都斜交，则都斜交，则m与与n一定一定不垂直；不垂直；m，n是是内两相交直线，则内两相交直线，则与与相交的充要条件是相交的充要条件是m，n至少有一条与至少有一条与相交相交 则四个结论中正确的个数为则四个结论中正确的个数为 () A1B2 C3 D4解析：解析： 错误，因为过直线错误，因为过直线m存在一个与直线存在一个与直线n平行的平行的平面，当点平面，当点P在这个平面内且不在直线在这个平面内且不在直线m上时，就上时，就不满足结论；不满足

15、结论； 错误，因为过直线错误，因为过直线m存在一个与直线存在一个与直线n平行的平行的平面，当点平面，当点P在这个平面内时，在这个平面内时， 就不满足结论；就不满足结论； 正确，否则，若正确，否则，若mn，在直线，在直线m上取一点作上取一点作直线直线al，由，由，得，得an.从而有从而有n，则，则nl； 正确正确答案：答案：B 例例3已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分分别为别为BB1，CC1的中点，那么异面直线的中点，那么异面直线AE与与D1F所成角所成角的余弦值为的余弦值为_异面直线所成角异面直线所成角( (补充例题补充例题) )求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如

16、下：求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：(1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角角，则它的补角才是要求的角答案：答案：B典例典例(2012浙江高考浙江高考)设设l是直线，是直线，是两个不同的是两个不同的平面平面 ()A若若l，l，则，则 B若

17、若l，l，则，则C若若，l，则，则l D若若，l，则，则l常规解法常规解法设设a，若直线，若直线la，且，且l ，l ，则，则l，l，因此，因此不一定平行于不一定平行于，故，故A错误；错误；由于由于l，故在，故在内存在直线内存在直线ll.又因为又因为l.所以所以l，故故，所以，所以B正确；若正确；若，在，在内作交线的垂线内作交线的垂线l，则则l，此时，此时l在平面在平面内，因此内，因此C错误；已知错误；已知，若，若a，la，且，且l不在平面不在平面，内，则内，则l且且l，因，因此此D错误错误答案答案B(1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然

18、后将问题利用模型直观地作出判断，这样减模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断巧思妙解巧思妙解借助于长方体模型解决本题：借助于长方体模型解决本题：对于对于A，如图，如图，与与可相交；可相交；对于对于B，如图，如图，不论，不论在何位置，都有在何位置，都有；对于对于C，如图，如图，l可与可与平行或平行或l内；内；对于对于D，如图，如图，l或或

19、l或或l.(2012大连二模大连二模)平面平面外有两条直线外有两条直线m和和n，如果，如果m和和n在平面在平面内的射影分别是直线内的射影分别是直线m1和直线和直线n1，给出下列，给出下列四个命题：四个命题：m1n1mn；mnm1n1；m1与与n1相交相交m与与n相交或重合；相交或重合；m1与与n1平行平行m与与n平平行或重合行或重合其中不正确的命题个数是其中不正确的命题个数是()A1B2C3 D4. . 解析：如图，在正方体解析：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中中AD1，AB1，B1C在底面上在底面上的射影分别是的射影分别是A1D1，A1B1，B1C1. A1D1A1B1，但，但AD1

20、不垂直不垂直AB1，故故不正确；又不正确；又AD1B1C，但，但A1D1B1C1，故，故也不正确；若也不正确；若m1与与n1相交，则相交，则m与与n还可以还可以异面，异面，不正确；若不正确；若m1与与n1平行，平行，m与与n可以平行，也可可以平行，也可以异面，以异面，不正确不正确 答案：答案：D教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）1(2012襄阳模拟襄阳模拟)关于直线关于直线a，b，l以及平面以及平面M，N，下面命题中正确的是，下面命题中正确的是 ()A若若aM，bM，则，则abB若若aM，ba，则，则bMC若若aM，aN，则，则MND若若aM，bM, 且且la，lb，则，则

21、lM解题训练要高解题训练要高效见效见“课时跟课时跟踪检测（四十踪检测（四十二）二）”解析：同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交解析：同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故或异面，故A错错aM，ba时，时，b与与M的位置关系的位置关系不确定，不确定，B错；当错；当ab时，时，la，lb，l不一定垂直不一定垂直于于M，故，故D错误错误答案：答案：C2(2012蚌埠模拟蚌埠模拟)如图在四面体如图在四面体OABC中，中，OA，OB，OC两两垂直，且两两垂直，且OBOC3，OA4.给出如下判断：给出如下判断：存在点存在点D(O点除外点除外)，使得四面体，使得四面体DABC有三个面是直角三角形；有三个面是直角三角形；存在点存在点D，使得点，使得点O在四面体在四面体DABC外接球的球面上；外接球的