二次曲面8-8(31)

1、8.7.2 二次曲面二次曲面定义二次曲面的研究二次曲面小结二次曲面二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面定义定义一、基本内容名称名称分类分类椭 球 面椭球面球 面圆 柱 面椭 圆 柱 面抛 物 柱 面双 曲 柱 面柱 面一 般 柱 面单叶双曲面双曲面双叶双曲面椭圆抛物面抛物面双曲抛物面圆 锥 面锥 面椭 圆 锥 面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而

2、了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面二、二次曲面的研究 椭球面与三个椭球面与三个坐标面的交线：坐标面的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax（二）椭球面（二）椭球面椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情

3、况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为椭椭 球球 面面 的的图形绘制图形绘制1222222 czbyax绘图语句绘图语句ParametricPlot3DSinuCosv,SinuSinv,0.5C

4、osu,u,0,Pi,v,0,2Pi（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.旋转抛物面旋转抛物面与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐标面）

5、用坐标面 与与)0( yxoz 022ypzx曲面相截截得抛物线曲面相截截得抛物线xyzo0,0 qp与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 0211（3）用坐标面）用坐标面 ，)0( xyoz1xx 与曲面相截均可得抛物线与曲面相截均可得抛物线.同理当同理当 时时可类似讨论可类似讨论.0, 0 qpzxyo0,0 qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozp

6、zx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面是直纹面双曲抛物面是直纹面双曲抛物面的双曲抛物面的 图形制作图形制作zpypx 2222绘图语句绘图语句ParametricPlot3Du,v,u2/0.5-v2/2,u,-2,2,v,-4,4,BoxRatios-1,1,3（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点

7、的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz xyoz 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与

8、实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面单叶双曲面是直纹面单叶双曲面是直纹面语句

9、语句ParametricPlot3DSecuCosv,SecuSinv,Tanu,u,-Pi/2.1,Pi/2.1,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,1单叶双曲面的单叶双曲面的图形绘制图形绘制1222222 czbyaxxyo双叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面的双叶双曲面的图形制作图形制作1222222 czbyaxg1=ParametricPlot3DTanuCosv,TanuSinv,Secu,u,-Pi/2.1,Pi/2.1,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,2g2=ParametricPlot3DTanuCosv,TanuSinv,-Secu,u,-Pi/2.1,Pi/

10、2.1,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,2Showg1,g2绘图语句绘图语句（四）柱（四）柱 面面（四）柱（四）柱 面面椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面一般柱面一般柱面一般柱面一般柱面锥面的锥面的图形制作图形制作绘图语句绘图语句12222 byaxg1=ParametricPlot3DCosv,Sinv,u,u,-2,2,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,1.5（五）锥（五）锥 面面一般锥面一般锥面显然锥面是直纹面显然锥面是直纹面ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv,u,u,-2,2,v,0,2Pi,BoxRatios-1,1,1.5

11、锥面的锥面的图形制作图形制作0222222 czbyax绘图语句绘图语句二次曲面小结二次曲面小结完全对称完全对称直角方程直角方程参数方程参数方程取值范围取值范围中中 心心 轴轴X X 轴轴Y Y 轴轴Z Z 轴轴对对 称称 性性顶顶 点点（ ）截截 痕痕圆、点圆、点截截 部部圆圆 球面是空间中与球面是空间中与定点有定距离的动定点有定距离的动点的轨迹。（定点点的轨迹。（定点被称为球心，定距被称为球心，定距离被称为半径）离被称为半径） 球面是二次曲面球面是二次曲面中最优秀、最友好中最优秀、最友好的曲面。它均匀、的曲面。它均匀、有界、处处光滑，有界、处处光滑，具有完全对称性。具有完全对称性。它的外接

12、曲面是以它的外接曲面是以两个球半径为边长两个球半径为边长的立方体的表面。的立方体的表面。任何平面与球面相任何平面与球面相交，球面都会奉送交，球面都会奉送一 条 友 好 的 曲 线一 条 友 好 的 曲 线圆。圆。主要特征主要特征2222RzyxuRzvuRyvuRxcossinsincossin0 , 0 ,R（ ）0 , 0R（ ）R, 0 , 0图图 形形备备 注注),(RzyxR 1222222 czbyax uczvubyvuaxcossinsincossin完全对称完全对称直角方程直角方程参数方程参数方程取值范围取值范围中中 心心 轴轴X X轴轴y y轴轴Z Z轴轴对对 称称 性性顶

13、顶 点点截截 痕痕椭圆椭圆圆圆点点截截 部部椭圆椭圆备备 注注 椭球面可以视为椭球面可以视为球面的变形。球面球面的变形。球面在三个坐标轴上有在三个坐标轴上有相等的截距相等的截距R R，然而，然而，友好的球面允许任友好的球面允许任意改变它的截距，意改变它的截距，并随着你的意愿变并随着你的意愿变成你意的椭球面。成你意的椭球面。它可以变得象地球它可以变得象地球面、象鸡蛋壳、象面、象鸡蛋壳、象铁饼面，但是，它铁饼面，但是，它均匀、有界、处处均匀、有界、处处光滑，具有完全对光滑，具有完全对称性的特点不会改称性的特点不会改变。变。 用平面切割椭球用平面切割椭球面一般是椭圆，如面一般是椭圆，如果你运气好，也

