万有引力定律的应用专题复习

1、第七讲万有引力定律(二)1 18 世纪，人们发现太阳系的第七个行星天王星的运动轨道有些古怪：根据_ 计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差据此，人们推测， 在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的_使其轨道发生了偏离2若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于 _对物体的 _，即 _，式中是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心mgM的距离由此可得出地球的质量M _.3将行星绕太阳的运动近似看成_ 运动，行星做圆周运动的向心力由_ 提供，则有 _ ，式中是 _的质量，是Mm_的质量， r 是 _ ，也就是行星和太阳中心的距离，T是 _ 由此可得出太阳的质

2、量为：_.4同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的_和卫星与行星之间的 _，也可以计算出行星的质量_ 和 _确立了万有引力定律的地位5应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1) 把天体 ( 行星或卫星 ) 的运动近似看成是 _ 运动，向心力由它们之间的_提供，即 F 万 F 向 ，可以用来计算天体的质量， 讨论行星 ( 或卫星 ) 的线速度、角速度、周期等问题基本公式： _v224 2mr mrmr T2 .(2) 地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的_，即 F 万 mg，主要用于计算涉及重力加速度的问题基本公式： _(在的表面上 ) ，即 2.mgmMGM gR6下列说法正确

3、的是()A海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星7利用下列数据，可以计算出地球质量的是()A已知地球的半径R和地面的重力加速度gB已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径C已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径rr和周期 T和线速度vD已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T【考点演练】考点一发现未知天体1科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的

4、背面， 人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”息我们可以推知()A这颗行星的公转周期与地球相等由以上信B这颗行星的自转周期与地球相等C这颗行星的质量与地球相等D这颗行星的密度与地球相等考点二计算天体的质量. 解决天体圆周运动问题的两条思路(1) 在地面附近万有引力近似等于物体的重力, F 引 =mg, 即G? =mg, 整理得 GM=gR2。(2) 天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动 , 其向心力由万有引力提供 , 即 F引=F向。一般有以下几种表达形式: G? =m? G? =m 2r G? =m? r2. 天体质量和密度的计算1“自力更生”法(g R)利用天体表面的重

5、力加速度g 和天体半径R。MmgR2(1) 由 GR2 mg得天体质量 M G 。(2)MM3g天体密度 。V44GR3R3(3)GM gR2 称为黄金代换公式。2“借助外援”法 (T r)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径 r 。Mm 42r42r3(1)由 Gr2 m T2 得天体的质量 M GT 2 。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度MM3r3 。V4R3GT2R333(3) 若卫星绕天体表面运行时， 可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 GT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。典例2014 年 11 月 1 日早上6

6、时 42 分，被誉为“嫦娥5 号”的“探路尖兵”载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5 号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础。 已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间 t(t小于航天器的绕行周期) ，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为 ，引力常量为 G，则A航天器的轨道半径为2tsB航天器的环绕周期为s332C月球的质量为 Gt2D月球的密度为 4Gt2s解析根据几何关系得r ，故 A 错误；经过时间 t ，航天器与月球的中心连线扫t2t过角

7、度为 ，则 ，得 T，故 B 正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所T 2sMm4242r34 2 3s3，故4r3 4以 G mT 2r ，得MGT22tGt2C 正确；月球的体积 V3r2G23s3sMGt232 3，月球的密度 V4s 4Gt2 ，故 D 错误。3 3答案BC 易错提醒 (1) 利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2) 区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r R；计算天4体密度时， V 3R3 中的 R只能是中心天体的半径。 针对训练 1(2015 江苏高考) 过去几千年来，

8、人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“ 51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1周运动， 周期约为20。该中心恒星与太阳的质量比约为 ()1A 10B 1C 5D 10解析：行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得MmGr2m42M1r1T21365r ，则32321，选项 B 正确。T2M2r2T1204答案： B2已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是()A地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离B月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离C人造地球卫星

9、在地面附近绕行的速度及运行周期D若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度3已知引力常量G 1011Nm2/kg2，重力加速度g 9.8 m/s2 ，地球半径R106m，则可知地球质量的数量级是()A 1018kgB 1020kgC 1022kgD 1024kg4一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那么要确定该行星的密度，只需要测量()A飞船的轨道半径B飞船的运行速度C飞船的运行周期D行星的质量5假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知万有引力常量为 G，则该天体的密度是多少若这颗卫星距该天

10、体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少【方法技巧训练】应用万有引力定律分析天体运动问题的方法6近地人造卫星1 和 2 绕地球做匀速圆周运动的周期分别为星 2 各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则 (T1 和)T2，设在卫星1、卫T1 ( T2)4/3T2 ( T1)4/3T1T2 ()2T2 ()2T17已知地球半径R 106m，地面附近重力加速度2106m 的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度g 9.8m/s2. 计算在距离地面高为v 和周期 T.1若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r ，周期为T，引力常量为G，则可求得()A

11、该行星的质量B太阳的质量C该行星的平均密度D太阳的平均密度2有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速度的 4 倍，则该星球的质量将是地球质量的()B4 倍C16 倍D64 倍3火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的倍根据以上数据，下列说法中正确的是()A火星表面重力加速度的数值比地球表面小B火星公转的周期比地球的长C火星公转的线速度比地球的大D火星公转的向心加速度比地球的大4若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为()5为了对火星及其周围的空

12、间环境进行监测，我国预计于2011 年 10 月发射第一颗火星探测器“萤火一号”假设探测器在离火星表面高度分别为h1 和 h2 的圆轨道上运动时，周期分别为T1 和 T2. 火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为 G. 仅利用以上数据，可以计算出()A火星的密度和火星表面的重力加速度B火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C火星的半径和“萤火一号”的质量D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力6设地球半径为R，a 为静止在地球赤道上的一个物体，b 为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c 为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r . 下列说法中正确的是()rA a

13、 与 c 的线速度大小之比为RRB a 与 c 的线速度大小之比为rC b 与 c 的周期之比为rRRRD b 与 c 的周期之比为 rr7 2008 年 9 月 27 日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2 ，则可以确定r()A卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1 4B卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为12C翟志刚出舱后不再受地球引力D翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如一不小心使实验样品脱手，则它将做自由落体运动8“嫦

14、娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星 若测得“嫦娥二号”在月球 ( 可视为密度均匀的球体 ) 表面附近圆形轨道运行的周期为 T，已知引力常量为 G，半径为 R的球体体积公式 43，则可估算月球的 ()V 3 RA密度B质量C半径D自转周期9. 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动其中有两个岩石颗粒 A 和 B与土星中心的距离分别为r A 10 4km 和 r B 105km，忽略所有岩石颗粒间的相互作用( 结果可用根式表示 )(1) 求岩石颗粒 A 和 B 的线速度之比5(2) 土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心10 km处受到土星的引

15、力为已知地球半径为 103km，请估算土星质量是地球质量的多少倍11中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大现有一中子星，观测到1它的自转周期为Ts问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不30致因自转而瓦解 ( 计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量 1011 32m/( kgs)G第 3 节万有引力定律的应用课前预习练1万有引力定律吸引22地球引力GMm gR2RGGMm223匀速圆周 太阳对行星的万有引力r 2 mr(T )太阳行星行星绕太阳运动的轨道半径行星绕太阳运动的公转周期M4 2r 32GT4周期距离海王星的发现哈雷彗星的“按时回归”5 (1) 匀速圆周万有引

16、力GMm(2) 万有引力GMmr 2R26 DgR2Mm7ABCD 设相对地面静止的某一物体的质量为m，则有 GR2 mg得 M G ，所以 A 选项正确设卫星质量为，则万有引力提供向心力，Mm4 2r42r 3Gr2 m2 得2 ，所以 B选项mTMGTMmv2v2r正确设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，Gr 2 mr ，得 M G ，所以 C 选项正确 设Mm222卫星质量为m，由万有引力提供向心力，Gr 2 mrmv mv T，由 vr r T ，消去r得 v3T ，所以 D 选项正确 M 2 G课堂探究练1 A2 BCD3 D点评 天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，