14、会果你运气好，也会得到一个圆。得到一个圆。主要特征主要特征图图 形形（ ）0 , 0 , a（ ）0 , 0 b（ ）c , 0 , 0axa byb czc 1222222 czbyax ctguzvubyvuaxsinseccossecxyz完全对称完全对称直角方程直角方程参数方程参数方程取值范围取值范围中中 心心 轴轴Z Z轴轴对对 称称 性性顶顶 点点无无截截 痕痕双曲线、椭圆双曲线、椭圆截截 部部双曲线、椭圆双曲线、椭圆备备 注注 双曲面分单叶双曲双曲面分单叶双曲面和双叶双曲面。面和双叶双曲面。 单叶双曲面由两组单叶双曲面由两组双曲线和一组椭圆构双曲线和一组椭圆构成，具有完全对称性。

15、成，具有完全对称性。 单叶双曲面的开口单叶双曲面的开口越来越大，伸向无穷越来越大，伸向无穷远，似乎要把天地间远，似乎要把天地间一切都装进它的内部，一切都装进它的内部，然而，随着它一个方然而，随着它一个方向开口的增大，另一向开口的增大，另一个方向的开口也同样个方向的开口也同样增大，所以它的内部增大，所以它的内部什么都没有。什么都没有。 正是利用这一特正是利用这一特点，工厂里的冷却塔点，工厂里的冷却塔常用的外形之一是单常用的外形之一是单叶双曲面。它的优点叶双曲面。它的优点是对流快、散热性能是对流快、散热性能好。好。主要特征主要特征图图 形形1222222 czbyax uczvbtguyvatgu

16、xsecsincosxyz完全对称完全对称直角方程直角方程参数方程参数方程取值范围取值范围中中 心心 轴轴Z Z轴轴对对 称称 性性顶顶 点点截截 痕痕双曲线椭双曲线椭圆、点圆、点截截 部部双曲线双曲线 椭圆椭圆 点点备备 注注 双叶双曲面分双叶双曲面分为两部分，一部分为两部分，一部分在在XYXY平面上方，另平面上方，另一部分在一部分在XYXY平面下平面下方，这两部分之间，方，这两部分之间，没有双叶双曲面的没有双叶双曲面的痕迹。由于曲面分痕迹。由于曲面分为两叶，并且它有为两叶，并且它有两组截痕都是双曲两组截痕都是双曲线，故称双叶双曲线，故称双叶双曲面。面。图图 形形（ ）c , 0 , 0（

17、）c, 0 , 0主要特征主要特征qypxz22 qvpuzvyux22xyz无无直角方程直角方程参数方程参数方程取值范围取值范围中中 心心 轴轴Z Z轴轴对对 称称 性性顶顶 点点截截 痕痕双曲线、直线双曲线、直线截截 部部双曲线、直线双曲线、直线 双曲抛物面是二次曲面双曲抛物面是二次曲面中最桀骜不驯的曲面。一中最桀骜不驯的曲面。一眼望去，其形状酷似马鞍，眼望去，其形状酷似马鞍，因而俗称马鞍面。因而俗称马鞍面。 双曲抛物面的脊梁有双曲抛物面的脊梁有两组相互垂直的抛物线构两组相互垂直的抛物线构成，但两组抛物线的开口成，但两组抛物线的开口方向却南辕北辙。方向却南辕北辙。 让我们用一组水平面切让我

18、们用一组水平面切割标准的马鞍面，你能想割标准的马鞍面，你能想象出切割出的曲线的形状象出切割出的曲线的形状吗？在它的脊梁上方是一吗？在它的脊梁上方是一组东西向的双曲线，而在组东西向的双曲线，而在脊梁的下面，却是南北向脊梁的下面，却是南北向的双曲线，在脊梁正中原的双曲线，在脊梁正中原点处的那张平面只得到两点处的那张平面只得到两条彼此相交的直线。条彼此相交的直线。 双曲抛物面是无界曲双曲抛物面是无界曲面，我们看到的是它的局面，我们看到的是它的局部，其整体可以想象却不部，其整体可以想象却不能绘制。能绘制。主要特征主要特征图图 形形无无备备 注注2222byaxz vzuvbyuvaxsincosxy

19、z0X X轴、轴、Y Y轴轴直角方程直角方程参数方程参数方程取值范围取值范围中中 心心 轴轴Z Z轴轴对对 称称 性性顶顶 点点截截 痕痕椭圆、抛物线、椭圆、抛物线、点点截截 部部抛物线、点抛物线、点备备 注注 椭圆抛物面光滑、椭圆抛物面光滑、无界，开口向上时有最无界，开口向上时有最小值而没有最大值，开小值而没有最大值，开口向下时有最大值而没口向下时有最大值而没有最小值。椭圆抛物面有最小值。椭圆抛物面有两组相互垂直的同轴有两组相互垂直的同轴抛物线，一组自身平行抛物线，一组自身平行的同心椭圆。的同心椭圆。 正是这些同心同轴正是这些同心同轴的曲线，才使得椭圆抛的曲线，才使得椭圆抛物面开口方向高度一

20、致。物面开口方向高度一致。曲面的方向可以一致向曲面的方向可以一致向上、一致向下、一致向上、一致向下、一致向左、一致向右，但无论左、一致向右，但无论向哪个方向，椭圆抛物向哪个方向，椭圆抛物面都以原点为始，至无面都以原点为始，至无穷远点为终，始终不渝。穷远点为终，始终不渝。主要特征主要特征图图 形形(0,0,0)(0,0,0)22 pxy vzpuyux22x y0对称对称Y Y轴轴直角方程直角方程参数方程参数方程取值范围取值范围中中 心心 轴轴Y Y 轴轴对对 称称 性性顶顶 点点截截 痕痕抛物线抛物线直线直线截截 部部抛物线抛物线直线直线备备 注注主要特征主要特征图图 形形无无z12222byaxvzbtguyuaxsec y0z完全对称完全对称直角方程直角方程参数