17、 无法计算围绕中心天体做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算问题有如下两种：(1) 已知行星的运动情况，计算太阳质量(2) 已知卫星的运动情况，计算行星质量4 C 因为GMm 424 2R343M3，2 m2R，所以 M2，又因为V R， ，所以2RTGT3VGT选项 C正确 点评利用飞船受到行星的万有引力提供飞船做圆周运动的向心力进行分析33Rh23GT2R解析设卫星的质量为m，天体的质量为M. 卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有Mm4 24 2R3G2 m2，则2TRMGTR1143根据数学知识可知星球的体积V 3 R故该星球密度M4 2R331 42V231GTGT3 R1卫星距天

18、体表面距离为h 时有GMm42h2 m2 ( R h)2RTM4 2R h32GT2M 4 2R h 33 R h 3 V243GT2R223GT2 3 R利用公式 M 423 4M 计算天体的密度，注意点评2r计算出天体的质量，再利用GT3 R3r 指绕天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运动时才有r R.GMm22T26B 卫星绕天体做匀速圆周运动， 由万有引力提供向心力有R2 m(T )R，可得 R32GMmGMGMk43k 为常数， 由重力等于万有引力有2mg，联立解得 g，则 g 与 T 成反比 R3 T443Tk237 10 3m/s103s解析根据万有引力提

19、供卫星做匀速圆周运动的向心力，有Mm2v2Gh mhRR知 vGMhRMm2由地球表面附近万有引力近似等于重力，即GR2 mg得 GM gR由两式可得vgR2 10 6 错误 ! m/sR h 103m/s运动周期2R hTv2 1062 106s310310 s方法总结解决天体问题的两种思路(1) 所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力因此，向心力等于万有引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即MmGr 2 ma，式中的a 是向心加速度Mm(2) 物体在地球 ( 天体 ) 表面时受到的万有引力近似等于物体的重力， 即：GR2 mg，式中的 R为地球 ( 天体 ) 的半径，

20、g 为地球 ( 天体 ) 表面物体的重力加速度课后巩固练1 BgR2Mm2 D 由 GR2 mg得 M G ，gR2MG3g 44 GRV33 R3gRg所以 R 4 G，则 R地 g地 424R22gR 4g地64g R根据 M GG地地地G 64M ，所以 D 项正确 地mmm23AB 由 G物g 得 g G ，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的， A2 m物25RRMm22得 T2r 3，公转轨道半径大的周期长，B 对；周期长的线速正确；由 G 2 m(T)rrGMGMGM度小 ( 或由 vr 判断轨道半径大的线速度小) ， C 错；公转向心加速度a r 2 ， D错 Mm224B

21、 设飞船的质量为m，它做匀速圆周运动的半径为行星半径R，则 GR2 m(T )R，4 2R3232MGT所以行星的质量4R3M2，行星的平均密度442， B 项正确 GT33GT3 R3 R5 A 设火星质量为M，半径为 R，“萤火一号”的质量为m，则有GMm22R h1)R h2 mT(11Mm2 2GR h22 m T2(R h2)GMmGM联立两式可求得M、R，由此可进一步求火星密度，由于mgR2，则 g R2，显然火星表面的重力加速度也可求出，m无法求出，故火星对“荧火一号”的引力也无法求出，正确答案为 A.6 D 物体 a 与同步卫星 c 角速度相等，由v r 可得，二者线速度之比为Rr，选项A、 B 均错误；而b、c均为卫星，由2r 3RR可得，二者周期之比为，选项 C错TGMrr误， D正确 GMGM7AB 根据 a r2，可知 a a 1 4，故 A 正确；根据 vr ，可知 v v 112122，故 B 正确；根据万有引力定律，翟志刚不论是在舱里还是在舱外，都受地球引力的作用，